四川省广安市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
4. 已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
5. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，且有，则线段的长为（ ）
A. B. 2C. D. 1
7. 已知直线的倾斜角为，并且，直线的斜率的范围是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
8. 已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角
B. 直线倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C. 若一条直线倾斜角为，则该直线的斜率为
D. 斜率相等的两直线平行
10. 已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 若甲､乙两组数据平均数分别为，则
B. 若甲､乙两组数据的方差分别为，则
C. 甲成绩中位数大于乙成绩的中位数
D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
11. 在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A. 当P中点时，为锐角
B. 存在点P，使得平面APC
C. 的最小值
D. 顶点B到平面APC的最大距离为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，且，则实数______.
13. 已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足均大于，则的最小值________.
14. 如图，在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. ．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
16. 已知.
（1）若四点可以构成平行四边形，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形.
17. 四棱锥中，平面平面，，，，是正三角形，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
18. 某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.