高考数学压轴题讲义专题2.9函数图象高与低，差值正负恒成立专题练习(原卷版+解析)

这是一份高考数学压轴题讲义专题2.9函数图象高与低，差值正负恒成立专题练习(原卷版+解析)，共30页。
数形结合好方法：
对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在 上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.
【典例指引】
例1．设函数.
（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）求证： .
例2．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．
例3．已知函数，为其导函数.
(1) 设，求函数的单调区间；
(2) 若， 设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.
【新题展示】
1．【2019河南周口期末调研】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.
2．【2019北京东城区高三期末】已知函数f（x）=axex-x2-2x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．
3．【2019山东济南外国语学校1月段模】已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.
【同步训练】
1．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若，证明：当时， 的图象恒在的图象上方；
（3）证明： .
2．已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： ， ）.
3．已知函数 ．
（1）当a=1时，x0[1，e]使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．
4．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．
5．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
6．已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；[来源:学。科。网]
（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．
7．已知函数．
（Ⅰ）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
8．已知函数.
（1）若，求函数的极小值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（ ）
9．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设当时，，求实数的取值范围．
10．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.
11．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数).
（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）
【题型综述】
数形结合好方法：
对于函数与的函数值大小问题，常常转化为函数的图象在 上方（或下方）的问题解决，而函数值的大小论证则常以构造函数，即利用作差法，转化为论证恒成立问题.
【典例指引】
例1．设函数.
（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；
（2）求证： .
【思路引导】
（1）将问题转化为不等式在上恒成立，求实数的取值范围的问题。可构造函数，经分类讨论得到恒成立时的取值范围即可。（2）先证明对于任意的正整数，不等式恒成立，即恒成立，也即恒成立，结合（1）③的结论，当， 时
在上成立，然后令可得
成立，再令即可得不等式成立。
②当时，有，于是在上单调递减，从而，
因此在上单调递减，所以，不合题意；
③当时，令，则当时， ，于是在上单调递减，从而，
因此在上单调递减，所以，而且仅有，不合题意.
综上所求实数的取值范围是.
（2）对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数，不等式恒成立，
即恒成立，变形为恒成立，
在（1）③中，令， ，则得在上单调递减，
所以，即，
令，则得成立.
当时，可得.
即，所以成立。
点睛：本题难度较大，解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在（1）中将问题转化为不等式恒成立的问题处理，在解题中需要在对参数m分类讨论的基础上再求其值。（2）中的问题更是考查学生的观察分析问题的能力，在得到需要证明不等式成立的基础上仍需作出相应的变形，并利用上一问的结论来解决，所以需要学生具有较强的想象力。
例2．已知函数，（为常数，其中是自然对数的底数）
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当且时，函数的图象恒在的图象上方．
【思路引导】
（1）求出函数的导数，利用导数判断的单调性，并求出单调区间；（2）构造函数，利用导数证明在上为增函数，且求得得答案.
点睛：本题考查函数导数的综合应用问题，考查数学转化思想方法与分类讨论思想思想方法，是中档题；利用导数求解函数单调性的一般步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.
例3．已知函数，为其导函数.
(1) 设，求函数的单调区间；
(2) 若， 设，为函数图象上不同的两点，且满足，设线段中点的横坐标为 证明：.[来源:Z*xx*k.Cm]
【思路引导】
（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间即可；（2）问题转化为证明令
，根据函数单调性证明即可.

(2) 法一：
，故在定义域上单调递增.
只需证：，即证 (*)
注意到 不妨设.
令，
则 ，从而在上单减，故， 即得(*)式.

取，则显然有， 从而，
另外由三次函数的中心对称性可知，则有 .
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
【新题展示】
1．【2019河南周口期末调研】已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围.
【思路引导】
（1）对函数求导，分当时和当时，讨论导函数的正负，进而得到单调区间；（2）原式子等价于对任意，都有恒成立，即在上，按照第一问分的情况，继续讨论导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到函数的最值，得到结果.
【解析】
（2）对任意，函数的图像不在轴上方，等价于对任意，都有恒成立，即在上.
由（1）知，当时，在上是增函数，
又，不合题意；
当时，在处取得极大值也是最大值，
所以.
令，所以.
在上，，是减函数.
又，所以要使得，须，即.
故的取值范围为.
2．【2019北京东城区高三期末】已知函数f（x）=axex-x2-2x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．
【思路引导】
（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．
【解析】
设，则，
又由，则，则函数在区间上递减，
又由，则有，
若恒成立，必有，
即的取值范围为．
3．【2019山东济南外国语学校1月段模】已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.
【思路引导】
（1）首先求出f（x）导数，分类讨论a来判断函数单调性；（2）利用转化思想 y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方，即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立，利用函数的单调性和最值即可得到a的范围.
【解析】
（ii） 当a＝1时，lna＝0，f'（x）＝xex﹣ax＝x（ex﹣1）≥0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无减区间；
综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（﹣∞，0）；
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，lna）和（0，+∞），单调减区间是（lna，0）；
当a＝1时，f（x）的单调增区间是（﹣∞，+∞），无减区间．
（2）由（I）知f'（x）＝xex﹣ax
当x∈（0，+∞）时，y＝f'（x）的图象恒在y＝ax3+x2﹣（a﹣1）x的图象上方；
即xex﹣ax＞ax3+x2﹣（a﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立；
即 ex﹣ax2﹣x﹣1＞0对x∈（0，+∞）恒成立；
记 g（x）＝ex﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），
∴g'（x）＝ex﹣2ax﹣1＝h（x）；∴h'（x）＝ex﹣2a；
（i） 当时，h'（x）＝ex﹣2a＞0恒成立，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g'（x）＞g'（0）＝0；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
∴g（x）＞g（0）＝0，符合题意；
【同步训练】
1．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，若，证明：当时， 的图象恒在的图象上方；
（3）证明： .
【思路引导】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）时，，，设，求出函数的导数，利用导数性质推导出恒成立，由此能证明的图象恒在图象的上方；（3）由，设，求出函数的导数，从而，令，得，从而证明结论成立即可.

点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由，得函数单调递增， 得函数单调递减；考查将问题转化为恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，此题最大的难点在于构造法证明不等式.
2．已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.
（参考数据： ， ）.
【思路引导】
（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解；（2）利用参数分离法，转化为两个函数有两个不同的交点即可；（3）的图象在的图象的下方，等价为对任意的， 恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可.
（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.
即对恒成立.
令，则，
令，则，
因为在上单调递增， ， ，且的图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，
所以当时， 单调递减；当时， 单调递增，
则取到最小值 ，…14分
所以，即在区间内单调递增.
所以，
所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.
3．已知函数 ．
（1）当a=1时，x0[1，e]使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．
【思路引导】
（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．
（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
4．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若在上存在一点，使得成立，求的取值范围．
【思路引导】
（1）先求函数导数，并因式分解，安装导函数是否变号进行分类讨论：当时，导函数不变号，在定义区间上单调递增；当时，导函数由负变正，单调性先减后增（2）构造差函数，结合（1）讨论单调性，确定对应最小值，解出对应的取值范围．
（2）由题意可知，在上存在一点，使得成立，
即在上存在一点，使得，
即函数在上的最小值．
由（1）知，①当，即时， 在上单调递减，
∴， ∴，
∵， ∴；
②当，即时， 在上单调递增， ∴， ∴；
③当，即时， ∴，
∵， ∴， ∴，
此时不存在使成立，
综上可得的取值范围是或．
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
5．已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【思路引导】
（Ⅰ）当时，求出切点坐标，然后求出，从而求出的值即为切线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，要使在定义域（0，+∞）内是增函数，只需在（0，+∞）内恒成立，然后将分离，利用基本不等式可求出的取值范围；
（III）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点x0，使得成立，只需，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出的取值范围．
解得a≥ ∴实数a的取值范围是[，+∞）
点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：
一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；
二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单调性处理.
6．已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）本问考查利用导数研究函数单调性，由函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，采用参变分离的方法，将问题转化为在上恒成立，设函数，于是只需满足即可，问题转化为求函数的最小值；（2）存在唯一整数，使得，即，于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数图像在直线下方，于是可以画出两个函数图像，结合图像进行分析，确定函数在时图像之间的关系，通过比较斜率大小来确定的取值范围.
∴实数的取值范围是.
点睛：导数是高考中的高频考点，同时也是初等数学与高等数学的重要衔接.利用导数研究函数单调性，利用导数研究函数极值，导数几何意义等内容，使函数内容更加丰富，更加充盈.解题时，注意函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的应用，另外，还要能够将问题进行合理的转化，尤其是“恒成立”问题和“有解”问题的等价转化，可以简化解题过程.还有在求参数取值范围时，可以考虑到分离参数方法或分类讨论的方法，同时数形结合也是解题时必备的工具.
7．已知函数．
（Ⅰ）若函数在处的切线平行于直线，求实数a的值；
（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）利用导数的几何意义，得， ；（2）函数的零点个数等价于两个函数的交点的个数，即与的交点个数；（3）不等式能成立问题转化为函数的最值问题.
（Ⅲ）在上存在一点，使得成立等价于函数
在上的最小值小于零.
，
①当时，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由
可得，；
②当时，即时， 在上单调递增，所以的最小值为，由
可得；
③当时，即时，可得的最小值为
此时， 不成立. [来源:学*科*网Z*X*X*K]
综上所述:可得所求的范围是或
8．已知函数.
（1）若，求函数的极小值；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若在区间上存在一点，使得成立，求的取值范围，（ ）
【思路引导】
（1）求出的导函数，研究单调性，即可得到函数的极小值；（2）对参数a分类讨论，明确函数的单调区间；（3）原问题等价于在区间上存在一点，使得，即求函数的最小值即可.
【思路点睛】导数为零的点不一定是极值点，导函数的变号零点才是函数的极值点；求单调区间时一定要注意函数的定义域；求最值时需要把极值和端点值逐一求出，比较即可．[来源:Z*xx*k.Cm]
对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现，常用分离参数构造函数法求解.
9．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设当时，，求实数的取值范围．
【思路引导】
（1）由，分类讨论即可求解函数的单调区间；
（2）设，求得，设， 则则
分和两种情况讨论，得到函数的单调性，进而求解实数的取值范围.
（2）设
则
设，
则
①当时，即时，对一切，
所以在区间上单调递增，所以，即，
所以在区间上单调递增，所以，符合题意
②当时，即时，存在，使得，
当时，
所以在区间上单调递减，所以当时， ，
即，所以在区间上单调递减
故当时，有，与题意矛盾，舍去
综上可知，实数的取值范围为
10．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，求函数的单调区间；
（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围.
【思路引导】
（1）中求的是在x=1的切线方程，所以直接出函数在x=1的导数，和切点即可解决。（2）求单调性区间，先注意定义域，再求导数等于0的根，一般对于含参的问题，我们先看是否能因式分解。（3）存在成立，先变形为，从而构造函数在上的最小值.同时注意第（2）问己求对本问的应用。
（3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值.
由第（2）问，
①当，即时， 在上单调递减，
所以，所以，因为，所以；
②当，即时， 在上单调递增，所以，所以；
③当，即时， ，
因为，所以，所以，此时不存在使得成立.
11．已知函数f(x)=lnx，h(x)=ax(a为实数).
（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得对任意的都有函数的图象在函数图象的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，说明理由（）
【思路引导】
（Ⅰ）函数与无公共点转化为方程在无解，令，得出是唯一的极大值点，进而得到，即可求解实数取值范围；
（Ⅱ）由不等式对恒成立，即对恒成立， 令，则，再令，转化为利用导数得到函数的单调性和极值，即可得出结论.
当且仅当故实数的取值范围为
则取到最小值 ，
∴，即在区间内单调递增
，
∴存在实数满足题意，且最大整数的值为.