四川省绵阳市南山中学集团学校2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题 Word版含答案

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一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.)
D B D A A B B C
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)
9.AD 10.BC 11.ACD
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)
12.2n-1 13.1 14.126
四、解答题(本题共5小题,共77分.)
15.(1)应在A组抽取人,应在B组抽取人.
(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,
根据列联表中的数据,经计算可得,
根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.
16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d= a(x-x1)(x-x2)(x-x3),
展开得: ax3+bx2+cx+d=ax3-ax1+x2+x3x2+ax1x2+x2x3+x3x1 x-ax1x2x3,
比较系数得d=-ax1x2x3,即x1x2x3=-da.
(2) 令fm=fn=ft=s,则m,n,t是方程fx-s=0的三根,
即为x3-6x2+9x+1-s=0的三个不等根,由上知mnt=s-1.
f'x=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1),于是fx在-∞,1上递增,在1,3上递减,在3,+∞上递增,
且f0=f3=1,f1=f4=5,函数fx的大致图象如下:
为使得y=fx与y=s有三个不同的交点,
则s∈1,5,故mnt=s-1∈0,4.
17.如下图所示,过C作CD⊥l1,过B作BE⊥l1,垂足分别为D、E.
因∠CAF=α,且∠CAB=π3,所以00,g(x)单调递增.
综上,当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,g(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).
(2)由题意易得曲线y=fx在点(n,fn)处的切线方程为y-en=en(x-n).
设切线与x轴、y轴相交所得的横截距与纵截距分别为an,bn.
则令y=0,解得an=n-1,令x=0,解得bn=-en(n-1).
则所围成三角形的面积Sn=12anbn=12(n-1)2en
则cn=Snn2=(n-1)2en2n2,lncn=ln(n-1)2en2n2=ln12+ln(n-1)2n2+lnen=2lnn-1n+n-ln2,
i=2nlncn=i=2n2lnn-1n+n-ln2=i=2n2lnn-1n+i=2nn-i=2nln2
=2ln1n+(2+n)(n-1)2-(n-1)ln2=n2+n-22-2lnn-(n-1)ln2.
(3)fax≥sinx-csx+2即,令,
则,
①当时,因为,所以,,
令,则,则函数单调递增,且,即;
由(1)可知当a=1时,g(x)≥g(0)=0,即fx≥x+1,所以,则,所以函数在上单调递增,且,
即恒成立.
②当时,,存在实数,使得均有,
则函数在上单调递减,且,不符合题意,所以当时,不符合题意.
综上,a的取值范围为.