辽宁省红旗学校2025届九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】

这是一份辽宁省红旗学校2025届九年级数学第一学期开学教学质量检测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
2、（4分）关于的一元二次方程的一个根为0，则的值是（ ）
A．B．3C．或1D．3或
3、（4分）（2016山西省）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
4、（4分）下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）对于抛物线y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣2
C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大
D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1
6、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移m个单位，当点D落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），m的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7、（4分）﹣2018的倒数是（ ）
A．2018B．C．﹣2018D．
8、（4分）下列命题中，假命题的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）__________．
10、（4分）在□ABCD中，已知∠A=110°，则∠D=__________.
11、（4分）若a，b是直角三角形的两个直角边，且，则斜边c=______．
12、（4分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝_____．
13、（4分）函数y=kx+b的图象平行于直线y=-2x，且与y轴交于点（0，3），则k=______，b=____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图甲，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
解题思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，如图乙所示，连接PP′．
（1）△P′PB是 三角形，△PP′A是 三角形，∠BPC＝ °；
（2）利用△BPC可以求出△ABC的边长为 ．
如图丙，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1；
（3）求∠BPC度数的大小；
（4）求正方形ABCD的边长．
15、（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
16、（8分）某公司招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘，公司聘请了3位专家和4位群众代表组成评审组，评审组对两人竟聘演讲进行现场打分，记分采用100分制，其得分如下表：
（1）甲、乙两位竞聘者得分的中位数分别是多少
（2）计算甲、乙两位应聘者平均得分，从平均得分看应该录用谁（结果保留一位小数）
（3）现知道1、2、3号评委为专家评委，4、5、6、7号评委为群众评委，如果对专家评委组与群众评委组的平均分数分别赋子适当的权，那么对专家评委组赋的权至少为多少时，甲的平均得分比乙的平均得分多0.5分及以上
17、（10分）（问题原型）在图①的矩形中，点、、、分别在、、、上，若，则称四边形为矩形的反射四边形；
（操作与探索）在图②，图③的矩形中，，，点、分别在、边的格点上，试利用正方形网格分别在图②、图③上作矩形的反射四边形；
（发现与应用）由前面的操作可以发现，一个矩形有不同的反射四边形，且这些反射四边形的周长都相等.若在图①的矩形中，，，则其反射四边形的周长为______.
18、（10分）计算：5÷﹣3+2．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）对于平面内任意一个凸四边形ABCD，现从以下四个关系式： ①AB=CD；②AD=BC；③AB∥CD；④∠A=∠C中任取两个作为条件，能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是_______.
20、（4分）已知关于的方程的一个根是x=－1，则_______．
21、（4分）已知反比例函数，当时，y的取值范围是________．
22、（4分）设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，若a＝6，c＝10，则b＝_____．
23、（4分）如图，四边形是一块正方形场地，小华和小芳在边上取定一点，测量知，，这块场地的对角线长是________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，将矩形纸沿着CE所在直线折叠，B点落在B’处，CD与EB’交于点F，如果AB=10cm，AD=6cm，AE=2cm，求EF的长。
25、（10分）如图,在平行四边形中，点、分别是、上的点，且，，求证：
（1）；
（2）四边形是菱形.
26、（12分）如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上．已知，．
（1）求证：；
（2）求这个正方形的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；
D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；
故选D．
2、B
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值.
【详解】
根据题意知，x=0是关于x的一元二次方程的根
∴a2-2a-3=0，解得，a=3或a=-1
又∵a2-1≠0，
∴.a≠±1.
∴.a=3.
故选：B.
本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解使方程的左右两边相等.
3、D
【解析】
先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF=GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【详解】
解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
4、C
【解析】
直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．
【详解】
解：A、ab-a=a（b-1），能够分解因式，故此选项不合题意；
B、a2-9=（a+3）（a-3），能够分解因式，故此选项不合题意；
C、a2+2a+5，不能因式分解，故本选项符合题意；
D、4a2+4a+1=（2a+1）2，能够分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
此题主要考查了提取公因法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．
5、C
【解析】
根据二次函数的性质依次判断各个选项后即可解答．
【详解】
∵y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该抛物线的开口向下，顶点坐标是（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝﹣2时，函数有最大值y＝﹣1，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故选项C的说法错误.
故选C．
本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质是解决问题的关键.
6、D
【解析】
试题分析：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，由菱形ABCD，根据A与B的坐标确定出C坐标，进而求出CM与CN的值，确定出当点C落在△EOF的内部时k的范围，即可求出k的可能值．
解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，
∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，
∴CQ=AQ=1，CM=2，即AC=2AQ=2，
∴C（2，2），
当C与M重合时，k=CM=2；当C与N重合时，把y=2代入y=x+4中得：x=﹣2，即k=CN=CM+MN=4，
∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，
则k的值可能是3，
故选B
7、D
【解析】
根据倒数的概念解答即可.
【详解】
﹣2018的倒数是：﹣．
故选D．
本题考查了倒数的知识点，解题的关键是掌握互为倒数的两个数的乘积为1.
8、C
【解析】
根据矩形、平行四边形、正方形、菱形的判定方法依次分析各选项即可作出判断.
【详解】
A. 四个角都相等的四边形是矩形，是真命题，故不符合题意；
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，故不符合题意；
C. 如图，四边形ABCD的对角线AC=BD且AC⊥BD，但不是正方形，故C选项是假命题，故符合题意；
对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，是正方形
D. 两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故不符合题意，
故选C.
本题考查了矩形、平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各图形的判定方法是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
把变形为，逆用积的乘方法则计算即可.
【详解】
原式=
=
=.
故答案为：.
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10、70°
【解析】
在□ABCD中，∠A+∠D=180°，因为∠A=110°，所以∠D=70°.
故答案：70°.
11、5
【解析】
根据绝对值的性质和二次根式的性质，求出a,b的值，再利用勾股定理即可解答.
【详解】
∵
∴a-3=0,b-4=0
解得a=3,b=4,
∵a，b是直角三角形的两个直角边，
∴c= =5.
故答案为：5.
此题考查绝对值的性质和二次根式的性质，勾股定理，解题关键在于求出ab的值.
12、25°．
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC＝65°，所以∠ABC＝90°－65°＝25°．又AB∥CD，所以∠BCD＝∠ABC＝25°．
13、 -2 3
【解析】试题解析：∵y=kx+b的图象平行于直线y=−2x，
∴k=−2，
则直线y=kx+b的解析式为y=−2x+b，
将点(0,3)代入得：b=3，
故答案为：−2，3.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）等边 直角 150°；（2）；（3）135°；（4） .
【解析】
（1）将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，
（2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，进而求出等边△ABC的边长为 ，问题得到解决．
（3）求出，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P＝90°，推出∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；
（4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE＝BF＝1，AF＝2，关键勾股定理即可求出AB．
【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
∴
∵∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴
∵AP′＝1，AP＝2，
∴AP′2+PP′2＝AP2，
∴∠AP′P＝90°，则△PP′A是 直角三角形；
∴∠BPC＝∠AP′B＝90°+60°＝150°；
（2）过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴
由勾股定理得：
∴
由勾股定理得：
故答案为（1）等边；直角；150；；
（3）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP＝∠EBA+∠ABP＝∠ABC＝90°，
∴，
由勾股定理得：EP＝2，
∵
∴AE2+PE2＝AP2，
∴∠AEP＝90°，
∴∠BPC＝∠AEB＝90°+45°＝135°；
（4）过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB＝45°，
∴FE＝BF＝1，
∴AF＝2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB＝；
∴∠BPC＝135°，正方形边长为．
答：（3）∠BPC的度数是135°；
（4）正方形ABCD的边长是．
本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．
15、见解析
【解析】
（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF=DB．
∵DB=DC，
∴AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S=AC•DF=1．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
16、（1）甲得分中位数为：92（分），乙得分中位数为：91（分）；（2）甲平均得分： 91（分），
乙平均得分： 91.6（分），平均得分看应该录用乙；（3）专家评委组赋的权至少为0.6时，甲的平均得分比乙的平均得分多0.5分及以上.
【解析】
（1）将甲、乙二人的成绩分别排序找出中间位置的一个数即可，
（2）根据算术平均数的计算方法求平均数即可，
（3）根据加权平均数的求法设出权数，列不等式解答即可.
【详解】
（1）甲得分：87 87 89 92 93 94 95，中位数为：92（分），
乙得分：87 89 89 91 94 95 96，中位数为：91（分）；
（2）甲平均得分：甲＝92＋（－3＋2＋1－5＋3＋0－5）＝91（分），
乙平均得分：乙＝92＋（－5－3－1＋3＋2＋4－3）≈91.6（分），
从平均得分看应该录用乙；
（3）设专家评委组赋的权至少为x时，甲的平均得分比乙的平均得分多0.5分及以上，
（89＋94＋93）x＋（87＋95＋92＋87）（1－x）≥（87＋89＋91）x＋（95＋94＋96＋89）（1－x）
即：276x＋361－361x≥267x＋374－374x
解得： x≥≈0.6
所以，专家评委组赋的权至少为0.6时，甲的平均得分比乙的平均得分多0.5分及以上。
考查中位数、算术平均数、加权平均数的意义及计算方法，理解权重对平均数的影响是解决问题的关键．
17、操作与探索:见解析：发现与应用：10.
【解析】
（1）根据网格作出相等的角即可得到反射四边形；
（2）延长GH交PN的延长线与点A，证明△FPE≌△FPB，根据全等三角形的性质得到AB=2NP,再证明GA=GB,过点G作GK⊥NP于K，根据等腰三角形的性质求出KB=AB=4，再利用勾股定理求出GB的长，即可求出四边形EFGH的周长.
【详解】
（1）作图如下：
（2）延长GH交PN的延长线与点A，过点G作GK⊥NP于K，
∵∠1=∠2，∠1=∠5，∴∠2=∠5，
又PF=PF,∠FPE=∠FPB，
∴△FPE≌△FPB，
∴EF=BF,EP=PB,
同理AH=EH,NA=EN,
∴AB=2NP=8，
∵∠B=90°-∠5=90°-∠1，∠A=90°-∠3，
∴∠A=∠B，∴GA=GB,
则KB=AB=4，∴GB=
∴四边形EFGH的周长为2GB=10.
此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
18、8
【解析】
试题分析：用二次根式的除法则运算，然后化简后合并即可；
试题解析：
５÷﹣3+2
=
=8．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
从四个条件中选两个共有六种可能：①②、①③、①④、②③、②④、③④，
其中只有①②、①③和③④可以判断四边形ABCD是平行四边形，所以能够得出这个四边形ABCD是平行四边形的概率是 ．
点睛：本题用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数之比；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
20、
【解析】
试题分析：因为方程的一个根是x=－1，所以把x=－1代入方程得，所以，所以.
考点：一元二次方程的根.
21、
【解析】
利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【详解】
∵k=1＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x=1时，y=1，
当x=2时，y=5，
∴当1＜x＜2时，5＜y＜1．
故答案为．
本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
22、8
【解析】
根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可.据此解答即可.
【详解】
解：由勾股定理的变形公式可得b＝＝8,
故答案为：8.
本题考查了勾股定理的运用，属于基础题. 本题比较简单，解答此类题的关键是灵活运用勾股定理，可以根据直角三角形中两条边求出另一条边的长度.
23、40m
【解析】
先根据勾股定理求出BC，故可得到正方形对角线的长度．
【详解】
∵，
∴，
∴对角线AC=．
故答案为：40m．
此题主要考查利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟知勾股定理的运用．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
首先根据题意证明EF=CF，再作过E作EG⊥CD于G，设EF=CF=x，在Rt△EFG中根据勾股定理求解即可.
【详解】
解：根据题意，∠CEF=∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠CEB=∠ECD，
∴∠CEF∠ECD，
∴EF=CF，
过E作EG⊥CD于G，
设EF=CF=x，
则GF=AB-AE-EF=10-2-x=8-x，
在Rt△EFG中，EF2=GF2+EG2，
∴x2=（8-x）2+62，
∴x=，
∴EF=cm．
本题主要考查勾股定理的应用，关键在于设出合适的未知数，根据勾股定理列方程.
25、 (1)证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）由平行四边形的性质得出∠A=∠C，由ASA证明△DAE≌△DCF，即可得出DE=DF；
（2）由全等三角形的性质得出DA=DC，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，
在△DAE和△DCF中，，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；
（2）由（1）可得△DAE≌△DCF
∴DA=DC，
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
26、（1）见详解；（1）
【解析】
（1）根据EH∥BC即可证明．
（1）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得，列出方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（1）解：如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF＝DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
∴x＝，
∴x1＝，
∴正方形EFGH的面积为cm1．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
评委（序号）
1
2
3
4
5
6
7
甲（得分）
89
94
93
87
95
92
87
乙（得分）
87
89
91
95
94
96
89