2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，用符号语言可表述为( )
A. α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
B. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′//O′x′，A′C′//O′y′，且A′B′=A′C′=1，那么△ABC的面积是( )
A. 1
B. 2 2
C. 8
D. 24
3.已知某圆锥的母线长为4，高为2 3，则圆锥的全面积为( )
A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π
4.已知直线a与平面α，β，γ，能使α//β的充分条件是( )
①α⊥γ，β⊥γ
②α//γ，β//γ
③a//α，a//β
④a⊥α，a⊥β
A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=13(S上+ S上S下+S下)⋅ℎ)
A. 2寸B. 3寸C. 4寸D. 5寸
6.如图所示，ABCD−A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A. A，M，O三点共线B. A，M，O，A1不共面
C. A，M，C，O不共面D. B，B1，O，M共面
7.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积( )
A. 32B. 48C. 64D. 323
8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为AD的中点，E为棱D1D上的动点(不包括端点)，过点B，E，F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是( )
A. 四边形B. 等腰梯形C. 五边形D. 六边形
9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，若△D1AC外接圆半径为2 63，则该正方体外接球的表面积为( )
A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，则下列结论中正确的是( )
①AC⊥BE
②EF//平面ABCD
③△AEF的面积与△BEF面积相等
④三棱锥A−BEF的体积为定值
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路线长为______．
12.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的有______．
13.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，E，F分别是BC，DC中点，则异面直线AD1与EF所成角大小为______．
14.圆锥的底面半径为 3，母线与底面成45°角，过圆锥顶点S作截面SAB，且与圆锥的高SO成30°角，则底面圆心O到截面SAB的距离是______．
15.如图1，在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，点A折起后的位置记为点A1，得到四棱锥A1−BCDE，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论：

①恒有A1D⊥A1E；②恒有BM//平面A1DE；
③三棱锥A1−DEM的体积的最大值为 212；④存在某个位置，使得平面A1DE⊥平面A1CD．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB、PB的中点．
(1)求证：DE//平面PAC；
(2)求证：AB⊥PB．
17.(本小题13分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC.已知D是BC的中点，AB=AA1=2．
(1)求证：平面AB1D⊥平面BB1C1C；
(2)求证：A1C//平面AB1D；
(3)求三棱锥A1−AB1D的体积．
18.(本小题14分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是菱形，侧面PAB是正三角形，M是PD上一动点，N是CD中点．
(Ⅰ)当M是PD中点时，求证：PC//平面BMN；
(Ⅱ)若∠ABC=60°，求证：PC⊥AB；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在点M，使得PC⊥BM？若存在，求PMMD的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.D
5.B
6.A
7.A
8.D
9.C
10.B
11. 10
12.AB、A1B1
13.60°
14. 32
15.①②③
16.证明：(1)∵D，E分别是AB，PB的中点，
∴DE/​/PA．
又∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC
∴DE/​/平面PAC；
(2)∵PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AB⊥平面PBC，
∵PB⊂平面PBC，
∴AB⊥PB．
17.(1)证明：因为△ABC为正三角形，且D是BC的中点，
所以AD⊥BC．
因为侧棱AA1⊥底面ABC，AA1/​/BB1，
所以BB1⊥底面ABC．
又因为AD⊂底面ABC，所以BB1⊥AD．
而B1B∩BC=B，B1B⊂平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，
所以AD⊥平面BB1C1C.
因为AD⊂平面AB1D，
所以平面AB1D⊥平面BB1C1C.
(2)证明：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE．
由已知得，四边形A1ABB1为正方形，则E为A1B的中点．
因为D是BC的中点，
所以DE//A1C.
又因为DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，
所以A1C/​/平面AB1D.
(3)由(2)可知A1C/​/平面AB1D，
所以A1与C到平面AB1D的距离相等，
所以VA1−AB1D=VC−AB1D．
由题设及AB=AA1=2，得BB1=2，且S△ACD= 32，
所以VC−AB1D=VB1−ACD
=13×SΔACD×BB1
=13× 32×2
= 33，
所以三棱锥A1−AB1D的体积为VA1−AB1D= 33．
18.(Ⅰ)证明：因为点M是PD中点，点N是CD中点，所以MN//PC，
因为PC⊄平面BMN，MN⊂平面BMN，
所以PC//平面BMN．
(Ⅱ)证明：如图，取AB中点F，连接AC，PF，CF，

因为侧面PAB是正三角形，所以PF⊥AB，
因为底面BCD是菱形，且∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，
所以CF⊥AB，
因为PF⊥AB，CF⊥AB，PF∩CF=F，PF，CF⊂平面PFC，
所以AB⊥平面PFC，
因为PC⊂平面PFC，所以PC⊥AB．
(Ⅲ)解：如图，取PC中点E，连接BE，AE．
因为四棱锥P−ABCD的底面是菱形，侧面PAB是正三角形，
所以PB=AB=BC，
所以BE⊥PC，
又因为PC⊥AB，AB∩BE=B，
所以PC⊥平面ABE，
过E作EM//CD交PD于点M，
因为EM//CD//AB，
所以点M∈平面ABE，
所以PC⊥平面BEM，
因为E为PC的中点，EM//CD，
所以PM=MD，
所以PMMD=1．