浙江省杭州市西湖区杭州市十三中教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）

这是一份浙江省杭州市西湖区杭州市十三中教育集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个图形中，从中任取一个是中心对称图形的概率是（）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义和求简单事件的概率，属于基础题型，熟练掌握中心对称图形的概念和求解的方法是解题的关键． 先根据中心对称图形的定义判断其中的中心对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可．
解：在以上4个图形中，第2个和第4个是中心对称图形，
∵任取一个是中心对称图形的有2种情况，共有4种等可能的结果，
∴任取一个是中心对称图形的概率是：．
故选：B．
2. 下列函数中，是关于x的二次函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
解：A：，最高次项为一次，不符合题意；
B：，当时，不是二次函数，不符合题意；
C：，不满足二次函数的定义，不符合题意；
D：，满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D
3. 下列说法正确的是（）
A. 了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是全面调查
B. “打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是不可能事件
C. 大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D. 甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了抽样调查以及事件分类、方差等知识点．直接利用抽样调查以及方差、事件分类分别分析得出答案．
解：A．了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，故此选项不符合题意；
B．“打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是随机事件，故此选项不符合题意；
C．大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故此选项符合题意；
D．甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 图象的对称轴是y轴的二次函数是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．由已知可知对称轴为直线，从而确定函数解析式，再确定答案即可．
解：二次函数的对称轴为y轴，
则函数对称轴为直线，
此时函数解析式为，
∴C符合题意；
故选：C．
5. 将抛物线向右平移2个单位再向下平移2个单位后，得到的图象的函数表达式为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行作答即可．
解：∵将抛物线向右平移2个单位再向下平移2个单位，
∴得到的图象的函数表达式为，
即，
故选：A．
6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案．
解：令解得：
一次函数与轴交点为，
排除A和D，
令，解得，
二次函数与轴交点为和，
一次函数与二次函数的交点为，
排除B，
故选：C．
7. 以下各点可能成为抛物线的顶点的是（）
AB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握顶点公式是解题的关键．根据顶点公式求得顶点坐标为，即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后就能确定可能的顶点．
解：二次函数中，
，，
顶点坐标为，
当时，，
当时，，
当时，，
可能成为函数顶点的是，
故选：A．
8. 如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点，
由平面直角坐标系可知，，即，
设抛物线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，即，
当时，，
所以水面下降，
故选：C．
9. 已知、、是抛物线上的点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据距离对称轴越远的点的纵坐标越大，从而可得答案．
解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线，
∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大，
∵、、是抛物线上的点，
又∵，
∴．
故选：B．
10. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于．下列结论：；；；若，（）是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（）
A.个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况可以判断，根据抛物线顶点纵坐标大于，可以判断，二次函数的图象经过点，再根据图象当x=1时可以判断，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确，
∵顶点纵坐标大于，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
根据图象可知：当时，，
∴，故正确；
由得：，
即函数与的交点，
如图，
∴，，故正确，
综上可知：正确，共个，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 抛物线的顶点坐标是_____________．
【答案】（2，-3）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质：y=a(x-h)2+k的顶点坐标是（h，k）即可求解．
解：抛物线的顶点坐标是（2，-3）
故答案为：（2，-3）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，准确记忆y=a(x-h)2+k的顶点坐标是（h，k）（a≠0）是解题关键．
12. 质检部门为了检测某品牌服装的质量，从同一批次共2000件产品中随机抽取50件进行检测，检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是______________件．
【答案】40
【解析】
【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数．
2000× =40（件），
故答案为：40．
【点睛】本题考查了样本估计总体，求出样本中次品所占的百分比是解题的关键．
13. 已知点，是函数图象上两点，则当时，函数值________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的性质，解答本题的关键是求解抛物线的对称轴．根据题意可以求得抛物线的对称轴，可得，从而可以求得相应的y的值．
解：∵点，是函数图象上两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴当时，
∴，
故答案为：．
14. 如图，A，B是两个可以自由转动的转盘，A转盘白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为和，B转盘被分成面积相等的两个黑白扇形，转动A，B转盘各一次，两次指针都落在黑色区域的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了几何概率的求法，把A图黑色扇形等分成两份，再画树状图求解概率即可．
解：如图，把A图黑色扇形等分成两份，
画树状图如下：
∴所有的等可能的情况数有6种，两次指针都落在黑色区域的情况数有2种，
∴两次指针都落在黑色区域的概率为；
故答案为：．
15. 已知，，，当______时，有最______值，为______．
【答案】 ①. ②. 大 ③.
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值，先用表示出，代入得出与的关系式，最后通过配方即可求解，解题的关键是求出与的关系式．
解：∵，，
∴，，
∴
，
∴当时，有最大值，为，
故答案为：，大，．
16. 已知二次函数y=ax2+bx+c，当时，．
（1）若，，则________；
（2）若抛物线经过点和点，则的取值范围是________．
【答案】 ①. ； ②. 或．
【解析】
分析】（）根据题意得，然后分当a>0时和当时两种情况分析即可；
（）根据抛物线经过点和点得出对称轴为直线，然后画图分析即可；
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
解：（）若，，则，
当a>0时，二次函数开口向上，二次函数最小值为，不符合题意，
当时，二次函数开口向下，二次函数的最大值为，
当二次函数的最小值为-2时，，
∴，解得：a=-1，
故答案为：；
（）∵抛物线经过点和点，
∴，
得：，
∴，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
∵二次函数y=ax2+bx+c，当时，，
∴当时，抛物线开口向下，，
如图，
当时，符合题意，
∴的取值范围是；
当a>0时，抛物线开口向下，，
如图，
当时，符合题意，
∴的取值范围是，
综上可知：的取值范围是或，
故答案为：或．
三、解答题（本题共有8个小题，共72分）
17. 已知，二次函数的图象进过点．
（1）求的值；
（2）求二次函数图象与轴的交点坐标．
【答案】（1）；
（2）二次函数图象与轴的交点坐标为，．
【解析】
【分析】（）将点代入函数表达式，求出值即可；
（）根据所得函数表达式，令，求出值，可得坐标；
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数与轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【小问1】
解：∵二次函数的图象进过点，
∴，
解得：；
【小问2】
解：由（）得：，
∴二次函数解析式为，
∴当时，，
解得：，，
∴二次函数图象与轴的交点坐标为，．
18. 二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值和下表：
（1）________；
（2）当时，的取值范围是________；
（3）当在什么范围内时，随的增大而减小？
【答案】（1）；
（2）；
（3）当时，随的增大而减小．
【解析】
【分析】（）根据表格确定出对称轴，再通过抛物线的对称性即可求解；
（）根据抛物线的对称性，即可求得结论；
（）根据表格得顶点坐标为，与交点为，则确定抛物线开口向上，从而求解；
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【小问1】
解：由表格可知：当时，或，
∴对称轴为直线，
∴当与相对应的值相等，
∴，
故答案为：；
【小问2】
解：由表格可知：当时，，
根据抛物线的对称性得：当时，，
∴根据表格得：当时，的取值范围是，
故答案为：；
【小问3】
解：由（）得对称轴直线，
∴顶点坐标为，与交点为，
∴抛物线开口向上，
∴当时，随的增大而减小．
19. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
（2）求A所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
【答案】（1）500，补全图形见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键．
（1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图；
（2）用乘以的人数所占比例即可解答；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
【小问1】
解：本次调查共抽取了（名）．
选项B的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
【小问2】
解：A所在扇形的圆心角度数为；
【小问3】
解：列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为．
20. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．已知矩形相邻两边之和为，半圆O的半径为．
（1）求隧道截面的面积关于半径的函数表达式，并写出r的取值范围；（结果保留）
（2）若，求隧道截面的面积S的最大值．（取3）
【答案】（1）
（2），面积S的最大值为．
【解析】
【分析】本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
（1）根据面积公式计算即可；
（2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
【小问1】
解：∵矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
∴，，
∴，
∴．
【小问2】
解：，
又∵2米米，
∴，
∴．
由①知，
．
∵，
∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r增大而增大，
故当时，S有最大值．
∴．
21. 甲口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别是2和7，乙口袋中装有两个相同的小球，它们的标号分别是3和6，丙口袋中装有三个相同的小球，它们的标号分别是4，5，9．从这三个口袋中各随机地取出1个小球．
（1）请你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的3个小球的标号全是偶数的概率是多少？
（2）以取出的3个小球的标号分别表示三条线段的长度，求这三条线段能构成三角形的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键．
（1）根据题意画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中取出的3个小球的标号全是偶数的有1种情况，再根据概率公式计算，即可求解；
（2）由（1）可知，所有等可能的情况有12种，其中三条线段能构成三角形的情况有：2，3，4；2，6，5；7，3，5；7，3，9；7，6，5；7，6，4；7，6，9；共7种，再根据概率公式计算，即可求解．
【小问1】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中取出的3个小球的标号全是偶数的有1种情况，
∴取出的3个小球的标号全是偶数的概率为；
【小问2】
解：由（1）可知，所有等可能的情况有12种，其中三条线段能构成三角形的情况有：2，3，4；2，6，5；7，3，5；7，3，9；7，6，5；7，6，4；7，6，9；共7种，
∴这三条线段能构成三角形的概率为．
22. 已知二次函数．
（1）试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）若，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点；
（3）若该二次函图象的顶点坐标为，求m，n的值．
【答案】（1）见（2）抛物线沿x轴向左平移1或2个单位长度，得到的抛物线经过原点
（3）、的值分别为2，．
【解析】
【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算判别式的值，然后根据抛物线与轴的交点问题进行判断；
（2）先整理设该抛物线沿x轴向左平移个单位长度后，得到的抛物线经过原点，则设平移后的抛物线为，依题意把代入，解得或．即可作答．
（3）根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，则，，然后解一次方程即可得到、的值．
本题考查了二次函数的平移规律，二次函数的图象性质，抛物线与轴的交点： 决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
【小问1】
解：∵，
∴，
，
二次函数的图象与轴必有两个交点；
【小问2】
解：∵，
∴
∵设该抛物线沿x轴向左平移个单位长度后，得到的抛物线经过原点
∴设平移后的抛物线为，
把代入，
得
解得或．
即该抛物线沿x轴向左平移1或2个单位长度后，得到的抛物线经过原点；
【小问3】
解：∵，
∴对称轴，
把代入，
得，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，，
解得，
即、的值分别为2，．
23. 新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线”．
（1）试判断二次函数的图象是否为“定点抛物线”；
（2）若定点抛物线与直线只有一个公共点，求m的值；
（3）若一次函数的图象与定点抛物线的交点的横坐标分别为和，且，求n的取值范围．
【答案】（1）是（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把代入求解即可判断；
（2）把代入可得与的关系，根据抛物线与只有一个交点可得，进而求解即可．
（3）先证明一次函数过，计算当时，，当一次函数的图象过时，可得得：，可得一次函数为：，结合当时，满足条件；从而可得答案．
【小问1】
解：把代入得：
，
二次函数的图象经过点，是“定点抛物线”．
【小问2】
解：∵抛物线为定点抛物线，
∴，
整理得：，
∴抛物线为，
∵抛物线为与直线只有一个公共点，
∴方程有两个相等实根，
∴方程有两个相等实根，
∴，
解得：；
【小问3】
解：∵定点抛物线过，
当时，，
∴一次函数过，
如图，
当时，，
当一次函数的图象过时，
∴，
解得：，
∴一次函数为：，
∴当时，即时，满足条件；
【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，新定义的含义，二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）符合条件的P点坐标是或
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可；
（2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可．
（3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，B0,3，再利用平行四边形的性质求解即可．
【小问1】
解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，，
∴，
把A，E两点坐标代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为．
【小问2】
解：存在，理由如下：
∵，B0,3，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
，
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，
①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M，
在中，
∵，
∴，
即，
解得，（舍去），
当时，，
∴，
②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N，
在中，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴，
综上，符合条件的P点坐标是2,3或．
【小问3】
解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
如图，当为对角线时，
设，，而，B0,3，
∴，
解得：，
∴，
当为对角线时，如图，
设，，而，B0,3，
∴，
解得：，
∴，
如图，当为对角线时，
设，，而，B0,3，
∴，
解得：，
∴，
综上：或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）