2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第07讲：拓展二：定义题(解答题10大题)(学生版+解析)

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(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
5．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，写出所有可能的集合B；
(2)若，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
6．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.
(1)判断集合和是否为集合，说明理由；
(2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数；
(3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.
7．（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）设，若满足，则称比更接近.
(1)设比更接近0，求的取值范围；
(2)判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由；
(3)设且，试判断与哪一个更接近.
8．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
9．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．
(1)已知函数，求函数的不动点；
(2)若对于任意的，二次函数（）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
(3)若函数在区间上有唯一的不动点，求实数m的取值范围．
10．（2023下·上海普陀·高二校考期中）对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”
(1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求.
(2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立.
第07讲：拓展二：定义题（解答题10大题）
1．（2022上·北京·高一校考阶段练习）已知数集具有性质P：对任意的k，，使得成立．
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)若，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A；
(3)求证：．
【答案】(1)不具有，具有，理由见解析
(2)75；或
(3)证明见解析
【分析】（1）由，所以数集不具有性质P，同理根据集合性质P的概念，可判断具有性质P；
（2）由（1）结合数集的性质P的概念，满足，分类讨论，即可求得数集A；
（3）根据数集的性质P的定义，可得，所以，满足
，累加即可证明．
【详解】（1）因为，所以数集不具有性质P，
因为，所以数集具有性质P；
（2）由，所以A的元素都是整数，
构造或具有性质P，
此时元素和为75且是最小值；
下面证明：
假设集合满足，
（存在性显然，因为满足的数集只有有限个）
第一步：首先说明集合中至少有7个元素，
因为集合具有性质P：
对任意的k，，使得成立，
又，
所以，所以，
所以，
，
又，
所以，
所以；
第二步：证明，
若，设，
因为，为了使最小，
在集合中一定不含有元素，使得，从而，
假设，根据性质P，对，有，使得，
显然，而，
而此时集合中至少还有4个不同于的元素，
从而，矛盾；
所以，进而；
同理可证：，
那么根据性质P，有，使得，
我们需要考虑如下几种情况：
①，此时集合中至少需要一个大于等于4的元素，才能得到8，
所以A中所有元素的和大于76，
②，此时集合中至少需要一个大于等于4的元素，才能得到7，
所以A中所有元素的和大于76，
③假设，同上，此时集合的和最小，为75；
④当，此时集合的和最小，最小值为75；
所以A中所有元素的和最小，最小值为75，
此时或；
（3）因为集合具有性质P：
即对任意的，使得成立，
又因为，
所以，所以，
所以，
，
将上述不等式相加得：，
所以．
【点睛】关键点点睛：第二问采用枚举法即可证明，根据题设信息，不断的确定集合中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想.
2．（2024上·北京平谷·高一统考期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集．
(1)若，写出的所有子集；
(2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解；
（2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可.
【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：.
（2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意；
若，设且，
根据题意，，其中，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，与矛盾，
综上所述，只有满足题意.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解.
3．（2023上·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．
【答案】(1)具有性质，理由见解析；
(2)不存在，证明见解析.
【分析】（1）根据定义计算即可判定；
（2）根据定义对进行讨论，一一计算即可证明.
【详解】（1）对于集合，
根据定义可知，且符合定义，
所以具有性质；
（2）假设存在具有性质，根据定义易知中有4个元素且，
①若，则，没有4个元素，不符题意舍去；
②若，则，
而，不符题意舍去；
③若，则，
而，
故中至多包含3个元素，不符题意舍去；
④若，则，
而，不符题意舍去；
⑤若，则，没有4个元素，不符题意舍去；
综上可知：不存在具有性质的集合.
【点睛】思路点睛：第二问需要根据定义得出，从而分五种情况进行讨论，讨论时依次得出集合的可能情况结合定义验证判定即可.
4．（2024上·北京密云·高一统考期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)7
【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；
（2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解.
【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
,
经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；
（2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知
均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数；
若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）,
显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，
此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数，
综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”，
当，设，去掉1后，，
去掉3后，，去掉5后，，
去掉7后，，去掉9后，，
去掉11后，，去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7.
【点睛】关键点点睛：此题考查对集合新定义的理解和应用，考查理解能力，解题的关键是对“和谐集”的准确理解，运用分类讨论求解是常用方法，属于较难题.
5．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，写出所有可能的集合B；
(2)若，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
【答案】(1)，，，
(2)4
(3)证明见详解
【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合.
【详解】（1）所有可能的集合为：，，，.
（2）不妨设：，由于，且，
所以.
由题意，是12的倍数时，或.
当时，因为，
所以当且仅当时，成立，故符合题意.
当时，
若，则，故或符合题意；
若，则，故符合题意；
若，则，无解.
综上，所有可能的集合为，，，.
故满足条件的集合的个数为.
（3）（1）当时，设，则
，
这个数取个值，故其中有两个数相等.
又因为，于是，
从而互不相等，互不相等，
所以存在，使得.
又因，故.
则，则，结论成立.
（2）当时，不妨设，
则（），在这个数中任取3个数，.
若与都是的倍数，，
这与矛盾.
则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数.
考虑这个数：，，，，，.
①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
综上，存在非空集合，使得是的倍数.
【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键.
6．（2023上·北京朝阳·高二统考期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.
(1)判断集合和是否为集合，说明理由；
(2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数；
(3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数.
【答案】(1)是集合，不是集合；
(2)中大于1的元素的可能个数为.
(3)见解析
【分析】（1）由集合的定义即可得出答案；
（2）由题意可得，不妨设，分类讨论，，和结合集合的性质即可得出答案；
（3）根据已知新定义，分类讨论、反证法进行求解、证明.
【详解】（1）集合是集合，
当时，；
当时，；
当时，；
集合不是集合，
取，则，不满足题中性质.
（2）当时，，
当时，，
当时，，
所以.
不妨设，
①若，因为，从而，与矛盾；
②若，因为，故，
所以.
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
③若，因为，所以与矛盾；
④若，因为，故，
所以.
经验证，此时是集合，元素大于1的个数为；
综上：中大于1的元素的可能个数为.
（3）假设集合中全为正实数.
若中至少两个正实数大于，设，则，
取，则，
而，从而，矛盾；
因此中至多有1个正实数大于.
当时，设，
若，
当时，，
当时，，
当时，，
由于，
，
所以，
所以.
因为，
所以
，矛盾.
因此当时，.
当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于，
设，
因为是有限集，设，其中.
又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于，
所以，且存在，且使互不相同，
则，
当时，，
当时，，
于是，
与矛盾.
因此，中元素不能全为正实数.
【点睛】思路点睛：对于与集合有关的新定义问题，注意根据定义检验，另外在问题解决的过程中，注意局部性质与整体性质的关系，注意利用已有的结果来解决后面的问题.
7．（2023上·浙江·高一校联考阶段练习）设，若满足，则称比更接近.
(1)设比更接近0，求的取值范围；
(2)判断“”是“比更接近”的什么条件，并说明理由；
(3)设且，试判断与哪一个更接近.
【答案】(1)
(2)充分不必要条件，理由见解析；
(3)更接近
【分析】（1）依据定义列出不等式，结合一元二次不等式解法即可求得的取值范围；
（2）根据已知条件分别判断充分性和必要性是否成立即可得出结论；
（3）由且利用函数单调性，分别对和时与的大小进行比较，即可得出结论.
【详解】（1）根据题意可得，即；
可得，解得；
即的取值范围为；
（2）充分性：显然，由可得，
①若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“比更接近”；
②若，则，可得；
又可得，所以；
即可得，此时可以得出“比更接近”；
因此充分性成立
必要性：由比更接近可得，即，
若，此时，即必要性不成立；
所以“”是“比更接近”的充分不必要条件；
（3）当时，显然在上单调递减，
所以，即；
易知，
所以，
由对勾函数性质可知在上单调递增，
所以，
即可得，即；
同理当时，由单调性可知，即；
可知，
又由对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增；
又，
所以在时恒成立，即；
综上可得满足，即更接近.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论.
8．（2024下·安徽·高三池州市第一中学校联考开学考试）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
(1)若，求数列的最小项；
(2)若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若，求证：数列具有性质．
【答案】(1)最小项为
(2)数列具有性质，理由见解析．
(3)证明见解析
【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；
（2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用证明②；
（3）结合二项式定理及n元基本不等式求解.
【详解】（1），当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
（2）数列具有性质．
，
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
（3）先证数列满足条件①：
．
当时，
（3）在区间上，函数有唯一零点，应用零点存在性定理即可，同时还要关注区间边界函数值为零和判别式为零的情形.
【详解】（1）设为不动点，因此，即，
解得或，所以为函数的不动点．
（2）方程，即，
有，
因为，于是得一元二次方程有两个不等实根，
即判别式，
依题意，对于任意的，不等式恒成立，
只需关于未知数的方程无实数根，
则判别式，
整理得，解得，
所以实数a的取值范围是．
（3）由，得，
由于函数在上有且只有一个不动点，
即在上有且只有一个解
令
①，则，解得；
②，即时，
方程可化为，另一个根为，不符合题意，舍去；
③，即时，
方程可化为，另一个根为1，满足；
④，即，解得，
（i）当时，方程的根为，满足；
（ii）当时，方程的根为，不符合题意，舍去；
综上，m的取值范围是或．
10．（2023下·上海普陀·高二校考期中）对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”
(1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求.
(2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立.
【答案】(1)当是正奇数时，；当是正偶数时，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式，进一步分类讨论即可求其前项和.
（2）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式.
（3）由复数的概念、运算先表示出，再求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据 “切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式结合的定义以及模即可得证.
【详解】（1）由题意，则，设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得，
当是正奇数时，；当是正偶数时，；
所以当是正奇数时，；当是正偶数时，.
（2）猜想的通项公式为，证明过程如下：
由题意，则，设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得.
（3）由题意，则，
所以，
设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得.
【点睛】关键点睛：解决问题的关键是读懂新定义的数列，然后具体会求切线方程进行运算转换即可，综合性较强.