江苏省南菁高级中学2024-2025学年高二上学期调研考试一数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南菁高级中学2024-2025学年高二上学期调研考试一数学试卷(含答案)，共23页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知抛物线的焦点为F，点M在C上.若M到直线的距离为5，则( )
A.7B.6C.5D.4
2．若M是圆上任一点,则点M到直线的距离的值不可能等于( )
A.4B.6C.D.8
3．设椭圆的两个焦点分别为、,过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
4．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A.B.C.D.
5．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A.1B.C.D.
6．设O为坐标原点,直线过抛物线的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.B.
C.以MN为直径的圆与l相切D.为等腰三角形
7．对于一段曲线C,若存在M点,使得对于任意的,都存在,使得,则称曲线C为“自相关曲线”.现有如下两个命题:①任何椭圆都是“自相关曲线”;②存在双曲线是“自相关曲线”,则下列正确的是( )
A.①成立②不成立B.①不成立②成立C.①成立②成立D.①不成立②不成立
8．2024年3月,某科技公司启用具备“超椭圆”数学之美的新lg.设计师的灵感来源于曲线C:.其中星形线常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法错误的是( )
A.E关于y轴对称
B.E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C.曲线E所围成图形的面积小于2
D.E上的点到原点距离的最小值为
二、多项选择题
9．已知圆，点A是M所在平面内一定点，点P是M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则Q的轨迹可能为( )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆
10．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A.C的准线为B.直线AB与C相切
C.D.
11．已知是圆:上任意一点,过点向圆引斜率为的切线,切点为,点,则下列说法正确的是( )
A.时,B.
C.D.的最小值是
三、填空题
12．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值___________.
13．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线上的点P（不为原点）作C的切线l,过坐标原点O作,垂足为Q,直线PF（F为抛物线的焦点）与直线OQ交于点T,点,则的取值范围是___________.
14．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现:平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（CassiniOval）.在平面直角坐标系中,设定点为,,点O为坐标原点,动点满足（且为常数）,化简得曲线.下列命题中正确序号是________.
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形;
②的最小值为2a;
③当时,的最大值为;
④面积不大于.
四、解答题
15．已知双曲线的左､右焦点分别为,,离心率为,直线l交C于P,Q两点,且.
（1）求双曲线C的标准方程;
（2）若点,直线AP,AQ与y轴分别相交于M,N两点,且为坐标原点,证明:直线l过定点.
16．已知椭圆的左右顶点分别为,,右焦点为,已知.
（1）求椭圆的方程和离心率;
（2）点在椭圆上（异于椭圆的顶点）,直线交y轴于点,若三角形的面积是三角形面积的二倍,求直线的方程.
17．已知抛物线,在上有一点位于第一象限,设的纵坐标为.
（1）若到抛物线准线的距离为3,求的值;
（2）当时,若轴上存在一点,使的中点在抛物线上,求到直线的距离;
（3）直线,P是第一象限内上异于的动点,P在直线l上的投影为点H,直线AP与直线l的交点为.若在P的位置变化过程中,恒成立,求a的取值范围.
18．在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线和点.点P在C上,且.
（1）求C的方程;
（2）若过点R作两条直线与,与C相交于A,B两点,与C相交于E,D两点,线段AB和ED中点的连线的斜率为k,直线AB,ED,AD,BE的斜率分别为,,,,证明:,且为定值.
19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体,例如表示过点且斜率存在的直线族,表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为:直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线,且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若直线族的包络曲线是圆,求m,n满足的关系式;
（2）若点不在直线族的任意一条直线上,对于给定的实数,求的取值范围和直线族的包络曲线;
（3）在（2）的条件下,过直线上一个动点P作曲线E的两条切线,切点分别为A,B,求原点O到直线AB距离的最大值.
参考答案
1．答案：D
解析：因为抛物线的焦点为，准线方程为.点M在C上，所以M到准线的距离为.又M到直线的距离为5，所以，故4，故选D.
2．答案：D
解析：如图,圆的圆心坐标为,半径为1,直线过定点.由图可知,圆心C到直线距离的最大值为,则点P到直线距离的最大值为;当直线与圆有公共点时,点P到直线距离的最小值为0.即距离的范围是.选项中仅D选项不在范围内.
故选:D.
3．答案：C
解析：依题意,设椭圆的长轴为2a,半焦距为c,
则,则,,
于是,
.
故选:C.
4．答案：D
解析：结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零.设，，的中点为，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得，即，化简得，即，因此.由双曲线方程可得渐近线方程为.对于A，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B，因为，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于C，，此时直线AB的斜率与渐近线的斜率相同，与双曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于D，因为，所以直线AB与双曲线有两个交点，满足题意.故选D.
5．答案：B
解析：设圆为圆C，化简得，圆心为，半径.如图，设，则，，易知，则，所以.故选B.
6．答案：C
解析：对于A,直线过抛物线的焦点,可得,所以,故A错误;
对于B,抛物线方程为:,与C交于M,N两点,
直线方程代入抛物线方程可得,,所以,
所以,故B不正确;
对于C,M,N的中点的横坐标为,中点到抛物线的准线的距离为,
所以以MN为直径的圆与l相切,故C正确;
对于D,由B得,,解得或,
不妨设,,则,,
所以,,,
所以不是等腰三角形,故D错误;
故选:C
7．答案：A
解析：由于椭圆是封闭的,则总可以找到满足题意的M点,使得成立,
不妨设椭圆方程为,取点,
由椭圆性质可知,椭圆上的任意点P,总有,
若,则,
由,得,
整理得,
所以在椭圆上必存在点Q,使得成立,①成立;
在双曲线中,假定存在M点,显然的最大值趋于正无穷大,的最小值是定值,
即的最小值是定值,设,则,
由,显然,不妨令,取,则,
与矛盾,②不成立.
故选:A
8．答案：D
解析：对于A,若在星形线E上,则也在E上,故E关于y轴对称,A正确;
对于B,由,则,当且仅当时等号成立,B正确;
对于C,曲线E过点,,在所围成的区域内部,而所围成的面积为2,故曲线E所围成的面积小于2,C选项正确;
对于D,由,当且仅当时等号成立,故上的点到原点的距离最小值为,故D选项错误.
故选:D
9．答案：ABD
解析：Q是线段PA的中垂线上的点，，
(1)若A在圆M内部，且不为圆心，则，，
Q点轨迹是以M，A为焦点的椭圆.
(2)若A在圆M外部，则，，
Q点轨迹是以A，M为焦点的双曲线.
(3)若A为圆M的圆心，即A与M重合时，Q为半径的中点，
Q点轨迹是以M为圆心，以2为半径的圆.
10．答案：BCD
解析：如图，因为抛物线C过点，所以，解得，所以的准线方程为，所以A错误；
因为，所以直线AB的方程为，即，由得，，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设，，直线PQ的方程为，由得，所以，，且，得或，所以，所以C正确；
，所以D正确.
11．答案：BCD
解析：当时,圆的方程为,
圆心为,半径为1,过点P1向圆引切线,
据题意可知,切线斜率存在,
设切线方程为,即,
由点到直线的距离公式可得,
又因为,所以,故A不正确;设直线,由,
得,
由,即,
因为,所以,所以,
所以,故B正确;
因为,,
令,则,
当时,,所以在上单调递减,
因为,而,
所以,即,故C正确.
设,此时,
故而,故D正确.
12．答案：2或或或（填一个即可）
解析：方法一：由题知，的半径，圆心.设圆心C到直线的距离为d，则弦长，所以，解得或，所以或.由点到直线的距离公式可知，当时，，解得；当时，，解得.综上，或.
方法二：由题知，的半径，圆心，圆心C到直线的距离，所以.直线方程可化为，所以直线的斜率为且过定点.因为点在上，设为A（如图），所以，解得，所以点B的纵坐标为.代入方程，得，解得点B坐标为或或或.因为，所以直线AB的斜率为或，故或.
13．答案：
解析：因为点P为抛物线上的点（不为原点）,
所以可设点,且,
当切线l的斜率不存在时,不合题意;
当切线l的斜率存在时,可设为,
联立,消去y可得,
化简可得,
令,可得,
化简可得,即,
又,所以OQ的斜率,
所以OQ的方程,
因为点,,
所以PF的斜率为,
则PF的方程为,
联立,解得,
即,
由两式相除可得,即,
由,可得,
再代入,可得,
化简可得,可得,
可知点T轨迹为半径为1的圆,圆心为,
结合图形可知,
又,,
则.
故答案为：.
14．答案：①③④
解析：①:以代x,得:,所以曲线关于纵轴对称;
以代y,得:,所以曲线关于横轴对称;
同时以代x,以代y得:,所以曲线关于原点对称,所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形,故正确;
②:因为,所以当时,有,
当时,显然P与,中一点重合,故此时,故错误;
③:当时,由,化简得,
因此有,所以,故正确;
④:面积为:,
当时,面积的最大值为,故正确.
故答案为:①③④
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,
所以,解得,
设双曲线C的半焦距为c,因为离心率为,
所以,解得,
则,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）证明:设,则,,,,,
直线AP的方程为,
直线AQ的方程为.
联立方程消去y并整理得
显然,即
所以,,,,
联立方程消去y并整理得,
显然,即,
,
即当,,时,直线PQ的方程为,
将上面求得的,,,的解析式代入得,
整理得,
所以直线l过定点.
16．答案：（1）椭圆的方程为,离心率为.
（2）.
解析：（1）如图,
由题意得,解得,,所以,
所以椭圆的方程为,离心率为.
（2）由题意得,直线斜率存在,由椭圆的方程为可得,
设直线的方程为,
联立方程组,消去y整理得:,
由韦达定理得,所以,
所以,.
所以,,,
所以,
所以,即,
解得,所以直线的方程为.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）抛物线的准线为,由于A到抛物线准线的距离为3,
则点A的横坐标为2,则,解得;
（2）当时,点A的横坐标为,则,
设,则AB的中点为,由题意可得,解得,
所以,则,
由点斜式可得,直线AB的方程为,即,
所以原点O到直线AB的距离为;
（3）如图,
设,,,则,
故直线AP的方程为,
令,可得,即,
则,依题意,恒成立,
又,
则最小值为,即,即,
则,解得,
又当时,,当且仅当时等号成立,
而,即当时,也符合题意.
故实数a的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设点,则,因为,,
所以,,所以点,
代入方程中,得,所以C的方程为.
（2）设点,,,,
则直线AB的斜率,
同理得直线ED的斜率,
直线AD的斜率,
直线BE的斜率,
所以,
,
从而得.
由消去x得,
所以,
由,得或.
设AB和ED的中点分别为M,N,
则,,
同理,,
所以,即,
所以得.
19．答案：（1）
（2）,
（3）
解析：（1）由题可知,直线族与圆
相切即圆心到直线族的距离为4
满足的关系式为.
（2）点不在直线族的任意一条直线上
则对,方程无解
,,
即的取值范围为.
猜想:直线族的包络曲线为.
证明如下:
①设曲线上任意一点
,曲线E在点Q处的切线斜率为
曲线E在点Q处的切线方程为,
即
令,则切线方程为
即曲线E上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
②,直线族中的每条直线都是曲线在点处的切线.
综上①②,直线族的包络曲线E为.
（3）法一:设,,,
由（2）知,直线PA的方程为①
直线PB的方程为②
由①②得:,,,
设直线AB的方程为
由得
,,
在直线上,即
直线AB的方程过定点
当时,原点O到直线AB距离的最大值为.
法二:设,,
由（2）知,直线PA的方程为,直线PB的方程为设,
则
,B两点满足上述方程
直线AB的方程为
又在直线上,
即直线AB过定点
当时,原点O到直线AB距离的最大值为.
法三:设点,则
由题意可知,过点与曲线E相切的直线斜率存在,
故可设直线方程为
由联立得
且
设直线PA,PB的斜率分别为,,则,是方程的根
则,,
由题意可知,直线AB的斜率一定存在,
设直线AB的方程为,
设,,则
由联立得:
则,,
则,,
,,,
,即
直线AB的方程为过定点
当时,原点O到直线AB距离的最大值为.