2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第06讲对数与对数函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第06讲对数与对数函数(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·湖北荆门·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）设，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·江苏宿迁·高一统考期末）已知，，用a，b表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陕西·校联考模拟预测）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该政府全年投入的资金翻一番（2021年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：）
A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年
5．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2024上·陕西商洛·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则的取值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．5
10．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数的最大值为2，则 ．
12．（2024上·湖南常德·高一常德市一中校考期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
13．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）化简求值：
(1)；
(2).
1．（2024·辽宁·校联考一模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）如图，指数函数与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ．
3．（2024上·湖南娄底·高一统考期末）设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（且）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 .
4．（2024上·河南驻马店·高一统考期末）已知定义在上的函数，且是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围．
5．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压（单位：）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级（单位：）是一个相对的物理量，并定义，其中常数为听觉下限阈值，且．
(1)已知某人正常说话时声压的范围是，求声压级的取值范围；
(2)当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压为各声源声压的平方和的算术平方根，即．现有10辆声压级均为的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级是多少？
C综合素养
6．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点．
(1)判断函数是否为不动点函数，并说明理由；
(2)若函数在区间上有且仅有两个不同的不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围．
7．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.
(1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.
第06讲 对数与对数函数 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·湖北荆门·高一统考期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式求解可得函数的定义域.
【详解】由.
所以函数的定义域为：
故选：B
2．（2024上·安徽六安·高一六安一中校考期末）设，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过三个数与，的关系即可解出.
【详解】由题意，，，，
∴.
故选：D.
3．（2024上·江苏宿迁·高一统考期末）已知，，用a，b表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由指对互化得，再把利用换底公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
.
故选：C.
4．（2024·陕西·校联考模拟预测）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该政府全年投入的资金翻一番（2021年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：）
A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年
【答案】C
【分析】设再过年，该政府全年投入的资金翻一番，则，结合指对互化及对数换底公式计算即可.
【详解】设再过年，该政府全年投入的资金翻一番，则，
即，
所以该政府全年投入的资金翻一番的年份是年.
故选：C.
5．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）已知函数是定义在的奇函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数为奇函数求出的值，由函数有意义的条件求出的取值范围，即可求的取值范围.
【详解】函数是定义在的奇函数，
则有，解得，
即，有意义，，解得，
所以有，
此时，满足在上为奇函数，
由，所以.
故选：C.
6．（2024上·湖南娄底·高一校考期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数单调性、二次函数单调性以及复合函数单调性列出不等式组即可求解.
【详解】由题意，令，
解得，即函数的单调递增区间是.
故选：D.
7．（2024上·江苏盐城·高一校考期末）已知函数定义域为，对任意的，当时，有.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得，构造函数，即可得到函数在上单调递增，结合函数的单调性求解不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可知，当时，有，
即，即，
令，则当时，，
则函数在上单调递减，
由，可得，
即，所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
8．（2024下·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9．（2024上·陕西商洛·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则的取值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】CD
【分析】结合对数函数及复合函数的单调性，列出不等式组求解即可.
【详解】解：因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则，解得．
故选：CD.
10．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】借助指数幂与对数的运算法则逐项计算即可得.
【详解】对A：，故A正确；
对B：由，故，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
11．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数的最大值为2，则 ．
【答案】6
【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得.
【详解】因为函数由与复合而成，
而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，
由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．
故答案为：
12．（2024上·湖南常德·高一常德市一中校考期末）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定法，以及一次函数与对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为是上的减函数，
所以 ，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2024上·云南昭通·高一昭通市第一中学校联考期末）化简求值：
(1)；
(2).
【答案】(1)8
(2)9
【分析】（1）根据指数分数幂的运算可得答案；
（2）根据对数的运算性质可得答案.
【详解】（1）
；
（2）
.
14．（2024上·安徽安庆·高一统考期末）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌．立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：
①（为常数，且）；
②（为常数，）．
(1)请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；
(2)现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)2.5分钟
【分析】（1）分别代入得到函数模型，结合生活实际进行判断即可；
（2）根据（1）求出的函数模型解不等式即可.
【详解】（1）若选用①，根据条件可得，解得，
所以．
此时，随着的增大而减小，符合生活实际；
若选用②，根据条件可得，解得，
所以．
又，当时，随着的增大而增大，不符合生活实际，应舍去．
所以该函数模型为．
（2）由（1），令，
于是，两边取常用对数得，又，
故，
所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分钟．
15．（2024上·福建福州·高一统考期末）已知函数为奇函数，.
(1)求实数的值；
(2)，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质得恒等式，解出参数并检验即可得解.
（2）首先得，，进一步通过换元， 并对进行分类讨论即可得解.
【详解】（1）因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以.
（2）设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即时，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
B能力提升
1．（2024·辽宁·校联考一模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得.
【详解】，，，故，，
要比较与的大小，即比较与的大小，
等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，
又
，
故，即，即，
故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较与的大小关系，可借助对数运算转化为比较与的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.
2．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）如图，指数函数与直线分别交于点A，B，C，若A，B，C的横坐标分别为，满足，则 ， ．
【答案】 2 4
【分析】根据指数函数与对数函数的定义，求出，根据得出的值，再结合题意求出的值.
【详解】由题意知，
所以，，，
所以，
因为，
所以，即，
又因为，均不为1且，，
所以.
故答案为：2；4
3．（2024上·湖南娄底·高一统考期末）设函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为D的“成功函数”.若函数（且）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据对数型复合函数的单调性求得，然后根据“成功函数”的定义列方程，从而转化为二次方程有两正根的问题，利用二次函数根的分布列不等式求解即可.
【详解】依题意，函数（且）在定义域R上为单调递增函数，则，
而时，不满足条件，所以，
设存在，使得在上的值域为，
所以，即，
所以，n是方程的两个不等的实根，设，则，
所以方程等价为的有两个不等的正实根，
即，所以，解得.
故答案为：
4．（2024上·河南驻马店·高一统考期末）已知定义在上的函数，且是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，结合偶函数的定义计算即可;
（2）借助函数的单调性求出的最大值为，再对进行参变分离求出最值即可.
【详解】（1）记，
为偶函数，恒成立，
即恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，，
.
（2）和都是单调递增函数,
在是单调递增的，
,
在上有解，
在上有解，
在上有解，
在上单调递增，
,
.
5．（2024上·浙江嘉兴·高一统考期末）噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压（单位：）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级（单位：）是一个相对的物理量，并定义，其中常数为听觉下限阈值，且．
(1)已知某人正常说话时声压的范围是，求声压级的取值范围；
(2)当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压为各声源声压的平方和的算术平方根，即．现有10辆声压级均为的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为是关于的增函数结合声压的范围是，即可得出答案；
（2）由题意可得出求出，代入可求出总声压，再代入，求解即可.
【详解】（1）当时，；
当时，；
因为是关于的增函数，
所以正常说话时声压级．
（2）由题意得：（其中）
总声压：
故这10辆车产生的噪声声压级．
C综合素养
6．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）对于函数，，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点．
(1)判断函数是否为不动点函数，并说明理由；
经检验满足在区间上恒成立，
所以实数b的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：第（1）问中，根据“不动点”函数的概念，问题转化为函数有零点的问题是关键，再利用零点的存在性定理进行判断；
第（2）问中，利用换元的思想，把问题转化为二次函数在给定的区间上一个函数值可以有两个和一个自变量与之对应的问题，是解决问题的关键.
7．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）定义：给定函数，若存在实数、，当、、有意义时，总成立，则称函数具有“性质”.
(1)判别函数是否具有“性质”，若是，写出、的值，若不是，说明理由；
(2)求证：函数（且）不具有“性质”；
(3)设定义域为的奇函数具有“性质”，且当时，，若对，函数有5个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意代入整理得，取系数为0 即可得解；
（2）根据题意代入整理得，取值解即可判断；
（3）根据题意分析函数的对称性和周期性，根据题意结合奇偶性可知与在内有2个不同的交点，数形结合处理问题.
【详解】（1）函数具有“性质”，
因为，且，
则，整理得，
可得，解得，
所以函数是否具有“性质”，此时.
（2）假设函数（且）具有“性质”，
则，则，解得，
整理得，则，
取，可得，解得；
取，可得，解得；
显然，即对任意，不存在实数、使得恒成立，
假设不成立，所以函数（且）不具有“性质”.
（3）具有“性质”，则，可知关于点对称，
可得，即
又因为为定义域为的奇函数，则，
可得，即函数的周期为2，
令，则，
由题意可得：与在内有5个不同的交点，
注意到为奇函数，可知为与的一个交点，
由对称性可知：与在内有2个不同的交点，
作出在内的图象，
当过时，可得；
当过时，可得；
当过时，可得；
结合图象可知：实数的取值范围为.
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解；
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．