江西省上饶市广丰中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试卷

这是一份江西省上饶市广丰中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则集合的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （ ）
A．920.B．924C．308D．320
3．下列命题中是存在量词命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数B．，
C．对任意一个无理数x，也是无理数D．有一个偶数是素数
4．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列函数的最值中错误的是（ ）
A．的最小值为2B．已知，的最大值是
C．已知，的最小值为3D．的最大值5
6．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．取值范围为
7．已知，不等式恒成立，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ）
A．B．A的不同子集的个数为8
C．D．
10．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则且
B．若，则关于的不等式的解集也为
C．若，则关于的不等式的解集为或
D．若为常数，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知全集，集合，则 ．
13．给出下列命题：
①，；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③，；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直.
上述命题的否定中，真命题的序号为 .
14．已知正数满足，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知集合.
16．（15分）已知，且；，且.
(1)是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
17．（17分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为7500，深为3m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元．
(1)若底部长为xm，总造价为y元，写出总造价y与x的关系式．
(2)当底部长为x为多少m时，总造价最低？最低总造价是多少？
18．（15分）已知，不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)正实数满足，求的最小值；
(3)正实数满足，且恒成立，求t的取值范围．
19．（17分）已知函数．
(1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集；
(2)已知，，当时，，①求的最小值；②求的最小值．
参考答案
1．B
【分析】根据条件，先化简集合，再利用子集个数的计算公式，即可求解.
【详解】易知，所以的子集个数为.
故选：B.
2．D
【分析】分析出在集合的所有非空子集中分别出现了次，从而列出式子，求出这些和的总和.
【详解】的子集个数有个，其中每个元素均出现次，
故元素在集合的所有非空子集中分别出现了次，
则对的所有非空子集中，元素执行乘以再求和操作，
则这些和的总和为
.
故选：D
3．D
【分析】根据存在量词命题的概念即可判断.
【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题；
对于B中含有“”，该命题是全称量词命题；
对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题；
对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题；
故选：D.
4．B
【分析】根据充分、必要条件以及新定义等知识来确定正确答案.
【详解】对于，如，
则，，
此时.
对于，则，
则，
则.
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
5．A
【分析】举例，判断A选项；利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】当时，，故命题错误，A符合题意；
当时，，
当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意；
当时，，则，
当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意；
由题意，，则，
当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意.
故选：A
6．D
【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解.
【详解】对于A，因为，
所以，即，
所以的取值范围为，故A正确，不符合题意；
对于B，因为，所以，
因为，所以，即，
所以的取值范围为，故B正确，不符合题意；
对于C，因为，则，
所以，则，
所以的取值范围为，故C正确，不符合题意；
对于D，因为，所以，则，
因为，所以，则，
所以取值范围为，故D错误，符合题意；
故选：D.
7．C
【分析】更换主元，根据一次函数性质列不等式组求解可得.
【详解】令，
当时，，不满足题意；
当时，由一次函数性质可知，，
解得或.
故选：C
8．B
【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得的关系，消再利用基本不等式求解最值可得.
【详解】设，.
由已知，在单调递增，
当时，；当时，.
由图象开口向上，，可知方程有一正根一负根，
即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点；
由题意，则当时，；当时，.
所以是方程的根，
则，即，且a>0，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值是.
故选：B.
9．ABC
【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案.
【详解】因为，
因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9；
因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7；
因为，所以集合与的公共元素只有3；
所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即.
如图：
所以：，，，故AC正确；
因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确；
因为，故D错误.
故选：ABC
10．BCD
【分析】利用基本不等式的三个条件：“一正，二定，三相等”，来判断代数式是否一定成立.
【详解】由于，不满足恒为正数，A错误；
，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，C正确；
，故，当且仅当时等号成立，D正确．
故选：BCD
11．ACD
【分析】根据一元二次解的情况，即可判断A，若比值，即可代入求不等式的解集，即可判断B，根据不等式的解集，结合韦达定理，即可求解不等式，判断C，根据不等式解集的情况，即可确定，，再代入式子，转化为二次函数求最值.
【详解】A.若一元二次不等式的解集为，则且，故A正确；
B. 若，则，，，所以不等式，
等价于，与不等式的解集不同，故B错误.
C. 若，则，，，即，，
所以不等式，即，
整理为，得或，即或，故C正确；
D. 若为常数，则，，即，
则，当时，的最小值为，故D正确.
故选：ACD
12．
【分析】先求出再求出即可.
【详解】由题意知，
所以.
故答案为：.
13．①②③
【分析】先对命题进行否定，然后在进行命题的判断.
【详解】命题①否定：，.当时，成立，∴命题①否定是真命题；
命题②否定：存在可以被5整除的整数，末位数字不是0.
∵15能被5整除，且末尾不为0，∴命题②否定是真命题；
命题③的否定：，.∵，
∴命题③否定是真命题；
命题④的否定：所有的四边形，它的对角线互相不垂直.
菱形是四边形且菱形的对角线相互垂直，∴命题④否定是假命题；
故答案为：①②③
14．
【分析】由已知可得，求解即可.
【详解】因为正数满足，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以，解得，
所以，所以的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)，；
(2)，；
(3).
【分析】（1）由交集与并集的意义求解即可；
（2）利用补集的意义结合（1）可求，求得，进而利用交集的意义可求；
（3）由题意可得，进而可得，求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
；
（2）由（1）知，所以，
由，得，
所以；
（3）由，可得，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
16．(1)存在，
(2)
【分析】（1）化简集合，假设存在实数满足条件，由此可列不等式求；
（2）结合充分条件定义可得，根据集合包含关系列不等式求的取值范围.
【详解】（1）解不等式，得或，
故或
假设存在，使得，，
则有且，
解得，
所以当时满足题意；
（2）若是的充分条件，则，
则，或
解得，或，
所以的取值范围为.
17．(1)
(2)当时，总造价最低，为万元.
【分析】（1）分别求出贮水池的底面积和侧面积，得到底面造价和侧面造价，即可得所求函数关系.
（2）根据基本不等式，求函数的最小值及对应的值.
【详解】（1）因为贮水池的体积为，深为3，所以贮水池的底面积为.
则底面造价为：元.
设底部长为，则宽为，贮水池侧面积为：，侧面造价为：.
所以：总造价为：.
（2）因为（当且仅当即时取“”），
此时有最小值，为元.
所以，当时，总造价最低，为万元.
18．(1)
(2)9
(3)
【分析】（1）根据根与系数的关系，即可求得答案；
（2）由（1）可得，结合“1”的巧用，再利用基本不等式，即可求得答案.
（3）由（1）可得，利用基本不等式可得化简不等式可得，解得t的取值范围.
【详解】（1）由题意可得和是方程的两个根，
由根与系数的关系可得，解得．
（2）正实数a，b满足，由（1）可得，即得
所以，
当且仅当时，结合，即时等号成立，
所以的最小值为9．
（3）正正实数满足，由（1）可得，即得
所以，化简得，即得
当且仅当时，即时等号成立，
因为恒成立，则，所以，
化简得，解得
所以t的取值范围为．
19．(1)答案见解析
(2)①，②
【分析】（1）由不等式的解集为，确定，代入，再分类讨论即可；
（2）由条件得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以即，
所以不等式可转化为，
又，所以，即，
当，即时，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得，
综上所述：
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
（2）因为当时，，所以，即，所以，
①，
当且仅当，即时，；
②由得，
由及得，所以，，
当且仅当，即，时，．