第05讲 第四章 三角函数 新定义题（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习高频题型（新教材新高考）

这是一份第05讲 第四章 三角函数 新定义题（原卷版）-备战2025年高考数学一轮复习高频题型（新教材新高考），共6页。试卷主要包含了也可以表示为，若定义域为一切实数的函数满足等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc17922" 三角函数 新定义题（小题） PAGEREF _Tc17922 \h 1
\l "_Tc31240" 三角函数 新定义题（解答题） PAGEREF _Tc31240 \h 2
三角函数 新定义题（小题）
1．（23-24高二下·上海·期末）数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高一下·重庆·期中）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“”，密位写成“”．1周角等于密位，记作1周角，1直角.如果一个半径为的扇形，它的面积为，则其圆心角用密位制表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·贵州铜仁·模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2024·安徽安庆·模拟预测）正割（Secant）及余割（Csecant）这两个概念是由伊朗数学家､天文学家阿布尔·威发首先引入，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割.已知函数，给出下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为；
B．的最小正周期为；
C．的值域为；
D．图象的对称轴为直线.
5．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值（记为m）也可以表示为．若，则 ．
6．（2024高三·全国·专题练习）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里面有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得到 ．

三角函数 新定义题（解答题）
1．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数．
(1)设函数，试求的互生向量；
(2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间；
(3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围．
2．（23-24高一下·北京西城·期末）若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数．
(1)判断是否是好函数，证明你的结论；
(2)对任意实数，函数满足．若是好函数，
（i）当时，求；
（ii）求证：不是周期函数；
（iii）求证：是好函数．
3．（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”.
(1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标;
(2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由.
(3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
4．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质.
(1)判断函数，是否具有性质，并说明理由；
(2)已知函数，判断是否存在，使函数具有性质？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
5．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若函数满足：对任意，则称为“函数”．
(1)判断是不是函数（直接写出结论）；
(2)已在函数是函数，且当时，．求在的解析式；
(3)在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和．
6．（23-24高一下·北京顺义·期中）对于函数，，，及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有“m关联”性质.
(1)分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；
①，；，；
②，；，；
(2)若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(3)已知，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
求证：与不具有“4关联”性质.
7．（23-24高一下·上海奉贤·阶段练习）若定义域为一切实数的函数满足：对于任意，都有，则称函数为“启迪”函数．
(1)设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否是“启迪”函数，并说明理由；
(2)设函数的表达式是，判断是否存在以及，使得函数成为“启迪”函数，若存在，请求出ω、φ，若不存在，请说明理由；
(3)设函数是“启迪”函数，且在上的值域恰好为，以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且只有一个零点，求．
8．（23-24高一下·北京海淀·期中）对于角的集合和角，定义为集合相对角的“余弦方差”．
(1)集合和相对角的“余弦方差”分别为多少？
(2)角，集合，求相对角的“余弦方差”为多少？
(3)角，集合，求相对角的“余弦方差”是否有最大值？若有求出最大值，若没有说明理由？
9．（23-24高一下·辽宁大连·期末）已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.
(1)试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；
(2)设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由.