2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学02（人教A版2019必修第一册第一-三章）试题Word版附解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合逻辑+不等式+函数。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，
则 且，即且 ，
所以，阴影部分可表示为.
故选：D.
2．已知命题，，则是（ ）
A．，
B．，
C．或，
D．或，
【答案】B
【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以，．
故选：B．
3．已知集合．设，下列说法正确的是（ ）
A．p是q的充分不必要条件B．p是q的必要不充分条件
C．p是q的充要条件D．p是q的既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由，，
故为的真子集，又，故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由的解集为，
可知函数的大致图象为选项D中的图象，
又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项.
故选:C．
5．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：
，
即，
，
，可转化为：，
即，
即，
满足，且，有，
在上单调递增，
即 ，
解得：，
即不等式的解集为：.
故选：C.
6．设函数的定义域为，满足，且当x∈0,2时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，，
则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D.
7．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数的图象存在“隐对称点”，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设为奇函数，且当时，，则x>0时，.
则原问题转化为方程：在上有解，求的取值范围问题.
由在有解得：
.
故选：A
8．已知，，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合A，B，U满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】由，可得，所以B正确；
如图所示，由，可得A错误，C正确；
又由，所以D错误.
故选：BC.
10．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在0,+∞上是减函数
【答案】AC
【详解】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
当时，幂函数在0,+∞上是增函数，故D中的结论错误；
故选：AC.
11．下列命题正确的是（ ）
A．若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是
B．若关于x的不等式在上恒成立，则实数k的取值范围是
C．若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是或
D．若，则的最小值为
【答案】ACD
【详解】对于A，二次函数，开口向上，
若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小，
则，解得，故A正确；
对于B，若关于x的不等式在上恒成立，
则只需，即在上恒成立即可，
则实数k的取值范围是，故B错误；
对于C，若关于x的不等式的解集是，则，
所以关于x的不等式或，故C正确；‘
对于D，若，则，解得，当且仅当等号成立，
所以，当且仅当等号成立，故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
【答案】
【详解】由题意得函数fx的定义域是，
令，所以，即，解得，
由，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】由“”是“”的必要条件，即，
由A中元素为整数，故A只可能为，，，
由点不在第一、三象限，得：或，即①或②，
当时，①无解，由②得，
此时，故，有；
当时，由①②得，
此时，因，只须，有；
综上：实数a的取值范围是.
故答案为：
14．函数，对任意的，总存在，使得成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】对于，显然是增函数，，最小值为；
对于，
当时，，即；
当时，，，无解；
综上，a的取值范围是；
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合、集合（）.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；分
（2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为分
16．（15分）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.
(1)求，的值；
(2)用函数单调性的定义证明在上单调递增；
(3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
【详解】（1）由，
则，又当时，，
则，；分
（2）令，则，即，
当时，，且，
即，
即在上恒成立，
由，可知，
令，，且，即，
则，
所以，
即在上单调递增；分
（3）由已知，
又由（1）得，
所以，
又函数在上单调递增，
则恒成立，
所以恒成立，
又，
即，
解得分
17．（15分）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表：
未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）．
(1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式；
(2)请预测示来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少?
(3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围．
【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数，
设一次函数为，把和代入，
解得，
∴；
把代入检验，，符合题意，
∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为；分
（2）设日销售利润为W元，
①当时，，
∴当时，W有最大值450，分
②当时，，
∴当时，W随x增大而减小，
∴时，，
∵，
∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元；分
（3）由题意知
二次函数开口向下，对称轴是，
要使日销售利润随时间x的增大而增大，则，
∴，又，∴．分
18．（17分）若关于的不等式的解集为.
(1)当时，求的值；
(2)若，，求的值，并求的最小值.
【详解】（1）由题意，关于的方程有两个根，，
所以，故分
（2）由题意，关于方程有两个正根，
且由韦达定理知，解得，
所以，分
所以，
又，，故、，
所以，当且仅当即时等号成立，
结合得即，时取等号.
此时实数符合条件，
故，且当时，取得最小值分
19．（17分）已知为实数集的一个非空子集，称是一个加法群，如果连同其上的加法运算满足如下四条性质：
①，；
②，；
③，，使得；
④，，使得．
例如是一个无限元加法群，是一个单元素加法群．
(1)令，，分别判断，是否为加法群，并说明理由；
(2)已知非空集合，并且，有，求证：是一个加法群；
(3)已知非空集合，并且，有，求证：存在，使得．
【详解】（1）集合表示所有偶数，满足①任意两个偶数相加仍是偶数，②加法结合律，③，④偶数的相反数仍是偶数，所以是加法群；
集合表示所有奇数，满足②加法结合律，④奇数的相反数仍是奇数，不满足①任意两个奇数相加仍是奇数，②，所以不是加法群分
（2）因为非空集合，所以满足②结合律，
根据题意可知当时，，满足条件③，
则，有，满足④，
所以有，满足①，
综上满足①②③④，是一个加法群分
（3）由（2）可是是一个加法群，
证明存在，使得，即证明恰是的所有整数倍组成的集合，
当时，显然，结论成立，
当时，由（2）可知若，则，集合中一定有正整数，
假设是集合中最小正整数，则由性质①及，有可知对于任意整数有，
下证，
设，且不能被整除，设，，，
因为，，则根据，有可知，与是集合中最小正整数矛盾，
所以集合中不存在不能被整除的数，
所以分
时间（天）
1
3
6
10
36
日销售量（件）
94
90
84
76
24