四川省宜宾市三中教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份四川省宜宾市三中教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了阅读下面材料等内容，欢迎下载使用。
（考试时长：100分钟 总分：150分）
第I卷（选择题）
一､单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，则的值为（ ）
A. B.3 C.或3 D.或
3.若为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线与垂直，垂足为，则的值为（ ）
A.24 B.20 C.0 D.
5.在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C.2 D.
6.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A.或 B.或
C. D.
7.某节物理课上，物理老师讲解光线的入射､反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（ ）
A. B. C.4 D.3
8.阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（ ）
A.与是共线向量
B.与同向的单位向量是
C.在方向上的投影向量是
D.与的夹角为
10.已知直线，当满足一定的条件时，它们的图形可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.在正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）
A.当时，的周长为定值
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，有且仅有一个点，使得
D.当时，有且仅有一个点，使得平面
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线与直线平行，则__________.
13.在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________.
14.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A作一个平面分别交于点，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，则的值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.
（1）求直线的方程；
（2）求直线的方程及点的坐标.
16.（本小题满分15分）
如图，在正四棱柱中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积；
17.（本小题满分15分）
如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，为与的交点，设.
（1）用表示；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
19.（本小题满分17分）
已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.
（1）已知是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；
（2）如图，已知点､点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线､上的点（A､B､C与均不重合），且直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，求点的坐标；
（3）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围.
参考答案：
12. 13. 14.
8.D 【详解】因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为，
同理可得平面与的一个法向量为和，
设直线的一个方向向量为，
则，不妨取，则，
直线与平面所成的角为，
则，
11.易知，点在矩形内部（含边界）.
对于A，当时，，即此时线段周长不是定值，故A错误；
对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，
而平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.
对于C，当时，，取中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，则，所以或.故均满足，故C错误；对于D，当时，，取中点为，所以点轨迹为线段.设，因为，所以，所以，此时与重合，故D正确.
14.解法二：连接交于点，则是底面的中心，连接垂直于底面，连接，交于，可得为的三等分点（靠近，连接并延长，与的交点即为，在平面内作出三角形作，
垂足分别为，如图，由题意，，所以，设，则，又由三角形相似得，
所以，解得：.
15.（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，
与互相垂直，直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理，得，即为所求的直线方程.
（2）由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
关于角A平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为将方程联解，得，
因此，可得点的坐标为.
16.（1）在正四棱柱中，两两垂直，且，
以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则.
因为分别为的中点，所以，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令，则有，即，
因为，所以，
又平面，所以平面；
（2）由（1）可知，，
，
所以与平面所成角的正弦值为.
注意到，
所以点到平面的距离为，
而，从而，
所以，三角形的面积为，
所以三棱锥的体积为；
17.（1）因为是平行六面体，
所以，
（2）
，
，
若异面直线与所成角为
则，
因此异面直线与所成角的余弦值为.
18.（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在中，，
在中，，
由余弦定理可得：
在中，，
又平面平面，又平面平面平面，
在中，
平面平面平面平面.
（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
所以，令，
则，
由已知，
解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点.
19.解：（1）由已知得，
又
直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，
则，得（负值舍去），
直线的方程为，直线的方程为，
联立得；故所求为；
（3）设，其中，
故
由于（等号成立的条件是），故，所以，
即原点到直线的距离之积的取值范围为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
B
C
B
D
D
BC
ACD
题号
11
答案
BD