江西省赣州市石城县赣源中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试题

这是一份江西省赣州市石城县赣源中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列是轴对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
2． 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
3．将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B．C．D．
5．如图，在中，，AD是的角平分线，若，则的面积是（ ）
A．B．C．D．42
6．如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的石城县兴隆大桥斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是 ．
8．如图，第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，此正九边形的内角和为 度．
9．如图，是△ABC内一点，连接，已知，，，则的度数为 ．
10．如图，在△ABC中，，是的垂直平分线，若，则的周长为 ．
11．在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则代数式的值为 ．
12．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数．
（2）如图所示，在△ABC中，．
求证：是直角三角形．
14．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，．求证:．
15．已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图1中，作出该图形的对称轴l．
(2)在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得．
、
16．已知：如图，，，是上的一点．
求证：
17．如图，在△ABC中，，．
(1)求的度数；
(2)若，交于点E，判断的形状，并说明理由．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC关于y轴对称的，并写出各顶点的坐标；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的；
(3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，请画出这条对称轴．
19．如图，在中，BD是AC边上的高，．
（1）求的度数；
（2）若CE平分交BD于点E，，求度数．
20.如图，在中，平分，于点E，点F在上，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
五、填空题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，与的平分线相交于点P．
(1)如图1，如果，那么______°；
(2)如图1，请猜想与之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，作△ABC的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系．
22．已知△ABC和△ADE都是以点A为直角顶点的直角三角形且，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接．
(1)在图1中，当点D在边上时，求证：；
(2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点D在边的反向延长线上且点E在下方时，请直接写出之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系．
六、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23．【课本改编】数学课上，陈老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是△ABC的高，，若，求的长．
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____．
【改编拓展】
陈老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，为△ABC的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形中，平分，求的长．
参考答案：
1．C
2．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，
故选：C．
3．A
【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为．
根据直角三角板的度数，再根据对顶角相等可得的度数．
【详解】解：如图：
，
，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等．
【详解】解：在与中，
，
∴；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解；
【详解】解：作，如图所示：
∵AD是的角平分线，，，
∴，
∴的面积,
故选：A
6．C
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点M关于直线a的对称点，连接交直线a于O．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
7．三角形的稳定性
【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性的应用是解题的关键．
根据三角形的稳定性作答即可．
【详解】解：由题意知，蕴含的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
8．1260
【分析】本题考查了求正多边形内角和问题．根据正多边形的内角和公式：，代入数据即可得出答案．
【详解】解：正九边形的内角和为，
故答案为：1260．
9．/140度
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由得，由，可得，，即得，最后再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
10．20
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，又，，
∴的周长为，
故答案为：20．
11．4
【分析】本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程．
根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到关于m，n的方程，求解后代入式子即可解答．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：4
12．或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．
要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，
，，为高，即，
此时，
∴，
若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即，
此时，
综上，等腰三角形的顶角的度数为或．
故答案为：或．
13．（1）这个多边形的边数为11
【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式是解题关键．设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
根据题意得：，
解得．
即这个多边形的边数为11．
（2）【分析】本题考查的是直角三角形的性质，可证明．在中，已知，等量代换可证是直角三角形，熟记直角三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：，
，
，
，
是直角三角形．
14．见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质．先根据，利用两直线平行，同位角相等，可得，再结合，，利用可证，从而有．
【详解】证明：∵，
，
又，，
∴在和中，
，
∴，
．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接两组对应点，进而交点连接即可；
（2）连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可．
【详解】（1）解：如图，直线l为所求作．
（2）如图，点F为所求作．
16．见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线定理及其逆定理，熟练掌握线段垂直平分线定理及其逆定理是解题的关键，证点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，得AD垂直平分，从而．
【详解】解：∵，，
∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，
∴AD垂直平分，
∴．
17．(1)
(2)直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理．
（1）在中根据三角形三个内角的和是即可求出的度数；
（2）先求出，结合（1）中的结论即可求出，从而判断出的形状．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：为直角三角形，理由如下：
∵，，
，
由（1）得，
，
为直角三角形．
18．(1)见解析，，，
(2)见解析
(3)是，对称轴见解析
【分析】本题考查了坐标平面内的图形变换，解题关键是熟练掌握轴对称和平移的特征及坐标变化规律，如何根据点的位置确定对称轴．
（1）根据轴对称的性质画图并写出坐标即可；
（2）根据平移的性质画图即可；
（3）根据对称轴的性质画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
∴，，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，
19.如图，在中，BD是AC边上的高，．
（1）求的度数；
（2）若CE平分交BD于点E，，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据高的定义可得为直角，结合即可求得的度数；
（2）首先根据外角的性质求出的度数，再结合角平分线的定义求出的度数．
【小问1详解】
解：在中，
是边上的高，
，
，
．
小问2详解】
解：∵∠BEC是的外角，
∴，
∵，，
∴，
平分，
．
20．如图，在中，平分，于点E，点F在上，．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明．
（2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设，则，
∵平分，于点E，
∴．
在与中，
，
∴，
∴，即，
解得，即．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键．
21．(1)
(2)；
(3)．
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（3）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：，
，
与的平分线交于点，
，，

；
故答案为：；
（2）解：；
理由如下：
同理，
与的平分线交于点，
，，
；
（3）解：，
的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
22．(1)见解析
(2)不成立，存在的数量关系为
(3)存在的数量关系为，位置关系为
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，
，
，
又，，
，
，
；
（2）解：不成立，存在的数量关系为．
理由：如图2，
，
，
又，，
，
，
，
；
（3）解：存在的数量关系为，位置关系为
如图3，
，
，
又，，
，
，，
．
，，
，
，
，
．
23．（1）见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案；
（2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证；
（3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，
由折叠的性质可得：，，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如图，在上截取，连接，

，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
C
A
B
A
C