湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试卷及参考答案

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时量:120分钟 满分:150分
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合, 则
A. B. C. D.
2. 若非零实数满足, 则下列不等式中一定成立的是
A. B. C. D.
3. 已知函数的定义域为[-2,3], 则函数的定义域为
A. B. C. [-3,7]D.
4. 已知, 则的大小关系是
A. B. C. D.
5. 在直角梯形中,, 直线截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为, 则函数的图象大致为
6. “”是“函数是定义在上的增函数”的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 函数是定义在上的奇函数, 当时,, 若对一 切 成立, 则实数的取值范围是
A. B. [-2,2]C. D.
8. 已知函数, 用表示中的较大者, 记为 , 若的最小值为, 则实数的值为
A. 0B. C. D.
二、选择题 (本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分)
9. 下列函数中, 既是偶函数又在上单调递增的为
A. B. C. D.
10. 下列说法正确的有
A. “”的否定是“”
B. 若命题“”为假命题, 则实数的取值范围是
C. 若, 则“”的充要条件是“”
D. “”是“”的充分不必要条件
11. 下列说法正确的是
A. 函数且的图象恒过定点(1,-2)
B. 若不等式的解集为或, 则
C. 函数的最小值为 6
D. 函数的单调增区间为
12. 定义域和值域均为(常数) 的函数和图象如图所示, 给出下列四 个命题, 那么, 其中正确命题是
A. 方程有且仅有三个解
B. 方程有且仅有三个解
C. 方程有且仅有九个解
D. 方程有且仅有一个解
三、填空题 (本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)
13. 已知集合, 若, 则实数的值为_____.
14. 不等式对一切实数都成立, 则的取值范围是_____.
15. 已知函数是幂函数, 若, 则实数的最大值是_____.
16. 已知函数若对任意的, 都存在唯一的, 满足 , 则实数的取值范围是_____.
四、解答题 (本题共6小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (10 分)
已知集合.
(1) 当时,求;
(2)若, 求实数的取值范围.
18. (12 分)
(1)计算:;
(2) 已知, 求的值.
19. (12 分)
已知.
(1) 若, 求的最小值;
(2) 若, 求的最小值.
20. (12 分)
已知函数.
(1) 设, 根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增;
(2) 当时, 解关于的不等式.
21. (12 分)
某企业为了增加工作岗位和增加员工收入, 投人 90 万元安装了一套新的生产设备, 预计使用该设备后前年的支出成本为万元, 每年的销售收入95 万元. 设使用该设备前年的总盈利额为万元.
(1) 写出关于的函数关系式, 并估计该设备从第几年开始盈利;
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种:
方案一: 当总盈利额达到最大值时, 该设备以 20 万元的价格处理;
方案二: 当年平均盈利额达到最大值时, 该设备以 60 万元的价格处理;
问哪种方案较为合理? 并说明理由.
22. (12 分)
已知为偶函数,为奇函数, 且满足.
(1) 求,的解析式;
(2) 若关于的方程有解, 求实数的取值范围;
(3)若, 且方程有三个解, 求实数的取值范围.