沪教版（五四制）数学九上25.1《锐角的三角比》（题型专训）（原卷+解析卷）

这是一份沪教版（五四制）数学九上25.1《锐角的三角比》（题型专训）（原卷+解析卷），文件包含沪教版五四制数学九上251《锐角的三角比》题型专训原卷版docx、沪教版五四制数学九上251《锐角的三角比》题型专训解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。

25.1锐角的三角比的意义基础知识一、锐角的三角比的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．　锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即；锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即.同理；；；要点：　　(1)正弦、余弦、正切、余切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．　　(2)sinA，cosA，tanA，cotA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A，cot与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、、常写成、、、．　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角比的值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．　　(4)由锐角三角比的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，，，tanA＞0 cotA＞0.过关检测一、单选题1．在中，，那么锐角的正弦等于（      ）A． B． C． D．．【答案】B【分析】根据锐角三角函数的定义可直接得出结果．【解析】在中，，那么锐角的正弦=，故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，属于基础题，需要熟练掌握锐角三角函数的定义．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，则是∠A的（　　）A．正弦 B．余弦 C．正切 D．以上都不对【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的三角函数可得：sinA=，cosA=，tanA=，故选B．3．在RtABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A的正弦值（　　）A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．没有变化【答案】D【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角A的正弦值等于对边与斜边的比值，判断即可；【解析】解：根据锐角三角函数的概念，在RtABC中，，则，若各边长都扩大2倍，则的值不变．故选：D．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的概念，准确根据正弦的定义求解是解题的关键．4．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论．【解析】解：如下图所示在Rt中，=，故A不符合题意；在Rt中，=，故B不符合题意；∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90°∴∠A=∠BCD∴=tan∠BCD=，故C不符合题意；≠，故D符合题意．故选D．【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键．5．在中，，如果的正弦值是，那么下列各式正确的是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角的正弦三角函数的定义，即可得到答案.【解析】∵在中，，的正弦值是，∴sinA==，∴，故选A.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握锐角的正弦三角函数的定义，是解题的关键.6．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA的值是（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意画图：由题意得：sinA= ＝ .故选A.7．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据锐角三角函数的定义解答．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，则．故选：C．【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．8．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D．【解析】解：∵，∴，在中，故A、B不符合题意；在中，，故C符合题意；∵，，∴，在中，，∴，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．9．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　）A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA【答案】A【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则tanA＝，tanB＝，cosB＝，sinB＝；因而b＝c•sinB＝a•tanB，a＝b•tanA，错误的是b＝c•cosB．故选：A．【点睛】本题考查三角函数的定义,熟记定义是解题的关键.10．已知下列说法：①如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大；②如果α是锐角，则cosα随着角度的增大而增大；③如果α是锐角，则tanα随着角度的增大而增大；④如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，tanα<1，其中正确的有（  ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】Sinα是对边与斜边的比值，cosα是邻边与斜边的比值，tanα是对边与邻边的比值，利用锐角三角函数的定义即可解答.【解析】如果α是锐角，则sinα随着角度的增大而增大，cosα随着角度的增大而减小，tanα随着角度的增大而增大，据此可判断①和③正确，②错误；如果α是锐角，则cosα<1，sinα<1，但tanα只有在α＜45°时才小于1，故④错误；故选择B.【点睛】理解锐角三角函数的定义是解答此题的关键.二、填空题11．如图，在 中，．（1）斜边 ；（2） 的对边 ；（3） 的邻边 ；（4） ．【答案】 c b a 【分析】根据各边名称定义写出每边的代号即可．【解析】（1）直角三角形的斜边为最长边c（2）∠B的对边是∠B正对的边b（3）∠B的邻边是a，（4）∠B的对边比斜边即等于b÷c=故答案为①c②b③a④【点睛】本题考查直角三角形各边名称，熟记这些名称是解题关键．12．如果中，那么 （填的三角比）【答案】【分析】根据直角三角形中余弦性质求解即可【解析】∵直角三角形中，余弦等于邻边比斜边∴=∴答案为cosB【点睛】本题主要考查了余弦的性质，熟练掌握相关性质是解题关键13．在⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则 ．【答案】【分析】根据余弦的定义进行解答【解析】在Rt△ABC中，AC＝，，故填．【点睛】本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝ 【答案】【分析】根据正弦的定义解得即可．【解析】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴sinA=，故答案为：．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个（1） ；（2）；（3）；（4）．【答案】3【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cosA＝＝＝．故（1），（2），（4）正确．故答案为：3．【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．16．在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A  2, 4 ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么 的余弦值为 .【答案】【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解析】根据题意可得 所以 故答案为：【点睛】考查锐角三角函数的定义， 坐标与图形性质， 勾股定理，掌握余弦定理的概念是解题的关键.17．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ．【答案】【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可.【解析】解：过A作AD垂直于BC于D，则AD=2，AC=，∴sinC=.故答案为.【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键.18．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．【答案】或【解析】解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3，①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=；②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=；所以tanA的值为或．三、解答题19．已知， 其中为锐角，求、、的値．【答案】，，【分析】根据已知锐角α的正弦，设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k，根据锐角三角函数的定义求解即可．【解析】∵∴设α的对边=2k，直角三角形的斜边=3k，由勾股定理求出α的邻边=k，∴，，．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义的应用，解题关键是熟练掌握三角函数定义．20．在Rt△ABC中，∠C＝，AB＝13，BC＝5，求sinA，cosA，tanA．【答案】sinA=，cosA=，tanA=【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度；然后利用锐角三角函数的定义解答．【解析】解∶ ∵Rt△ABC中，∠C=，若AB=13，BC=5，∴AC=12，∴sinA=；cosA=；tanA=【点睛】本题考查锐角三角函数的综合应用，熟练掌握锐角三角函数的意义和勾股定理的应用是解题关键．21．在中，，，求、的正切值．【答案】，【分析】设a=3k  b=5k利用正切定义求解【解析】解：，设a=3k ，b=5k，故答案为，【点睛】本题考查了角的正切值，熟练掌握正切的概念是解题的关键.22．在⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.求和的値．【答案】2；2【分析】根据锐角的正切等于对边比邻边，余切等于邻边比对边即可解答．【解析】解：∵⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8.∴，．即=2，=2．【点睛】本题考了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边是解题关键．23．已知P（2,3），OP与x轴所夹锐角为，求．【答案】【分析】易得α的对边为3，邻边为2，那么tanα等于α的对边与邻边之比．【解析】解：如图：∵P（2，3）；∴．【点睛】考查锐角三角函数的知识；用到的知识点为：一个锐角的正切值等于这个角的对边与邻边之比．24．在中，．当确定时，它的正弦值是否随之确定？余弦值呢？正切值呢？为什么？【答案】当确定时，正弦值确定，余弦值确定，正切值确定．【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的定义，可得答案．【解析】解：在中，．当确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与斜边的比值是不变的；在中，．当确定时，它的余弦值是随之确定，理由是：，确定，则三角形的形状确定，邻边与斜边的比值是不变的．在中，．当确定时，它的正切值是随之确定，理由是：，确定，则三角形的形状确定，对边与邻边的比值是不变的．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．25．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．）【答案】．【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得．【解析】解：如图，分别作，垂足分别为，在中，，，在中，，，，，在中，，，在中，，，，，．【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．26．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.（1）在图①中画一条射线，使.（2）在图②中画一条射线，使.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC为直角时，需要保证AB=2BC；（2）∠ABD是直角，需要保证BD=即可.【解析】解：（1）如图所示.（2）如图所示.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，能够找到合适的直角三角形进行转换是解题的关键.27．如图，在中，．（1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？（2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？（3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用正切的定义：，进行运算即可．【解析】解：（1）∵，∴（2）∵∴∴，∴（3）∵∴∴，∴【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键．