吉林省长春市2023-2024学年 八年级上学期数学期末考试试卷

这是一份吉林省长春市2023-2024学年 八年级上学期数学期末考试试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共24分）
1．3的算术平方根是（ ）
A．±3B．3C．-3D．9
2．下列计算中，结果正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a6B．a8÷a4=a2C．2m+3n=5mnD．(a2)3=a6
3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．34B．15C．0.6D．18
4．要使分式4x-3有意义，x应满足的条件是（ ）
A．x＞3B．x=3C．x＜3D．x≠3
5．若(x-3)(x+5)=x2+mx-15，则m的值为（ ）
A．-8B．2C．-2D．-5
6．如图，OA=OB，BD=1，则数轴上点A所表示的数为（ ）
A．10B．5C．3D．2
7．如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠BB．∠EAC=∠CC．AE∥BCD．∠DAE=∠EAC
8．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
9．在163，3，π，0，-1.6，6中，无理数有 个.
10．计算：4b3a⋅3a22b= ．
11．分解因式：9﹣b2= ．
12．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 cm．
13．如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，若∠A=40°，则∠DBC= °．
14．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB=500m，AC=300m，BC=400m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为14m/s，则着火点C受到洒水影响 秒．
三、解答题（共10题，共计78分）
15．计算：
（1）53×27-10÷2； （2）(-1)3+(-123)0-2-1．
16．计算：
（1）(-2a2)2⋅5ab； （2）(4x3-8x2)÷2x．
17．先化简，再求值：(x+1)(x-1)-(x-2)2，其中x=2．
18．已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．
求证：∠ECD=∠EDC
19．如图，在8×6的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）AB= ；
（2）在图1中确定一点D，点D在边BC上，使AB=BD；
（3）在图2中确定一点E，点E在边AC上，使BE平分∠ABC．
20．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．
（1）请用文字语言叙述勾股定理的内容：
；
（2）请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件）
21．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），那么该如何计算它的面积呢？
我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：
S=1a[a2b2-(a2+b2-c22)2]（秦九韶公式）：
古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：
S=p(p-a)(p-b)(p-c)（海伦公式），其中，p=a+b+c2．
秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题：
（1）如果一个三角形的三边长依次为3，2，5，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是 ；
（2）如图，在△ABC中，已知AB=13，BC=14，AC=15．
①则△ABC的面积的是 ；
②作AD⊥BC于点D，则BD的长是 ．
22．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用a、b的代数式表示出来）
图1表示： ；
图2表示： ；
（2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
若x+y=6，x2+y2=20，求xy和(x-y)2的值；
（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=12，两正方形的面积和S1+S2=80，则图中阴影部分面积是 ．
23．已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．
（1）【感知】如图1，当点E为AB的中点时，则线段AE与DB的数量关系是 ；
（2）【类比】如图2，当点E为AB边上任意一点时，则线段AE与DB的数量关系是 ，请说明理由；（提示如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F．）
（3）【拓展】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为2，AE=3，则CD的长是 ．
24．如图，在长方形ABCD中，AD=BC=9，AB=CD=4．E为AD边上一点，DE=3．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．
（1）用含有t的代数式表示CP的长；
（2）当t=3时，求△PCE的面积；
（3）①当EP⊥BC时，则t的值为 ；
②当EP平分∠AEC时，则t的值为 ．
（4）当△PEC是等腰三角形时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵(3)2=3
∴3的算术平方根是 3
故答案为：B
【分析】根据算术平方根的定义直接得出即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：a2⋅a3=a5≠a6，计算错误，不符合题意；
B：a8÷a4=a4≠a2，计算错误，不符合题意；
C：2m+3n≠5mn，计算错误，不符合题意；
D：(a2)3=a6，计算正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法则，合并同类项，幂的乘方法则计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．34=32不是最简二次根式，故A不符合题意；
B．15是最简二次根式，故B符合题意；
C．0.6=155不是最简二次根式，故C不符合题意；
D．18=32不是最简二次根式，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握：“被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式”，根据最简二次根式的定义依次判断即可．
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式4x-3有意义，
∴x-3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件求出x-3≠0，再计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(x-3)(x+5)=x2+mx-15，
∴x2+5x-3x-15=x2+mx-15，
∴x2+2x-15=x2+mx-15，
∴m=2，
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘多项式法则求出x2+5x-3x-15=x2+mx-15，再计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：OB=22+12=5，
∴OA=OB=5，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出OB的值，再根据圆的半径相等计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，
∴AE∥BC，故C选项正确，
∴∠EAC=∠C，故B选项正确，
∵AB＞AC，
∴∠C＞∠B，
∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，
故选：D．
【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，进而判定AE∥BC，再根据平行线的性质即可得出结论．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
当AB为腰时，点C的个数有2个；当AB为底时，点C的个数有1个。
综上所述：点C的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的性质先作图，再求解即可。
9．【答案】3
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 在163，3，π，0，-1.6，6中，无理数有3，π，6共3个.
故答案为：3.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
10．【答案】2a
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：4b3a⋅3a22b=2a，
故答案为：2a.
【分析】根据分式的乘法法则计算求解即可。
11．【答案】（3+b）（3﹣b）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（3+b）（3﹣b），
故答案为：（3+b）（3﹣b）
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可.
12．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：很具平行线的性质知：∠ACB=∠α=60°，又因为∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC，又BC=3-1=2，∴AB=2。
故第1空答案为：2.
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠α=60°，结合∠A=60°，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=BC=2即可。
13．【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=40°，
∴∠ABC=180°-∠A2=70°，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=30°，
故答案为：30.
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠C，再利用三角形的内角和等于180°求出∠ABC=70°，最后根据线段垂直平分线的性质计算求解即可。
14．【答案】1007
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作CH⊥AB，令CM=CN=260m，
∵AB=500m，AC=300m，BC=400m，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∵S△ABC=AC·BC2=AB·CH2，
∴CH=AC·BCAB=300×400500=240m，
∵CM=CN=260m，
∴MH=NH=2602-2402=100m，
∴MN=200m，
∴ 着火点C受到洒水影响的时间为：200÷14=1007（秒），
故答案为：1007.
【分析】根据勾股定理求出AC2+BC2=AB2，再根据三角形的面积公式求出CH=AC·BCAB=300×400500=240m，最后计算求解即可。
15．【答案】（1）解：原式=53×27-5×4
=5×9-5×4
=35-25
=5；
（2）解：原式=-1+1-12
=-12．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减乘除法则计算求解即可；
（2）根据有理数的乘方，0指数幂，负整数指数幂计算求解即可。
16．【答案】（1）解：(-2a2)2⋅5ab
=4a4⋅5ab
=20a5b；
（2）解：(4x3-8x2)÷2x
=4x3÷2x-8x2÷2x
=2x2-4x．
【知识点】单项式乘单项式；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算求解即可；
（2）根据多项式除以单项式法则计算求解即可。
17．【答案】解：(x+1)(x-1)-(x-2)2
=x2-1-x2+4x-4
=4x-5
当x=2时，原式=4×2-5=3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先化简整式，求出原式=4x-5，再将x=2代入计算求解即可。
18．【答案】解：证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA ，ED⊥OB，
∴∠ODE=∠OCE=90°，DE=CE，
在Rt△ODE和Rt△OCE中，
DE=CEOE=OE
∴Rt△ODE≌Rt△OCE(HL)，
∴∠OED=∠OEC，
在△DFE和△CFE中，
DE=CE∠OED=∠OECEF=EF
∴△DFE≌△CFE(SAS).
∴∠ECD=∠EDC.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角平分线求出∠ODE=∠OCE=90°，DE=CE， 再根据HL证明三角形全等，最后根据全等三角形的判定与性质证明求解即可。
19．【答案】（1）5
（2）解：∵AB=5，
∴在BC上找到点D，使得BD=5．
如图，
（3）解：∵AB=BD，
∴连接AD，取AD中点F，连接BF，延长交AC于点E．
【知识点】勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB=32+42=5，
故答案为：5.
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值即可；
（2）根据题意要求作AB=BD即可；
（3）根据题意要求作图，使BE平分∠ABC.
20．【答案】（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2）
（2）解：图1：大正方形的面积为c2，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4×12ab+(b-a)2=a2+b2，
则a2+b2=c2；
图2：大正方形的面积为(a+b)2=a2+2ab+b2，
四个小直角三角形的面积与小正方形的面积的和为4×12ab+c2=c2+2ab，
则c2+2ab=a2+2ab+b2，即a2+b2=c2；
图3：直角梯形的面积为a+b2⋅(a+b)=12a2+ab+12b2，
三个直角三角形的面积之和为12ab+12ab+12c2=ab+12c2，
则|12a2+ab+12b2=ab+12c2，即a2+b2=c2．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2） ，
故答案为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2） .
【分析】（1）根据所学的勾股定理的内容作答即可；
（2）用不同的方法表示出图形的面积，再得出等式，最后整理求解即可。
21．【答案】（1）114
（2）①84
②5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：p=a+b+c2=3+2+52，
∴这个三角形的面积是：3+2+523+2+52-33+2+52-23+2+52-5=114
故答案为：114；
（2）①由题意可得：p=a+b+c2=13+14+152=21，
∴S△ABC=21×21-13×21-15×21-15=84，
故答案为：84；
②∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12AD·BC，
∴12×14AD=84，
∴AD=12，
∴BD=AB2-AD2=132-122=5，
故答案为：5.
【分析】（1）根据题意先求出p=a+b+c2=3+2+52，再计算求解即可；
（2）①根据题意先求出p的值，再代入公式计算求解即可；
②利用三角形的面积公式和勾股定理计算求解即可。
22．【答案】（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；(a+b)2=(a-b)2+4ab
（2）解：∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴ab=12[(a+b)2-a2-b2]，
∵x+y=6，x2+y2=20，
∴xy=12[(x+y)2-(x2+y2)]=12[62-20]=8，
(x-y)2=(x+y)2-4xy=x2+2xy+y2-4xy=x2+y2-2xy=20-2×8=4．
（3）5
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图1可得：(a+b)2=a2+2ab+b2；
由图2可得：(a+b)2=(a-b)2+4ab；
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a+b)2=(a-b)2+4ab；
（3）由题意可得：AB=AC+BC，
∵AB=12，
∴AC+BC=12，
∵S1+S2=80，
∴AC2+BC2=80，
∵AC+BC2=AC2+2AC·BC+BC2，
∴122=80+2AC·BC，
∴AC·BC=32，
∴S阴影=CD·CB=AC·BC=32
【分析】（1）根据所给的图形找出面积关系式求解即可；
（2）根据题意先求出ab，再结合（1）所求计算求解即可；
（3）先求出AC+BC=12，再求出AC·BC=32，最后计算求解即可。
23．【答案】（1）AE=DB
（2）解：AE=DB，
理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F，
则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°，
∴△AEF为等边三角形，∠EFC=120°，
∴AE=EF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠D=∠FEC，
在△DBE和△EFC中，∠DBE=∠EFC∠D=∠FECED=EC，
∴△DBE≌△EFC(AAS)，
∴DB=EF，
∴AE=DB；
（3）5
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E为AB的中点，
∴∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，
∵DE=CE，
∴∠D=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠D+∠DEB，
∴∠DEB=30°，
∴∠D=∠DEB，
∴DB=BE，
则AE=DB，
故答案为：AE=DB；
（3）如图所示： 点E在直线AB上，点D在直线BC上， 过点E作EF//BC，交AC的延长线于点F，
由（2）可得：△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC（AAS），
∴AE=EF=3，DB=EF=3，
∵BC=2，
∴CD=BC+DB=2+3=5，
故答案为：5.
【分析】（1）根据等边三角形的性质求出∠ABC=60°，AE=BE，∠ECB=30°，再根据等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，最后计算求解即可；
（2）根据等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等证明求解即可；
（3）根据题意先求出△AEF是等边三角形，△DBE≌△EFC（AAS），再根据全等三角形的性质求出AE=EF=3，DB=EF=3，最后计算求解即可。
24．【答案】（1）解：∵AD=BC=9，点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，
∴BP=t，
∴CP=BC-BP=9-t，
故答案为∶ 9-t；
（2）解：由（1）知CP=BC-BP=9-t，
∴将t=3代入CP=9-t中得：CP=6，
∵AB=CD=4，
∴△PCE的面积为：6×4×12=12，
故答案为：12；
（3）①6
②4
（4）4或3或296
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（3）①解：如图，过点E作EP⊥BC，
∵四边形ABCD是长方形，
∴四边形CDEP为长方形，
∵DE=3，AD=BC=9，
∴PC=3，
∴BP=9-3=6，
∴t=61=6（秒）；
②解：过点P作PH⊥AD，PG⊥EC，EQ⊥BC，
∵EP平分∠AEC，
∴PH=PG，
∵四边形ABCD是长方形，
∴ABPH为长方形，
∵AB=CD=4，
∴PH=4=PG，
在△CPG和△CEQ中，
∠ECP=∠ECP∠EQC=∠PGCPG=EQ，
∴△CPG≌△CEQ，
根据勾股定理得：EC=5，
∴PC=5，
∴BP=9-5=4，
∴t=4，
故答案为：6；4；
（4）解：当△PEC是等腰三角形时分三种情况讨论：
①当PE=PC时，
过点E作EM⊥BC，则EM=4，
∵EC=5，
∴MC=3，
∵BP=t，AD=BC=9，
∴PM=9-t-3=6-t，PC=9-t，
∴PE=(6-t)2+42，
∴(6-t)2+42=9-t，解得：t=296；
②当EP=EC时，过点E作EH⊥BC，
∵EH=4，EC=5，
∴HC=PH=3，EP=5
∴PC=6，
∴BP=9-6=3，
∴t=3；
③当PC=CE时，
利用勾股定理得EC=5，
∴PC=5，
∴BP=9-5=4，
∴t=4，
故答案为：4或3或296．
【分析】（1）先求出BP=t，再求出CP的长即可；
（2）根据题意先求出CP=6， 再利用三角形的面积公式计算求解即可；
（3）①根据矩形的性质求出四边形CDEP为长方形，再计算求解即可；
②根据矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，根据等腰三角形的性质以及勾股定理等计算求解即可。