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2024-2025学年河北省沧州市多校高一上学期第一次月考数学试题（含答案）
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这是一份2024-2025学年河北省沧州市多校高一上学期第一次月考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列元素、集合间的关系表述正确的是( )
A. 20⊆NB. 1,2,3Ü1,2C. 0∈⌀D. Q∩R⊆Q
2.不等式3x−2≤2的解集为( )
A. x2C. x2≤x≤72D. {xx≥72或x≤2}
3.已知集合A={a,a,a−2}，若2∈A，则实数a的值为( )
A. 2B. −2C. 2或−2D. 4
4.对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若a3>b3，则a>bD. 若a>b，则a>b
5.已知集合A={x∈N∣0≤xA. {m∣36.某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，共有24人参加比赛，其中有12人参加跳远比赛，有11人参加球类比赛，有16人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有4人，同时参加球类和跑步比赛的有5人，没有人同时参加三项比赛，则( )
A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人B. 仅参加跳远比赛的有3人
C. 仅参加跑步比赛的有5人D. 同时参加两项比赛的有16人
7.已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则( )
A. ∁UM∩∁UN=⌀B. M∩N=M
C. M∩∁UN=MD. ∁UM∪∁UN=M
8.对于实数x，规定x表示不大于x的最大整数，如π=3，−2.1=−3，那么不等式4x2−16x+7<0成立的一个充分不必要条件是( )
A. 12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合A=xx≥1，B={xx>2}，则( )
A. ∃x∈A，x∈BB. ∃x∈B，x∉AC. ∀x∈A，x∉BD. ∀x∈B，x∈A
10.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则( )
A. a+b+c<0B. a+c11.已知集合M=xx=m2−n2,m,n∈Z，则( )
A. 2024∈MB. ∀x,y∈M,x+y∈M
C. ∀x=2k−1,k∈Z,x∈MD. ∀x,y∈M,xy∈M
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∃x∈R，x2+4x+3=0”的否定是 ．
13.已知集合M=xx2+x−6≤0，N=xx≥m，若M∩N=M，则实数m的最大值为 ．
14.若关于x的不等式kx>x−2恰好有4个整数解，则实数k的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A=x−2(1)若x∈B成立的一个必要条件是x∈A，求实数m的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
记全集U=R，集合A=xa−2≤x≤2a+1,a∈R，B=xx≤3,或x≥7．
(1)若a=4，求∁UA∩B；
(2)若A∪B=R，求a的取值范围；
(3)若A∩B=A，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知实数a，b满足1≤a+b≤8，3≤a−b≤4．
(1)求实数a，b的取值范围；
(2)求2a−5b的取值范围．
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式kx2−2kx−k+1>0的解集为M．
(1)若M=R，求实数k的取值范围;
(2)若存在两个实数a，b，且a<0，b>0，使得M={x|xb}，求实数k的取值范围;
(3)李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确?并说明你的理由．
19.(本小题12分)
已知集合A=x1,x2,⋯,xn,n∈N∗,n≥3，若对任意x∈A,y∈A，都有x+y∈A或x−y∈A，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合−1,1,2,3和集合−1,0,1,2是否具有“包容”性；
(2)若集合B=1,a,b具有“包容”性，求a2+b2的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C中的元素共有6个，1∈C，试确定集合C．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.A
6.C
7.B
8.B
9.AD
10.BCD
11.ACD
12.∀x∈R，x2+4x+3≠0
13.−3
14.35,23
15.(1)
因为集合A=x−2若x∈B成立的一个必要条件是x∈A，所以B⊆A，
则m−2≥−2m+2≤6，所以0≤m≤4，
故实数m的取值范围0,4．
(2)
若A∩B=⌀，则m+2≤−2或m−2≥6，
所以m≤−4或m≥8，
故实数m的取值范围−∞,−4∪8,+∞．
16.(1)
当a=4时，A=x2≤x≤9，则∁UA=xx<2,或x>9，
因此∁UA∩B=xx<2,或x>9∩xx≤3,或x≥7=xx<2,或x>9．
(2)
若A∪B=R，则a−2≤32a+1≥7，解得3≤a≤5，
故a的取值范围为3,5．
(3)
若A∩B=A，则A⊆B，
当A=⌀时，a−2>2a+1，解得a<−3，
当A≠⌀时，a−2≤2a+12a+1≤3，或a−2≤2a+1a−2≥7,
解得−3≤a≤1，或a≥9，
综上知，a的取值范围为−∞,1∪9,+∞．
17.(1)
由1≤a+b≤8，3≤a−b≤4，
所以4≤a+b+a−b≤12，
即4≤2a≤12，
所以2≤a≤6，
即实数a的取值范围为2,6．
因为b=12a+b−a−b=12a+b+b−a，
由3≤a−b≤4，所以−4≤b−a≤−3，又1≤a+b≤8，
所以−3≤a+b−a−b≤5，
所以−32≤12a+b−a−b≤52，
即−32≤b≤52，
即实数b的取值范围为−32,52．
(2)
设2a−5b=ma+b+na−b=m+na+m−nb，
则m+n=2m−n=−5，解得m=−32n=72,
∴2a−5b=−32a+b+72a−b，
∵1≤a+b≤8，3≤a−b≤4．
∴−12≤−32(a+b)≤−32，212≤72(a−b)≤14，
∴−32≤2a−5b≤252，
即2a−5b的取值范围为−32,252．
18.解：(1)不等式kx2−2kx−k+1>0，其解集M=R．
①当k=0时，1>0恒成立，符合题意;
②当k≠0时，则k>0,Δ<0,即k>0,4k2−4k(−k+1)<0,
解得0综上，实数k的取值范围为{k|0≤k<12}.
(2)因为不等式kx2−2kx−k+1>0的解集为M={x|xb}，
且a<0，b>0，所以关于x的方程kx2−2kx−k+1=0有一正一负两个实数根a，b．
可得k>0,Δ>0,即ab<0,k>0,4k2−4k(−k+1)>0,−k+1k<0,|−k+1k<0,
解得k>0,k<0或k>12,k<0或k>1.
综上，实数k的取值范围为{k|k>1}．
(3)李华的说法不正确，理由如下：
若解集M中仅有一个整数，则有k<0，
二次函数y=kx2−2kx−k+1，开口向下，对称轴为x=1，
因为不等式kx2−2kx−k+1>0的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1．
则k−2k−k+1>0,−k+1≤0,
解得k∈⌀.即M中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确．
19.(1)
集合−1,1,2,3中的3+3=6∉−1,1,2,3,3−3=0∉−1,1,2,3，
所以集合−1,1,2,3不具有“包容”性．
集合−1,0,1,2中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合−1,0,1,2，所以集合−1,0,1,2具有“包容”性．
(2)
若集合B=1,a,b具有“包容”性，记m=max1,a,b，则m≥1，
易得2m∉1,a,b，从而必有0∈1,a,b，
不妨令a=0，则B=1,0,b,b≠0且b≠1，
则1+b,1−b∩1,0,b≠⌀，且1+b,b−1∩1,0,b≠⌀，
①当1+b∈1,0,b时，若1+b=0，得b=−1，此时B=1,0,−1具有包容性；
若1+b=1，得b=0，舍去；若1+b=b，无解；
②当1+b∉1,0,b时，则1−b,b−1⊆1,0,b，由b≠0且b≠1，可知b无解，
故B=1,0,−1．
综上，a2+b2=1．
(3)
因 集合C中共有6个元素，且0∈C，又1∈C，且C中既有正数也有负数，
不妨设C=−bk,−bk−1,⋯,−b1,0,a1,a2,⋯,al，
其中k+l=5,0根据题意a1−al,⋯,al−1−al⊆−bk,−bk−1,⋯,−b1，
且bk−b1,bk−1−b1,⋯,b2−b1⊆a1,a2,⋯,al，
所以k=2,l=3，或k=3,l=2．
①当k=3,l=2时，b3−b1,b3−b2=a2,a1，
并且由−b3+b1,−b3+b2=−b2,−b1，得b3=b1+b2，
由a2−a1∈a1,a2，得a2=2a1，
由上可得b2=b3−b1=a2=2a1,b1=b3−b2=a1，并且b3=b1+b2=3a1，
综上可知C=−3a1,−2a1,−a1,0,a1,2a1；
②当k=2,l=3时，同理可得C=−2a1,−a1,0,a1,2a1,3a1．
综上，C中有6个元素，且1∈C时，符合条件的集合C有5个，
分别是−2,−1,0,1,2,3,−1,−12,0,12,1,32,−23,−13,0,13,23,1，−3,−2,−1,0,1,2或−32,−1,−12,0,12,1．
1.下列元素、集合间的关系表述正确的是( )
A. 20⊆NB. 1,2,3Ü1,2C. 0∈⌀D. Q∩R⊆Q
2.不等式3x−2≤2的解集为( )
A. x2
3.已知集合A={a,a,a−2}，若2∈A，则实数a的值为( )
A. 2B. −2C. 2或−2D. 4
4.对于实数a，b，c，下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b，则1a<1bB. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若a3>b3，则a>bD. 若a>b，则a>b
5.已知集合A={x∈N∣0≤x
A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人B. 仅参加跳远比赛的有3人
C. 仅参加跑步比赛的有5人D. 同时参加两项比赛的有16人
7.已知全集U，集合M，N满足M⊆N⊆U，则( )
A. ∁UM∩∁UN=⌀B. M∩N=M
C. M∩∁UN=MD. ∁UM∪∁UN=M
8.对于实数x，规定x表示不大于x的最大整数，如π=3，−2.1=−3，那么不等式4x2−16x+7<0成立的一个充分不必要条件是( )
A. 12
9.已知集合A=xx≥1，B={xx>2}，则( )
A. ∃x∈A，x∈BB. ∃x∈B，x∉AC. ∀x∈A，x∉BD. ∀x∈B，x∈A
10.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则( )
A. a+b+c<0B. a+c
A. 2024∈MB. ∀x,y∈M,x+y∈M
C. ∀x=2k−1,k∈Z,x∈MD. ∀x,y∈M,xy∈M
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∃x∈R，x2+4x+3=0”的否定是 ．
13.已知集合M=xx2+x−6≤0，N=xx≥m，若M∩N=M，则实数m的最大值为 ．
14.若关于x的不等式kx>x−2恰好有4个整数解，则实数k的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A=x−2
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
16.(本小题12分)
记全集U=R，集合A=xa−2≤x≤2a+1,a∈R，B=xx≤3,或x≥7．
(1)若a=4，求∁UA∩B；
(2)若A∪B=R，求a的取值范围；
(3)若A∩B=A，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
已知实数a，b满足1≤a+b≤8，3≤a−b≤4．
(1)求实数a，b的取值范围；
(2)求2a−5b的取值范围．
18.(本小题12分)
已知关于x的不等式kx2−2kx−k+1>0的解集为M．
(1)若M=R，求实数k的取值范围;
(2)若存在两个实数a，b，且a<0，b>0，使得M={x|x
(3)李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确?并说明你的理由．
19.(本小题12分)
已知集合A=x1,x2,⋯,xn,n∈N∗,n≥3，若对任意x∈A,y∈A，都有x+y∈A或x−y∈A，则称集合A具有“包容”性．
(1)判断集合−1,1,2,3和集合−1,0,1,2是否具有“包容”性；
(2)若集合B=1,a,b具有“包容”性，求a2+b2的值；
(3)若集合C具有“包容”性，且集合C中的元素共有6个，1∈C，试确定集合C．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.A
6.C
7.B
8.B
9.AD
10.BCD
11.ACD
12.∀x∈R，x2+4x+3≠0
13.−3
14.35,23
15.(1)
因为集合A=x−2
则m−2≥−2m+2≤6，所以0≤m≤4，
故实数m的取值范围0,4．
(2)
若A∩B=⌀，则m+2≤−2或m−2≥6，
所以m≤−4或m≥8，
故实数m的取值范围−∞,−4∪8,+∞．
16.(1)
当a=4时，A=x2≤x≤9，则∁UA=xx<2,或x>9，
因此∁UA∩B=xx<2,或x>9∩xx≤3,或x≥7=xx<2,或x>9．
(2)
若A∪B=R，则a−2≤32a+1≥7，解得3≤a≤5，
故a的取值范围为3,5．
(3)
若A∩B=A，则A⊆B，
当A=⌀时，a−2>2a+1，解得a<−3，
当A≠⌀时，a−2≤2a+12a+1≤3，或a−2≤2a+1a−2≥7,
解得−3≤a≤1，或a≥9，
综上知，a的取值范围为−∞,1∪9,+∞．
17.(1)
由1≤a+b≤8，3≤a−b≤4，
所以4≤a+b+a−b≤12，
即4≤2a≤12，
所以2≤a≤6，
即实数a的取值范围为2,6．
因为b=12a+b−a−b=12a+b+b−a，
由3≤a−b≤4，所以−4≤b−a≤−3，又1≤a+b≤8，
所以−3≤a+b−a−b≤5，
所以−32≤12a+b−a−b≤52，
即−32≤b≤52，
即实数b的取值范围为−32,52．
(2)
设2a−5b=ma+b+na−b=m+na+m−nb，
则m+n=2m−n=−5，解得m=−32n=72,
∴2a−5b=−32a+b+72a−b，
∵1≤a+b≤8，3≤a−b≤4．
∴−12≤−32(a+b)≤−32，212≤72(a−b)≤14，
∴−32≤2a−5b≤252，
即2a−5b的取值范围为−32,252．
18.解：(1)不等式kx2−2kx−k+1>0，其解集M=R．
①当k=0时，1>0恒成立，符合题意;
②当k≠0时，则k>0,Δ<0,即k>0,4k2−4k(−k+1)<0,
解得0
(2)因为不等式kx2−2kx−k+1>0的解集为M={x|x
且a<0，b>0，所以关于x的方程kx2−2kx−k+1=0有一正一负两个实数根a，b．
可得k>0,Δ>0,即ab<0,k>0,4k2−4k(−k+1)>0,−k+1k<0,|−k+1k<0,
解得k>0,k<0或k>12,k<0或k>1.
综上，实数k的取值范围为{k|k>1}．
(3)李华的说法不正确，理由如下：
若解集M中仅有一个整数，则有k<0，
二次函数y=kx2−2kx−k+1，开口向下，对称轴为x=1，
因为不等式kx2−2kx−k+1>0的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1．
则k−2k−k+1>0,−k+1≤0,
解得k∈⌀.即M中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确．
19.(1)
集合−1,1,2,3中的3+3=6∉−1,1,2,3,3−3=0∉−1,1,2,3，
所以集合−1,1,2,3不具有“包容”性．
集合−1,0,1,2中的任何两个相同或不同的元素相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合−1,0,1,2，所以集合−1,0,1,2具有“包容”性．
(2)
若集合B=1,a,b具有“包容”性，记m=max1,a,b，则m≥1，
易得2m∉1,a,b，从而必有0∈1,a,b，
不妨令a=0，则B=1,0,b,b≠0且b≠1，
则1+b,1−b∩1,0,b≠⌀，且1+b,b−1∩1,0,b≠⌀，
①当1+b∈1,0,b时，若1+b=0，得b=−1，此时B=1,0,−1具有包容性；
若1+b=1，得b=0，舍去；若1+b=b，无解；
②当1+b∉1,0,b时，则1−b,b−1⊆1,0,b，由b≠0且b≠1，可知b无解，
故B=1,0,−1．
综上，a2+b2=1．
(3)
因 集合C中共有6个元素，且0∈C，又1∈C，且C中既有正数也有负数，
不妨设C=−bk,−bk−1,⋯,−b1,0,a1,a2,⋯,al，
其中k+l=5,0
且bk−b1,bk−1−b1,⋯,b2−b1⊆a1,a2,⋯,al，
所以k=2,l=3，或k=3,l=2．
①当k=3,l=2时，b3−b1,b3−b2=a2,a1，
并且由−b3+b1,−b3+b2=−b2,−b1，得b3=b1+b2，
由a2−a1∈a1,a2，得a2=2a1，
由上可得b2=b3−b1=a2=2a1,b1=b3−b2=a1，并且b3=b1+b2=3a1，
综上可知C=−3a1,−2a1,−a1,0,a1,2a1；
②当k=2,l=3时，同理可得C=−2a1,−a1,0,a1,2a1,3a1．
综上，C中有6个元素，且1∈C时，符合条件的集合C有5个，
分别是−2,−1,0,1,2,3,−1,−12,0,12,1,32,−23,−13,0,13,23,1，−3,−2,−1,0,1,2或−32,−1,−12,0,12,1．
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