山东省安丘市红沙沟镇红沙沟中学2025届九上数学开学考试试题【含答案】

这是一份山东省安丘市红沙沟镇红沙沟中学2025届九上数学开学考试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知菱形的两条对角线分别为6和8，则菱形的面积为（ ）
A．48B．25C．24D．12
2、（4分）如图，在中，，垂足为，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为
A．2B．3C．4D．8
4、（4分）武侯区某学校计划选购甲，乙两种图书为“初中数学分享学习课堂之生讲生学”初赛的奖品．已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书少10本，设乙种图书的价为x元，依据题意列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则下列结论中不正确的是( )
A．△ABE≌△ACFB．点D在∠BAC的平分线上
C．△BDF≌△CDED．D是BE的中点
6、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC=AB， E是AB边的中点，G、F为 BC上的点，连接OG和EF，若AB=13， BC=10，GF=5，则图中阴影部分的面积为( )
A．48B．36C．30D．24
8、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AC=BC．边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3，负半轴上有一点B₁，且AB₁=AB，点B₁所表示的数是（ ）
A．-2B．-2C．2-1D．1-2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）分解因式：2x2-8x+8=__________.
10、（4分）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠EPF=147°，则∠PFE的度数是___．
11、（4分）若，则的值为______.
12、（4分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．
13、（4分）计算：（﹣1）0+（﹣）﹣2＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，E 为 BC 上一点，以 CE 为直径作⊙O 恰好经过 A、C 两点， PF⊥BC 交 BC 于点 G，交 AC 于点 F．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）如果 CF =2，CP =3，求⊙O 的直径 EC．
15、（8分）某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同.
（1）a=__，=____；
（2）①分别计算甲、乙成绩的方差.
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中.
16、（8分）为选拔参加八年级数学“拓展性课程”活动人选，数学李老师对本班甲、乙两名学生以前经历的10次测验成绩（分）进行了整理、分析（见图①）：
（1）写出a，b的值；
（2）如要推选1名学生参加，你推荐谁？请说明你推荐的理由．
17、（10分）某超市销售一种水果，迸价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种牛奶的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
(2)若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？
18、（10分）化简求值：，从-1，0， 1，2中选一个你认为合适的m值代入求值．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，点E，F分别是BD，DC的中点．若AB＝4，BC＝3，则AE+EF的长为_____．
20、（4分）如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠ADM的度数是_____．
21、（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10，等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，∠DAE=90°，AD=AE=6，连接BD、CD、CE，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN的面积最大值为_____．
22、（4分）如图，在正方形中，点、在对角线上，分别过点、作边的平行线交于点、，作边的平行线交于点、. 若，则图中阴影部分图形的面积和为_____.
23、（4分）如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为___．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）阅读材料：小华像这样解分式方程
解：移项，得：
通分，得：
整理，得：分子值取0，得：x+5＝0
即：x＝﹣5
经检验：x＝﹣5是原分式方程的解．
（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是 ；
（2）试用小华的方法解分式方程
25、（10分）一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．
(1)求该函数的解析式；
(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
26、（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线的长度分别为6和8，
∴它的面积=×6×8=1．
故选：C．
本题考查了菱形的性质，菱形的面积可以用对角线乘积的一半求解，也可以利用底乘以高求解．
2、A
【解析】
根据题意，可以证得△ACD∽△CBD，进而得到，由已知数据代入即可．
【详解】
由题意知，，
∴∠ADC=∠BDC=90°，∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即，
∵，，
∴CD=4，
故选：A．
本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
3、C
【解析】
试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6， 解得α=1．
考点：根与系数的关系．
4、A
【解析】
根据“600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书少10本”列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】
由题意可得，
，
故选：A．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
5、D
【解析】
根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】
∵AB=AC,BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,∠A=∠A
∴△ABE≌△ACF(AAS)，正确；
∵△ABE≌△ACF,AB=AC
∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°
∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
∵△ABE≌△ACF,AB=AC
∴BF=CE,∠B=∠C,∠DFB=∠DEC=90°
∴△BDF≌△CDE(AAS)，正确；
D. 无法判定，错误；
故选D.
6、D
【解析】
由▱ABCD的性质及图形可知：
A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；
B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；
C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；
D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；
故选D．
7、C
【解析】
连接EO，设EF，GO交于点H，过点H作NM⊥BC与M，交EO于N，过点A作AP⊥BC，将阴影部分分割为△AEO，△EHO，△GHF，分别求三个三角形的面积再相加即可．
【详解】
解：如图连接EO，设EF，GO交于点H，过点H作NM⊥BC与M，交EO于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，O为对角线交点，
∴O为AC中点，
又∵E为AB中点，
∴EO为三角形ABC的中位线，
∴EO∥BC，
∴MN⊥EO且MN=
即EO=5，
∵AC=AB，
∴BP=PCBC=5，
在Rt△APB中，，
∴三角形AEO的以EO为底的高为AP=6，MN==6
∴，，
∴,
故选：C
本题考查了平行四边形的性质、三角形与四边形的面积关系；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
8、D
【解析】
先求出AC的长度，再根据勾股定理求出AB的长度，然后根据B1到原点的距离是2-1，即可得到点B1所表示的数．
【详解】
解：根据题意，AC=3-1=2，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，
∴B1到原点的距离是2-1．
又∵B′在原点左侧，
∴点B1表示的数是1-2．
故选D．
本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，求出AB的长度是解题的关键．解题时注意实数与数轴上的点是一一对应关系．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2(x-2)2
【解析】
先运用提公因式法，再运用完全平方公式.
【详解】
：2x2-8x+8=.
故答案为2(x-2)2.
本题考核知识点：因式分解.解题关键点：熟练掌握分解因式的基本方法.
10、16.5°
【解析】
根据三角形中位线定理得到PE=AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE=AD，
同理，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=×（180°-∠EPF）=16.5°，
故答案为：16.5°．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
11、.
【解析】
由可得，化简即可得到，再计算，即可求得=.
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∴=.
故答案为：.
本题考查了完全平方公式的变形应用，正确求得是解决问题的关键.
12、30°
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵E为边AB的中点，
∴AE=BE，
由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE，FE=BE，
∴AE=FE，
∴∠EFA=∠EAF=75°，
∴∠BEF=∠EAF+∠EFA=150°，
∴∠CEB=∠FEC=75°，
∴∠FCE=∠BCE=90°-75°=15°，
∴∠BCF=30°，
故答案为30°．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解决问题的关键．
13、5
【解析】
按顺序分别进行0次幂运算、负指数幂运算，然后再进行加法运算即可.
【详解】
(﹣1)0+(﹣)﹣2
=1+4
=5，
故答案为：5.
本题考查了实数的运算，涉及了0指数幂、负整数指数幂，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）⊙O 的直径EC= 1.
【解析】
（1）若要证明AB是⊙O的切线，则可连接AO，再证明AO⊥AB即可．
（2）连接OP，设OG为x，在直角三角形FCG中，由CF和角ACB为10°，利用10°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出CG的长，即可表示出半径OC和OP的长，在直角三角形CGP中利用勾股定理表示出PG的长，然后在直角三角形OPG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，然后求出直径即可．
【详解】
证明：（1）连接AO，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠ACB=10°，
∵AO=CO，
∴∠0AC=∠OCA=10°，
∴∠BAO=120°-10°=90°，
∵OA 是半径
∴AB 是⊙O 的切线；
（2）解：连接OP，
∵PF⊥BC，∴∠FGC=∠EGP=90°，
∵CF=2，∠FCG=10°，∴FG=1，
∴在Rt△FGC 中CG=
∵CP=1．∴Rt△GPC 中，PG=
设OG=x，则OC=x+，连接OP，，显然OP=OC=x+
在 Rt△OPG 中，由勾股定理知
即(x+)2=x2+()2∴x .
∴⊙O 的直径EC=EG+CG=2x++=1.
故答案为：（1）见解析；（2）⊙O 的直径EC= 1.
本题考查圆的切线的判定，常用的切线的判定方法是连接圆心和某一点再证垂直．
15、（1）4，6；（2）乙
【解析】
（1）根据总成绩相同可求得a;
（2）根据方差公式，分别求两者方差.即s²=[(x1-)²+(x2-)²+...+(xn-)²]；因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，所以从方差得出乙的成绩比甲稳定.
【详解】
（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30，则a=30﹣7﹣7﹣5﹣7=4， ═30÷5=6；
（2）甲的方差为：[（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2]=3.6.
乙的方差为： [（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]=1.6.
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中；
本题考核知识点：平均数，方差.解题关键点：理解平均数和方差的意义.
16、（1）a=84.5，b=81；（2）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定．
【解析】
(1)依据中位数和众数的定义进行计算即可；
(2)依据平均数、中位数、方差以及众数的角度分析，即可得到哪个学生的水平较高．
【详解】
(1)甲组数据排序后，最中间的两个数据为：84和85，故中位数a(84+85)=84.5，乙组数据中出现次数最多的数据为81，故众数b=81；
(2)甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；
或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲．(答案不唯一，理由须支撑推断结论)．
本题考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
17、（1）y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；（2）售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
【解析】
（1）根据价格每降低2元，平均每月多销售10箱，由每箱降价元，多卖，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价−成本）×销售量−每月其他支出列出函数关系式，求出最大值.
【详解】
解：（1）根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；
（2）设每月销售水果的利润为w，
则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500
＝﹣5x2+100x+1420
＝﹣5（x﹣10）2+1920，
当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，
答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
本题主要考查二次函数的应用，由利润=（售价−成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键.
18、，
【解析】
根据分式的混合运算法则运算即可，注意m的值只能取1．
【详解】
解：原式=
=
=
把m=1代入得，原式=．
本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键是掌握分式的运算法则．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先根据三角形中位线定理得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出计算结果．
【详解】
解：∵点E，F分别是的中点，
∴FE是△BCD的中位线，
.
又∵E是BD的中点，
∴Rt△ABD中，，
故答案为1．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
20、75°
【解析】
连接BD,根据BD,AC为正方形的两条对角线可知AC为BD的垂直平分线,所以∠AMD=AMB,求∠AMD,∠AMB，再根据三角形内角和可得.
【详解】
如图，连接BD，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，
∴∠EBC=∠BEC=（180°-∠BCE）=15°,
∵∠BCM=∠BCD=45°，
∴∠BMC=180°-（∠BCM+∠EBC）=120°
∴∠AMB=180°-∠BMC=60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD=∠AMB=60°，
∴∠ADM=180〬-∠DAC-∠AMD=180〬-45〬-60〬=75〬.
故答案为75〬
本题考核知识点：正方形性质，等边三角形. 解题关键点：运用正方形性质，等边三角形性质求角的度数.
21、31
【解析】
由题意可证△ADB≌△EAC，可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，由三角形中位线定理可证△MPN是等腰直角三角形，则S△PMN=PN1=BD1．可得BD最大时，△PMN的面积最大，由等腰直角三角形ADE绕着点A旋转，可得D是以A为圆心，AD=6为半径的圆上一点，可求BD最大值，即可求△PMN的面积最大值．
【详解】
∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE且AB=AC，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC，
∴DB=EC，∠ABD=∠ACE．
∵M，N，P分别是DE，DC，BC的中点，
∴MP∥EC，MP=EC，NP=DB，NP∥BD，
∴MP=NP，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC．
设∠ACE=x°，∠ACD=y°，
∴∠ABD=x°，∠DBC=45°﹣x°=∠PNC，∠DCB=45°﹣y°，
∴∠DPM=x°+y°，∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC=45°﹣y°+45°﹣x°=90°﹣x°﹣y°，
∴∠MPN=90°且PN=PM，
∴△PMN是等腰直角三角形，∴S△PMN=PN1=BD1，∴当BD最大时，△PMN的面积最大．
∵D是以A点为圆心，AD=6为半径的圆上一点，
∴A，B，D共线且D在BA的延长线时，BD最大．
此时BD=AB+AD=16，
∴△PMN的面积最大值为31．
故答案为31．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22、2
【解析】
首先根据已知条件，可得出矩形BEPF和矩形BHQG是正方形，阴影部分面积即为△ABD的面积，即可得解.
【详解】
解：由已知条件，得∠DBC=∠ABD=∠BPE=∠BQH=45°，
∴矩形BEPF和矩形BHQG是正方形，
又∵BP、BQ分别为正方形BEPF和正方形BHQG的对角线
∴，
∴阴影部分的面积即为△ABD的面积，
∴
故答案为2.
此题主要考查正方形的判定，然后利用其性质进行等量转换，即可解题.
23、84°．
【解析】
据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案．
【详解】
正五边形的内角是∠ABC＝＝108°，
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝36°，
正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝＝120°，
∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°，
∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故答案为84°．
本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）分式的值为1即分子为1且分母不为1．（2）分式方程无解．
【解析】
（1）根据分式的值为1即分子为1且分母不为1可得；
（2）移项后，通分、根据分式的加减法则计算左边，再由（1）中结论得出关于x的方程，解之求得x的值，最后检验即可得．
【详解】
解：（1）小华这种解分式方程的新方法，主要依据是分式的值为1即分子为1且分母不为1，
故答案为：分式的值为1即分子为1且分母不为1．
（2），
，
，
则﹣4（x+2）＝1，
解得：x＝﹣2，
检验：x＝﹣2时，分母为1，分式无意义，
所以x＝﹣2是增根，原分式方程无解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
25、（1）y＝－2x＋1；（2）2；点P的坐标为(0，1)．
【解析】试题分析：(1)、将A、B两点的坐标代入解析式求出k和b的值，从而得出函数解析式；(2)、首先得出点C关于y轴的对称点为C′，然后得出点D的坐标，根据C′、D的坐标求出直线C′D的解析式，从而求出点P的坐标，然后根据勾股定理得出C′D的长度，从而得出答案.
试题解析：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝1．
∴解析式为：y＝－2x＋1；
（2）存在一点P，使PC+PD最小．
∵0（0，0），A（2，0），且C为AO的中点，
∴点C的坐标为（1，0）， 则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵B（0，1），A（2，0）且D为AB的中点， ∴点D的坐标为（1，2），
连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，
有， 解得， ∴y=x+1是DC′的解析式， ∵x=0，∴y=1，
即P（0，1）． ∵PC+PD的最小值=C′D，
∴由勾股定理得C′D=2．
26、（1）图形见解析；
（2）图形见解析；
（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）
【解析】
(1)按题目的要求平移就可以了
关于原点对称的点的坐标变化是:横、纵坐标都变为相反数，找到对应点后按顺序连接即可
(3)AB的长是不变的，要使△PAB的周长最小，即要求PA+PB最小，转为了已知直线与直线一侧的两点，在直线上找一个点，使这点到已知两点的线段之和最小，方法是作A、B两点中的某点关于该直线的对称点，然后连接对称点与另一点．
【详解】
（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）
1、图形的平移；2、中心对称；3、轴对称的应用
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7