2024-2025学年山西省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山西省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列关系中，正确的是( )
A. −2∈N+B. π∉QC. 0∉ND. 32∈Z
2.若以正实数x，y，z，w四个元素构成集合A，以A中四个元素为边长构成的四边形可能是( )
A. 梯形B. 平行四边形C. 菱形D. 矩形
3.已知集合A={0,1,2}，B={x|x=ab,a,b∈A}，则集合B的子集个数为( )
A. 16B. 8C. 7D. 4
4.学校举行运动会时，高一(1)班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有( )人．
A. 3B. 9C. 19D. 14
5.已知集合A={x∈Z|x2<3},B={x|aA. {a|−32C. {a|−321}
6.已知集合M={x|x2−3x+2=0}，N={x|x2−ax+3a−5=0}，若M∪N=M，则实数a的取值集合是( )
A. ⌀B. {2}C. {a|27.命题“∃x∈R,12x2+x−32−a<0”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A. a≥0B. a≥1C. a>−2D. a≥−3
8.设集合Sn={1,2,3,…,n}，X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0).若X的容量是奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集，若n=3，则Sn的所有偶子集的容量之和为( )
A. 6B. 8C. 12D. 16
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b>0，c>d>0，则( )
A. a−d>b−cB. ac>bdC. cb>daD. ab>cd
10.已知实数a，b，c，其中a>b>1，c>0，则下列关系中一定成立的是( )
A. a2−bc>b2−acB. a3>b2C. |a−c|>|b−c|D. a+1a>b+1b
11.下列说法正确的是( )
A. a>b的一个必要条件是a−1>b
B. 若集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素，则a=4
C. “ac<0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合M={0,1}，则满足条件M∪N=M的集合N的个数为4
12.已知不超过5的实数组成的集合为M，a= 2+ 3，则( )
A. a∈MB. a+1∉MC. 1a∈MD. a2∉M
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知命题P：∀x1，x2∈R，x2−x1≥0，则命题P的否定是______．
14.已知M={m|m−42∈Z}，N={x|x+32∈N}，则M∩N= ______．
15.设集合M={x|m≤x≤m+34}，N={x|n−13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b−a叫做集合{x|a≤x≤b}的长度，那么集合M∩N的长度的最小值是______．
16.已知集合M={x∈Z|a≤x≤2a−1}，若集合M有15个真子集，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0．
18.(本小题12分)
已知全集U=R,A={x|−1≤x≤4},B={x||x|≤2},P={x|x≤0或x≥72}．
(1)求A∪B，A∩B；
(2)求(∁UB)∩P．
19.(本小题12分)
已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0,x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|−2≤x≤5}．
(1)若a=3，求(∁RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知集合A={x∈R|ax2−3x+2=0,a∈R}．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知p：∃x∈R，ax2+2ax+1=0，q：a≤m或a≥m+3．
(1)若命题￢p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.A
4.C
5.C
6.D
7.D
8.D
9.ABC
10.ABD
11.CD
12.ACD
13.∃x1，x2∈R，x2−x1<0
14.⌀
15.112
16.[92,5)∪(5,112)∪{4}
17.证明：(1)必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a⋅12+b⋅1+c=0，即a+b+c=0．
(2)充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a⋅12+b⋅1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
综合(1)(2)知命题成立．
18.解：(1)由B={x||x|≤2}，可得B={x|−2≤x≤2}，
∵A={x|−1≤x≤4}，
∴A∪B={x|−2≤x≤4}，A∩B={x|−1≤x≤2}．
(2)∁UB=(−∞,−2)∪(2,+∞)，
(∁UB)∩P=(−∞,−2)∪[72,+∞)．
19.解：A={x|x2+4x=0,x∈R}={0,−4}，
若A∪B=A，则B⊆A，
方程x2+2(a+1)x+a2−1=0的判别式△=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8=8(a+1)，
①若B=⌀，即△=8(a+1)<0.即a<−1，满足条件，B⊆A．
②若B={0}或{−4}，则△=8(a+1)=0，即a=−1，
此时方程为x2=0，解得x=0，即此时B={0}成立
③若B={0,−4}，则△=8(a+1)>0，即a>−1，
则0−4=−2(a+1)0×(−4)=a2−1，解得a=1．
综上a≤−1或a=1．
20.解：已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|−2≤x≤5}．
(1)当a=3时，P={x|4≤x≤7}，∁RP={x<4，或x>7}
又Q={x|−2≤x≤5}，
(∁RP)∩Q={x|−2≤x<4}；
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
又Q={x|−2≤x≤5}．
P=⌀或P≠⌀，
①当P=⌀时，a+1>2a+1，所以a<0；
②当P≠⌀时，a≥0a+1≥−22a+1≤5，
所以0≤a≤2；
当a=0时，P={1}是Q的真子集；当a=2时，P={x|3≤x≤5}也满足是Q的真子集，
综上所述：{a|a≤2}．
21.解：(1)A是空集，∴a≠0且Δ<0，∴9−8a<0，解得a>98，
∴a的取值范围为：(98,+∞)；
(2)当a=0时，集合A={x|−3x+2=0}={23}，
当a≠0时，Δ=0，∴9−8a=0，解得a=98，此时集合A={43}，
综上所求，a的值为0或98，当a=0时，元素为23，当a=98时，元素为43；
(3)当a=0时，A={23}，符合题意；
当a≠0时，要使关于x的方程ax2−3x+2=0有实数根，则Δ=9−8a≥0，得a≤98．
综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为(−∞,98]．
22.解：(1)因为命题￢p是真命题，所以命题p是假命题，即关于x的方程ax2+2ax+1=0无实数根．
①当a=0时，方程化为1=0，解集为空集，符合题意；
②当a≠0时，Δ=4a2−4a<0，解得0综上所述，实数a的取值范围是[0,1)．
(2)根据(1)的结论，可知：若命题p是真命题，则a∈(−∞,0)∪[1，+∞)．
若p是q的必要不充分条件，
则设M={a|a≤m或a≥m+3}，N=(−∞,0)∪[1，+∞)，M⫋N，
即m<0m+3≥1，解得−2≤m<0，所以实数m的取值范围是[−2,0)．