重庆市垫江中学2024-2025学年九年级上册数学期中模拟试卷

这是一份重庆市垫江中学2024-2025学年九年级上册数学期中模拟试卷，共17页。
A．4B．C．﹣3D．0
2．（4分）南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．有B．事C．竟D．成
3．（4分）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在函数的图象上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
4．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（ ）
A．4：7B．4：3C．3：4D．16：9
5．（4分）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42B．
C．x（x+1）＝42D．
6．（4分）估算的结果在（ ）
A．9与10之间B．8与9之间C．7与8之间D．6与7之间
7．（4分）将大小形状完全相同的“△”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“△”的个数，则第8个图中三角形的个数是（ ）
A．40B．42C．43D．44
8．（4分）如图，半径为的⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，连接BC，点D为的中点，延长AB交⊙O的切线DE于点E，若BC＝4，则DE的长度为（ ）
A．B．4C．D．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足CE＝DF，连接AF、DE，点G在AB边上，连接DG交AF于点H，使得∠DHF＝45°，连接GE，若∠DAF＝α，则∠BGE的度数为（ ）
A．90°﹣2αB．45°+αC．4αD．3α+15°
10．（4分）已知代数式A＝a+b+c，B＝a﹣b﹣c，其中a＞b＞c＞0，在代数式A中任取两项相减后再求差的绝对值，同时在B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换后的结果分别记为A′、B'，这样的操作称为“换差绝对运算”．例如：在代数式A中选取+b、+c，在代数式B中选取a、﹣b，进行“换差绝对运算”，得到A′＝a+|a﹣（﹣b）|＝2a+b，B′＝|b﹣c|﹣c＝b﹣2c．下列说法正确的个数是（ ）
①存在某种“换差绝对运算”，使得A＝A′，B＝B'；
②存在某种“换差绝对运算”，使得A'＝B'；
③在“换差绝对运算”中，B'有9种不同的结果．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：（﹣）﹣2+20＝ ．
12．（4分）一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是 ．
13．（4分）如果关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
14．（4分）将6名志愿者分到3个不同的社区，每个社区2名志愿者，则甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点，则OE的长度为 ．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，E为BC边中点．以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，CE为半径画弧，与AD相切于点F．若BC＝4，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
18．（4分）对于一个各个数位上的数字均不为0的自然数m，将各个数位上的数字任意排列，用排列后最大的数m'减去最小的数m″，我们称这样的运算为“极差变换”，记为R（m）．例如：m＝1916，则m'＝9611，m″＝1169，R（m）＝9611﹣1169＝8442．当R（m）＝m时，称m是“极差数”．如果m＝101a+91（1≤a≤7，a为整数）是一个“极差数”，则a＝ ；已知n＝2000x+910+y，p＝1000x+100s+10t+y+6000（1≤y＜x≤4，1≤t＜s≤8，x，y，s，t均为整数），若为整数，且R（p）+st+92t﹣87s﹣7011＝0，则p＝ ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（1+）÷．
20．（10分）学习了正方形后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如图所示正方形ABCD中，E为BC上一点（E不与B，C重合），连接AE，过点B作AE的垂线，交CD于点F，则线段AE与线段BF的长度相等，她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点B作AE的垂线，垂足为点O，交DC于点F．（只保留作图点痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上（E不与B，C重合），连接AE，BF⊥AE，垂足为O，交DC于点F．
求证：AE＝BF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF+∠ABF＝90°．
∵BF⊥AE．
∴∠AOF＝90°．
∴ ，
∴∠EAB＝ ．
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴AE＝BF．
小虹再进一步研究发现，过AB上其它点也能作出具备此特征的一组垂线，请你依照题意完成下面命题：
过AB上一点作AE的垂线， ．
21．（10分）2024年5月17日，江津区召开创建全国文明城区交通秩序提升工作部署会议，进一步提升我区创建全国文明城区工作水平，打造安全、文明、有序的道路交通环境．为调查道路交通环境在学生家长中的满意程度，在甲、乙两所中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生家长的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：x＜70）．下面给出了部分信息：
甲中学10名学生家长满意度得分数据：97，97，94，94，93，87，87，87，77，67．
乙中学10名学生家长中B等级所有满意度得分数据：89，86，86，86．
甲、乙中学抽取的学生家长满意度得分统计表：
乙中学抽取的学生家长满意度得分扇形统计图：
请根据以上信息解答：
（1）a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）你认为哪所中学的学生家长对道路交通环境更满意？请说明理由．（写出一条即可）
（3）若甲、乙两校共有8000人参加此次满意度调查，请你估计非常满意（x≥90）该道路交通环境的学生家长有多少人？
22．（10分）近日被市民们亲切的称为“背篓专线”的重庆轻轨四号线受到人们的关注，某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元．
（1）请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元？
（2）张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天的售卖，樱桃一共卖出了樱桃总量的70%，由于天气炎热，在剩下的樱桃中出现了m%的损坏不能售卖．枇杷售出了枇杷总量的，张大爷决定对剩下的樱桃打8折销售，剩下的枇杷直接每斤降价m元，很快便将所有水果销售一空，张大爷这天卖水果一共收入了889元，求m的值．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线A→D→E（含端点）运动，到达E点停止运动，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设点P的运动时间为x秒，PQ的长度为y1，请解答下列问题：
（1）直接写出y1关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）的函数图象如图所示，当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
24．（10分）重庆动物园顶流明星—一大熊猫“渝可、渝爱”人气爆棚，吸引了全国各地的游客前来拍照打卡．如图，三角形观赏区ABE紧邻四边形熊猫馆ABCD．经测量，点C在点B的正东方向，点A在点B的北偏东45°方向，点E在点B的正北方向且在点A的正西方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏东60°方向．AD长30米，CD长40米．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
（1）求AB的长度；（结果精确到1米）
（2）天气炎热时，饲养员会在点D处为熊猫放置冰块帮助熊猫降温．渝可从B出发沿B→A→D到达点D，渝爱从B出发沿B→C→D到达点D，请计算说明哪只熊猫选择的路线较近？
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PQ平行于y轴交BC于点Q，点D是PQ的中点，过点D作BC的平行线交y轴于点F，过点C作CH平行于x轴交DF于点H，点R在直线BC上，当PQ+2CH取最大值时，求此时点P的坐标及AR﹣PR的最大值．
（3）如图2，点E坐标为E（0，﹣2），将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，得到新抛物线y1，在抛物线y1是否存在点M，满足∠BEM＝∠ACO，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是边AB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE．
（1）如图1，求证：∠ACD＝∠ADE；
（2）如图2，CG是△ABC的中线，连接EG，点H是EG的中点，连接DH，试猜想DH、BD、AC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AC＝2，点Q是CG的中点，点P是BC上一点，将△PCQ沿PQ翻折，得到△PC′Q，点D、P在运动过程中，当C′E最短时，请直接写出△ABE的面积．
重庆市垫江中学2024-2025学年九年级上册数学期中模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）有四个数，其中最小的是（ ）
A．4B．C．﹣3D．0
【答案】B
2．（4分）南朝宋•范晔在《后汉书•联食传》中写道：“将军前在南阳，建此大策，常以为落落难合，有志者事竟成也．”将“有”“志”“者”“事”“竟”“成”六个字分别写在某个正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“志”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．有B．事C．竟D．成
【答案】C
3．（4分）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2）在函数的图象上，那么y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
【答案】B
4．（4分）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的周长之比是4：3，则AO：DO的值为（ ）
A．4：7B．4：3C．3：4D．16：9
【答案】B
5．（4分）某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排42场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42B．
C．x（x+1）＝42D．
【答案】A
6．（4分）估算的结果在（ ）
A．9与10之间B．8与9之间C．7与8之间D．6与7之间
【答案】A
7．（4分）将大小形状完全相同的“△”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“△”的个数，则第8个图中三角形的个数是（ ）
A．40B．42C．43D．44
【答案】D
8．（4分）如图，半径为的⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，连接BC，点D为的中点，延长AB交⊙O的切线DE于点E，若BC＝4，则DE的长度为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足CE＝DF，连接AF、DE，点G在AB边上，连接DG交AF于点H，使得∠DHF＝45°，连接GE，若∠DAF＝α，则∠BGE的度数为（ ）
A．90°﹣2αB．45°+αC．4αD．3α+15°
【答案】A
10．（4分）已知代数式A＝a+b+c，B＝a﹣b﹣c，其中a＞b＞c＞0，在代数式A中任取两项相减后再求差的绝对值，同时在B中任取两项相减后再求差的绝对值，最后进行交换，交换后的结果分别记为A′、B'，这样的操作称为“换差绝对运算”．例如：在代数式A中选取+b、+c，在代数式B中选取a、﹣b，进行“换差绝对运算”，得到A′＝a+|a﹣（﹣b）|＝2a+b，B′＝|b﹣c|﹣c＝b﹣2c．下列说法正确的个数是（ ）
①存在某种“换差绝对运算”，使得A＝A′，B＝B'；
②存在某种“换差绝对运算”，使得A'＝B'；
③在“换差绝对运算”中，B'有9种不同的结果．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）计算：（﹣）﹣2+20＝ 26 ．
【答案】26．
12．（4分）一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是 10 ．
【答案】见试题解答内容
13．（4分）如果关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＞﹣且k≠0 ．
【答案】k＞﹣且k≠0．
14．（4分）将6名志愿者分到3个不同的社区，每个社区2名志愿者，则甲、乙两名志愿者分到同一个社区的概率为 ．
【答案】．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，矩形外一点E满足∠EAD＝∠ECD，点O为对角线BD的中点，则OE的长度为 ．
【答案】．
16．（4分）如图，在▱ABCD中，E为BC边中点．以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，CE为半径画弧，与AD相切于点F．若BC＝4，则阴影部分的面积为 π ．（结果保留π）
【答案】π．
17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 6 ．
【答案】6．
18．（4分）对于一个各个数位上的数字均不为0的自然数m，将各个数位上的数字任意排列，用排列后最大的数m'减去最小的数m″，我们称这样的运算为“极差变换”，记为R（m）．例如：m＝1916，则m'＝9611，m″＝1169，R（m）＝9611﹣1169＝8442．当R（m）＝m时，称m是“极差数”．如果m＝101a+91（1≤a≤7，a为整数）是一个“极差数”，则a＝ 4 ；已知n＝2000x+910+y，p＝1000x+100s+10t+y+6000（1≤y＜x≤4，1≤t＜s≤8，x，y，s，t均为整数），若为整数，且R（p）+st+92t﹣87s﹣7011＝0，则p＝ 8411 ．
【答案】4，8411．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）计算：
（1）x（x﹣2y）+（x+y）2；
（2）（1+）÷．
【答案】（1）2x2+y2；
（2）．
20．（10分）学习了正方形后，小虹进行了拓展性研究，她发现，如图所示正方形ABCD中，E为BC上一点（E不与B，C重合），连接AE，过点B作AE的垂线，交CD于点F，则线段AE与线段BF的长度相等，她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点B作AE的垂线，垂足为点O，交DC于点F．（只保留作图点痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上（E不与B，C重合），连接AE，BF⊥AE，垂足为O，交DC于点F．
求证：AE＝BF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB＝BC ，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠CBF+∠ABF＝90°．
∵BF⊥AE．
∴∠AOF＝90°．
∴ ∠BAE+∠ABF＝90° ，
∴∠EAB＝ ∠FBC ．
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴AE＝BF．
小虹再进一步研究发现，过AB上其它点也能作出具备此特征的一组垂线，请你依照题意完成下面命题：
过AB上一点作AE的垂线， 分别与DC，AB交于F、G，则线段FG与线段AE的长度相等． ．
【答案】AB＝BC，∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBE，过AB上一点作AE的垂线，分别与DC，AB交于F、G，则线段FG与线段AE的长度相等．
21．（10分）2024年5月17日，江津区召开创建全国文明城区交通秩序提升工作部署会议，进一步提升我区创建全国文明城区工作水平，打造安全、文明、有序的道路交通环境．为调查道路交通环境在学生家长中的满意程度，在甲、乙两所中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现在从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生家长的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A、B、C、D四个等级：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：x＜70）．下面给出了部分信息：
甲中学10名学生家长满意度得分数据：97，97，94，94，93，87，87，87，77，67．
乙中学10名学生家长中B等级所有满意度得分数据：89，86，86，86．
甲、乙中学抽取的学生家长满意度得分统计表：
乙中学抽取的学生家长满意度得分扇形统计图：
请根据以上信息解答：
（1）a＝ 87 ，b＝ 86 ，m＝ 10 ；
（2）你认为哪所中学的学生家长对道路交通环境更满意？请说明理由．（写出一条即可）
（3）若甲、乙两校共有8000人参加此次满意度调查，请你估计非常满意（x≥90）该道路交通环境的学生家长有多少人？
【答案】（1）87，86，10；
（2）甲校的较好，理由：甲校学生的满意度得分的中位数，众数均比乙校学生的满意度得分的中位数、众数要高；
（3）3600．
22．（10分）近日被市民们亲切的称为“背篓专线”的重庆轻轨四号线受到人们的关注，某天张大爷乘坐“背篓专线”将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷拿去市区售卖，已知2斤樱桃和3斤枇杷共可卖95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元．
（1）请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元？
（2）张大爷这天一共有20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天的售卖，樱桃一共卖出了樱桃总量的70%，由于天气炎热，在剩下的樱桃中出现了m%的损坏不能售卖．枇杷售出了枇杷总量的，张大爷决定对剩下的樱桃打8折销售，剩下的枇杷直接每斤降价m元，很快便将所有水果销售一空，张大爷这天卖水果一共收入了889元，求m的值．
【答案】（1）张大爷售卖的樱桃每斤的售价为25元，枇杷每斤的售价为15元；
（2）m的值为5．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿着折线A→D→E（含端点）运动，到达E点停止运动，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设点P的运动时间为x秒，PQ的长度为y1，请解答下列问题：
（1）直接写出y1关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）的函数图象如图所示，当y1≥y2时，请直接写出x的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）y1＝；
（2）当0≤x≤5时，y1随x的增大而增大；
（3）当y1≥y2时，x的取值范围为2.5≤x≤7.8．
24．（10分）重庆动物园顶流明星—一大熊猫“渝可、渝爱”人气爆棚，吸引了全国各地的游客前来拍照打卡．如图，三角形观赏区ABE紧邻四边形熊猫馆ABCD．经测量，点C在点B的正东方向，点A在点B的北偏东45°方向，点E在点B的正北方向且在点A的正西方向，点D在点A的正东方向且在点C的北偏东60°方向．AD长30米，CD长40米．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
（1）求AB的长度；（结果精确到1米）
（2）天气炎热时，饲养员会在点D处为熊猫放置冰块帮助熊猫降温．渝可从B出发沿B→A→D到达点D，渝爱从B出发沿B→C→D到达点D，请计算说明哪只熊猫选择的路线较近？
【答案】（1）AB的长度约为28米；
（2）渝爱选择的路线较近．
25．（10分）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PQ平行于y轴交BC于点Q，点D是PQ的中点，过点D作BC的平行线交y轴于点F，过点C作CH平行于x轴交DF于点H，点R在直线BC上，当PQ+2CH取最大值时，求此时点P的坐标及AR﹣PR的最大值．
（3）如图2，点E坐标为E（0，﹣2），将原抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，得到新抛物线y1，在抛物线y1是否存在点M，满足∠BEM＝∠ACO，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；
（2）PQ+2CH的最大值为9，此时；
（3）（8，﹣2）或．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，点D是边AB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE．
（1）如图1，求证：∠ACD＝∠ADE；
（2）如图2，CG是△ABC的中线，连接EG，点H是EG的中点，连接DH，试猜想DH、BD、AC的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AC＝2，点Q是CG的中点，点P是BC上一点，将△PCQ沿PQ翻折，得到△PC′Q，点D、P在运动过程中，当C′E最短时，请直接写出△ABE的面积．
【答案】（1）证明见解答；
（2）DH+BD＝AC．理由见解答；
（3）．学校
平均数
中位数
众数
甲
88
90
a
乙
88
b
86
学校
平均数
中位数
众数
甲
88
90
a
乙
88
b
86