长沙市怡海中学2025届九年级上学期入学考试数学试卷(含答案)

这是一份长沙市怡海中学2025届九年级上学期入学考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是( )
A.B.C.6D.
2．下列各组数中,不能作为直角三角形的三边长的是( )
A.2,3,4B.1,1,C.1,,2D.8,15,17
3．我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为( )
A.B.C.D.
4．下列计算正确的是( )
A.B.C.D.
5．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6．关于二次函数，下列说法正确的是( )
A.图像与y轴的交点坐标为
B.图像的对称轴在y轴的右侧
C.当时，y的值随x值的增大而减小
D.y的最小值为-3
7．将抛物线向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为()
A.B.C.D.
8．如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,各彩条的宽度相等,如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一.设彩条的宽为xcm,根据题意可列方程( )
A.B.
C.D.
9．如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点.则正确的是( )
A.若,则四边形EFGH为矩形
B.若,则四边形EFGH为菱形
C.若EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分
D.若EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等
10．如图,在中,,F是的中点,作,垂足E在线段上连接、,则下列结论中一定成立的是( )
①；②；③；④.
A.①②③B.①③C.①②④D.①②③④
二、填空题
11．为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知___________种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）.
12．一元二次方程的两个根是,,那么二次函数与x轴的交点坐标是______.
13．若关于x的一元二次方程有一个根是0,则k的值是______.
14．如图,在中,,平分交于点D,,垂足为E,若,,则的长为______.
15．如图,在矩形中,,对角线与相交于点O,,垂足为E,若E为的中点,则的长为______.
16．二次函数的图象如图所示,对称轴是直线.下列结论：①；②；③；④(m为实数).其中正确的结论有______.
三、解答题
17．计算：.
18．解下列一元二次方程
(1)；
(2).
19．已知,是关于x的一元二次方程的两实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若,求m的值.
20．2024年5月28日,神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同,完成出舱活动,活动时长达8.5小时,刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录,进一步激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普及“航空航天”知识,从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试,将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
成绩条形统计图
根据所给信息,解答下列问题：
(1)本次调查的成绩统计表中________%,并补全条形统计图；
(2)这200名学生成绩的中位数会落在________组(填A、B、C、D或E)；
(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数.
21．如图直线：经过点,.
(1)求直线的表达式；
(2)若直线与直线相交于点M,与x轴相交于点D.求四边形的面积；
(3)根据图象,直接写出关于x的不等式的解集.
22．某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数,且时,；时,.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元？
23．如图,在平行四边形中,平分,交于点E,交的延长线于点F.
(1)求证：；
(2)若,,,求的长.
24．我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点,则把该函数称为“和谐函数”,其图象上这一点,称为“和谐点”,例如：“和谐函数”,其“和谐点”为.
(1)在下列关于x的函数中,是“和谐函数”的,请在相应的题目后面括号中打“√”.
①________；
②_______；
③________.
(2)若点A、点B是“和谐函数”(其中)上的“和谐点”,且,求m的取值范围；
(3)若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”,且当时,n的最小值为k,求k的值.
25．如图,抛物线与x轴交于点与点,与y轴交于点,点P是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在点P的运动过程中,是否存在点P,使？若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由；
(3)当点P在第一象限时,连接,设的面积为,的面积为,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：的相反数是6,
故选：C.
2．答案：A
解析：A、,不能作为直角三角形的三边长,符合题意；
B、,能作为直角三角形的三边长,不符合题意；
C、,能作为直角三角形的三边长,不符合题意；
D、,能作为直角三角形的三边长,不符合题意；
故选A.
3．答案：C
解析：用科学记数法将数据1290000000表示为，
故选：C.
4．答案：A
解析：A、,计算正确；
B、、不能合并,原计算错误；
C、,原计算错误；
D、,原计算错误；
故选A.
5．答案：B
解析：函数的二次项系数为-1,所以开口向下,抛物线与y轴的交点为.
符合条件的图象是B.
故选B.
6．答案：D
解析：，
当时，，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线，故选项B错误，
当时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当时，y取得最小值，此时，故选项D正确，
故选：D.
7．答案：A
解析：抛物线的顶点坐标为,
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为,
所以,平移后的抛物线的解析式为.
故选A.
8．答案：B
解析：设彩条的宽度是xcm,则
,
故选：B.
9．答案：D
解析:点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,
,,,,,,
,,
四边形EFGH为平行四边形,
但AC与BD不一定互相平分,故选项C不符合题意;
A,,
,
四边形EFGH为菱形,故本选项不符合题意;
B,时,,
则四边形EFGH为矩形,故本选项不符合题意;
D,当四边形EFGH是正方形时,AC与BD互相垂直且相等,故本选项不符合题意;
故选:D.
10．答案：C
解析：①∵F是AD的中点,
∴,
∵在中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴；故①正确；
②延长EF,交CD延长线于M,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,
∴,
∵F为AD中点,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,故②正确；
③∵,
∴,
∵,
∴,故③错误；
④设,
,
∴,
∴,
∴
∵,
∴,故④正确.
综上可知：一定成立的是①②④,
故选：C.
11．答案：甲
解析：，
甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲.
12．答案：,
解析：∵二次函数与x轴的交点坐标的纵坐标是0,即的两根是该函数与x轴交点的横坐标,
∴二次函数与x轴的交点坐标是,,
故答案为,.
13．答案：
解析：把代入,得
,
解得,,
而即.
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：∵平分,,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
故答案为：.
15．答案：3
解析：∵矩形,
∴,
∵,E为的中点,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴是等边三角形,,
∴,
∴,
故答案为：3.
16．答案：②③④
解析：抛物线开口向上,与y轴交点在负半轴,
,,
抛物线对称轴为直线,
,
,
,①结论错误；
由图象可知,当时,,
,②结论正确；
由图象可知,当时,,
,
,③结论正确；
由图象可知,当时,二次函数有最小值,
,
,④结论正确,
故答案为：②③④.
17．答案：
解析：
.
18．答案：(1),
(2),
解析：(1),
,
∴或,
解得,,；
(2),
,
,
,
∴或,
解得,,.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵,是关于x的一元二次方程的两实数根,
∴,
∴,
解得：；
(2)∵,,
又∵,
∴,
∴,
解得(舍去),,
∴.
20．答案：(1)20,条形统计图见解析
(2)D
(3)300人
解析：(1),
C组人数为：,
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20.
(2),
,
∴200名学生成绩的中位数会落在D组.
(3)(人)
估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数为300人.
21．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)将,代入得,,
解得,,
∴直线的表达式为；
(2)联立,
解得,,
∴,
当时,,
解得,,
∴,
∴,
∴四边形的面积为；
(3)由题意知,关于x的不等式的解集为直线在直线上方部分,直线在x轴以及x轴上方部分所对应的x的取值范围,
由图象可知,不等式的解集为.
22．答案：(1)
(2)利润W与销售单价x之间的关系式是,当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元
解析：(1)销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数,且时,；时,.
,
解得,,,
即一次函数的表达式为；
(2)由题意可得,
,
∵销售单价不低于成本单价,且获利不得高于,
,得,
∴当时,W取得最大值,此时,
答：利润W与销售单价x之间的关系式是,当销售单价定为87元时,商场可获得最大利润,最大利润是891元.
23．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：∵平行四边形,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴；
(2)∵平行四边形,
∴,
∵,,
∴,,
∵,,,
∴,
∴,
如图,连接,
∵,
∴,,,
∴,
由勾股定理得,,
∴的长为.
24．答案：(1)②√；③√
(2)
(3)或
解析：(1)①令,即,方程无解,
∴不是“和谐函数”；
②令,即,解得,,
∴是“和谐函数”；
③令,即,解得,或,
∴是“和谐函数”；
故答案为：②√；③√；
(2)设,,
∵点A、点B是“和谐函数”(其中)上的“和谐点”,
∴,整理得,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
解得,,
∴m的取值范围为；
(3)∵“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”
∴,整理得,,
∴,
解得,,
∴n关于m的二次函数图象开口向下,对称轴为直线,
①当,即时,
当时,n取最小值k,
∴,
解得,(舍去),(舍去)；
②当,,即时,
当时,n取最小值k,
∴,
解得,,(舍去)；
③当,,即时,
当时,n取最小值k,
∴,
解得,,(舍去)；
④当,即时,
当时,n取最小值k,
∴,
解得,(舍去),(舍去)；
综上所述,或.
25．答案：(1)
(2)存在,
(3)
解析：(1)将,,代入得,,
解得,,
∴抛物线的解析式为；
(2)如图①,连接,过A作直线,使,过C作于D,过D作轴于E,作于F,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,,
∴,
∴,,
设,则,,,,
∴,,
解得,,
∴,
设直线的解析式为,
将,代入得,,
解得,,
∴直线的解析式为,
联立,
解得,或,
∴,
∴存在点P,使,；
(3)如图②,过P作轴于G,
设,则,
∴,,
∴,
由题意知,,
∴,,
∴,
∴的取值范围为.
组别
成绩x(分)
百分比
A组
B组
C组
a
D组
E组