内蒙古赤峰市赤峰二中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份内蒙古赤峰市赤峰二中2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了是衡量空气质量的重要指标，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（本套试题共7页，19小题，考试时间：120分钟试卷满分：150分）
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知为实数，直线，则“”是“”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10日的日均值（单位：）的折线图，则下列说法错误的是（ ）
A.这10天中日均值的众数为
B.这10天中日均值的中位数是
C.这10天中日均值的中位数大于平均数
D.这10天中日均值前4天的方差大于后4天的方差
3.直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.1
5.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调100人（用分层抽样的方法），则北面共有（ ）人.”
A.7200 B.8100 C.2496 D.2304
6.甲､乙两人各加工一个零件，若甲､乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足则点轨迹的长度是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B.数据的第70百分位数是23
C.已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5
D.若样本数据的方差为4，则数据的方差是16
10.同时抛出两枚质地均匀的骰子甲､乙，记事件：甲骰子点数为奇数，事件乙骰子点数为偶数，事件：甲､乙骰子点数相同.下列说法正确的有（ ）
A.事件与事件对立 B.事件与事件相互独立
C.事件与事件相互独立 D.
11.如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）
A.三棱锥的体积是定值
B.存在点，使得与所成的角为
C.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D.若，则的轨迹的长度为
第II卷（非选择题）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为__________.
13.如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于，求异面直线与所成角的余弦值为__________.
14.甲､乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是__________；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
（1）根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务.
（2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.
（3）第一组中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知.
（1）求角B的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
17.如图，在四棱锥中，，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，四棱锥的体积为2，求二面角的正弦值.
18.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）表示3号歌手得到观众甲､乙､丙的票数之和，求“”的事件概率.
19.如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，为棱上的动点.
（1）是否存在一点，使得面？若存在，指出点位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
（2）若直线与平面CFG所成的角的正弦值为，求三棱锥的体积；
（3）求三棱锥的外接球半径的最小值.
答案
1-8BCBD ACAD
9.ABD 10.BC 11.ACD
12.【答案】 13【答案】
14.【答案】；
【分析】设，可知，利用两角和差公式可得，换元令，结合二次函数性质求最值.
【详解】设，则，
显然，且，
则，可得，
因为
，
令，则，
可得，
因为开口向下，对称轴为，
可知在内单调递减，则的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
15.【答案】（1）万元（2）0.6（3）平均数17.8，方差37
【解析】
（1）月销售额在）小组内的频率为
，
若要使70%的推销员完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成月销售额目标，
根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为0.18，
和及三组的频率之和为0.42，
故估计月销售目标应定为万元；
【小问2详解】
第一组3人记为，第七组2人，
则选取2位推销员有，
共10种情形，
“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件，
则事件包含有共6种情形，
所以；
【小问3详解】
第一组3人，第七组2人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为，
方差.
16.【答案】（1）；（2）.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，
而，则，
由，得，，于是，又，
所以.
【小问2详解】
由，且的面积为，得，即，解得，
由余弦定理得，
所以的周长为.
17.【详解】（1）如图，取中点，连接与交于点，
，∴，∵，，，
∴四边形为正方形，∴，
∵平面⊥平面且平面平面，平面，
∴平面又∵且，
∴，∴AD⊥平面
（2）∵，为正方形中心，故，
∴，
又∵平面⊥平面且平面平面，平面，
∴平面
，
∴
如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，∴，∴则
由（1）可知是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则即
设则，即是平面的一个法向量，
设二面角为，则，∴
18.【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”则事件与相互独立与相互独立
则表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”
即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是
（2）设表示事件“观众丙选中3号歌手”，则
依题意，相互独立，相互独立，且彼此互斥
故“”的事件的概率为
19.【答案】（1）存在点G为的中点，证明见解析；（2）；（3）
【解析】（1）存在一点，当点为的中点，使得面，
连接，如图所示：
点分别是的中点，，又，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，且平面平面.
（2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，连接，
则，
面的法向量.解得
（3）
因为
所以即
因为平面平面，所以平面，
又因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，
设外接球球心为，
设，则的坐标为，设，
则，即，
所以，设，则，
则，
而，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，
三棱锥的外接球的半径，
因为，所以，所以，
三棱锥的外接球半径的最小值为.
备选
9.某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（ ）
A.首选科目为历史的学生样本容量为20
B.所有样本的均值为87分
C.每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为
D.首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13
【答案】ABD
18.（17分）（2023高二山东青岛学业考试）如图，在四棱锥中，平面平面是的中点.
（1）求证：；
（2）若点在线段上，异面直线和所成角的余弦值为，求面与面夹角的余弦值.
7.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.甲､乙两人各加工一个零件，若甲､乙加工的零件为一等品的概率分别是和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C