江苏省徐州市铜山区棠张中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

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第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线2x−23y−1=0的倾斜角α=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】根据直线方程求出斜率，再由斜率得出倾斜角即可.
【解答过程】由2x−23y−1=0可得，y=33x−36，
所以直线斜率k=tanα=33，
又0≤αb>0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F2=2，过点F2作两条直线l1,l2，直线l1与C交于A,B两点，△F1AB的周长为42．
(1)求C的方程；
(2)若△F1AB的面积为43，求l1的方程；
(3)若l2与C交于M,N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求MN−AB的最大值．
【解题思路】（1）根据椭圆的定义求得a=2，即可求解；
（2）由题意设l1:x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2，联立椭圆方程，根据韦达定理表示出y1−y2，结合△F1AB的面积建立方程，计算即可求解；
（3）由（2）可得AB=221−1m2+2，进而MN=221−14m2+2，则MN−AB= 322m2+5+2m2，结合基本不等式计算即可求解.
【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c(c>0)，由题意知2c=2，所以c=1，
△F1AB的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=42，所以a=2，
所以b2=a2−c2=1，
故C的方程为x22+y2=1．
（2）易知l1的斜率不为0，设l1:x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2，
联立x=my+1x2+2y2−2=0，得m2+2y2+2my−1=0，
所以y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2．
所以y1−y2=y1+y22−4y1y2=22m2+1m2+2，
由S△F1AB=12F1F2y1−y2=22m2+1m2+2=43，
解得m=±1，
所以l1的方程为x−y−1=0或x+y−1=0．
（3）由（2）可知AB=1+m2y1−y2=22m2+1m2+2=221−1m2+2，
因为l1的斜率是l2的斜率的2倍，所以m≠0，
得MN=221−14m2+2．
所以MN−AB=221m2+2−14m2+2=32m22m4+5m2+2 =322m2+5+2m2≤324+5=23，
当且仅当m=±1时，等号成立，
所以MN−AB的最大值为23．