湖南省湖湘名校教育联合体2024-2025学年高二上学期10月大联考数学试题

这是一份湖南省湖湘名校教育联合体2024-2025学年高二上学期10月大联考数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a=(1,1,0)，b=(-1,1,2)，则a⋅b=( )
A. -1B. 0C. 1D. 2
2.将直线l1:x-y+1=0绕点(0,1)逆时针旋转90∘得到直线l2，则l2的方程是( )
A. x+y-2=0B. x+y-1=0C. 2x-y+2=0D. 2x-y+1=0
3.圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-2)2+(y-3)2=9的位置关系是( )
A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交
4.若椭圆x2λ+y25=1的右焦点坐标为(2,0)，则λ的值为( )
A. 1B. 1或3C. 9D. 1或9
5.已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，若OD=12OA+xOB+yOC，则2xy的最大值为( )
A. 12B. 14C. 18D. 116
6.如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，则点M到直线PN的距离为( )
A. 153B. 203C. 52D. 352
7.已知函数f(x)=- x,x≥0 -x,x<0，若对任意a∈[0,3]，f(a-x2)≥ 2f(x)恒成立，则x的取值范围为( )
A. [-3,1]B. (-∞,-3]∪[1,+∞)
C. [0,2]D. (-∞,0]∪[2,+∞)
8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥A-BCD，该三棱锥为鳖臑，O1，O2为半圆柱的圆心，半径为2，BD=4，∠AO2C=60∘，动点Q在△ACD内运动(含边界)，且满足BQ= 10，则点Q的轨迹长度为( )
A. 2πB. 3πC. 2 2πD. 2 3π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. ω=2B. φ=π3
C. x=-π6是曲线y=f(x)的一条对称轴D. f(x)在区间[-π2,-π6]上单调递增
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8，E，F，G，M分别为AA1，AD，CC1，A1B1的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线EF与MB为异面直线
B. 向量EM在向量FG上的投影向量为12FG
C. 若Q为CA1上靠近点A1的四等分点，则4AQ=AB+AD+3AA1
D. 线段CD上存在点P，使得EF//平面PGM
11.设圆C:(x-1)2+(y-1)2=2，直线l:x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则下列说法正确的是( )
A. 若圆心C到直线AB的距离为 22，则|AB|= 6
B. 直线AB恒过定点(13,13)
C. 若线段AB的中点为M，则|PM|的最小值为7 26
D. 若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2+y1y2+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A与事件B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∪B)=__________.
13.已知点M(1,-2)，N(0,-2)，P是直线l:x+2y-2=0上一点，则|PM|+|PN|的最小值为__________.
14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(0四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(1-csA)= 3asinB.
(1)求角A的大小;
(2)若a=2 7，b=2，角A的平分线交BC于点D，求线段AD的长.
16.(本小题12分)
已知圆C的圆心在y轴上，且经过点A(2,0)，B(1,3).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若圆C上存在一点P满足△ABP的面积为5，求直线BP的方程.
17.(本小题12分)
图1是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，E1，F1分别是CD，AD，C1D1，A1D1的中点，截去三棱柱EDF-E1D1F1和三棱柱BCE-B1C1E1得到如图2的四棱柱ABEF-A1B1E1F1，G，H分别是E1E，A1A的中点，过点B，G，H的平面α交F1F于点M.
(1)求线段FM的长;
(2)求平面A1B1G与平面α夹角的余弦值.
18.(本小题12分)
在直角坐标系xOy中，点E1(- 2,0)，E2( 2,0)，动点T(x,y)满足直线TE1与TE2的斜率之积为-12.记T的轨迹为曲线Γ.
(1)求Γ的方程，并说明Γ是什么曲线;
(2)过左焦点F1且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线Γ相交于A，B两点，AB的中点为M，直线OM与曲线Γ相交于C，D两点.求四边形ACBD面积的取值范围.
19.(本小题12分)
已知集合S={1,2,3,⋯,n}，n为正整数且n≥5，M为集合S的子集，记card(M)表示集合M中元素的个数.
(1)当n=5时，card(M)=4，请写出满足条件的集合M;
(2)当n=15时，对任意的x，y，z∈M，(x,y,z可以相同)，都有x+y+z∉M，求card(M)的最大值;
(3)若M1，M2，⋯，Mn，Mn+1均为S的子集，且card(Mi)=3(1≤i≤n+1)，求证：一定存在两个不同的子集Mi，Mj(1≤i答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题。
由空间向量的数量积运算法则求解即可.
【解答】
解：因为a=(1,1,0)，b=(-1,1,2)，
所以 a⋅b=1×(-1)+1×1+0×2=0.
故选B.
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．
因为l2过(0,1)且直线l2与直线l1垂直，由直线的点斜式可得l2的方程．
【解答】
解：由题知，点(0,1)在直线l2上，逆时针旋转90∘，
直线l2与直线l1垂直，斜率为-1，
则直线l2的方程为y-1=-x-0，
所以直线l2方程为x+y-1=0.
故选B.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.
由圆的标准方程可得r1，r2及两圆心之间的距离，与两半径比较即可得圆C1与圆C2的位置关系.
【解答】
解：圆 C1:x2+y2=4的圆心 C1(0,0)，半径 r1=2，
圆 C2:(x-2)2+(y-3)2=9的圆心 C2(2,3)，半径 r2=3，
∵两圆心之间的距离 |C1C2|= 22+32= 13，r2-r1< 13∴两圆相交．
故选D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的焦点，属于基础题.
利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解λ即可．
【解答】
解：椭圆 x2λ+y25=1λ>0的右焦点坐标为(2,0)，
可得 λ-5=2，解得λ=9.
故选C.
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理的应用，利用基本不等式求最值，属于基础题.
x+y+12=1，利用基本不等式求最值，即可求解.
【解答】
解：∵O为空间任意一点，A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，
OD=12OA+xOB+yOC，
∴x+y+12=1⇒x+y=12⇒2xy≤2(x+y2)2=2×116=18，当且仅当x=14，y=14时取得等号，
∴2xy的最大值为18.
故选：C.
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用空间向量求点线之间的距离，线面垂直的判定，余弦定理，线面垂直的性质，属于中档题.
方法一：建立空间直角坐标系，求向量 MN 在 PN 上的投影的大小，再求点M到直线PN的距离；
方法二：利用余弦定理解三角形即可；
方法三：AC∩BD=O，连接MO，过O作OH⊥PN于H，易证PN⊥平面OMH，则线段MH长就是点M到直线PN的距离.
【解答】
解：方法一：正四棱锥P-ABCD的棱长均为2，M，N分别为AB，BC的中点，
记AC∩BD=O，根据正四棱锥的性质可得，点P在底面ABCD的投影为点O，即PO⊥底面ABCD，
而AO，OB⊂底面ABCD，故PO⊥AO，PO⊥OB，
而由底面ABCD为正方形的性质可得，AO⊥OB，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2，则AC=BD=2 2，
则AO=OC=OD=OB=OP= 2，
则A( 2,0,0)，B(0, 2,0)，C(- 2,0,0)，
P(0,0, 2)，M( 22, 22,0)，N(- 22, 22,0)，MN=(- 2,0,0)，
PN=(- 22, 22,- 2)，记μ=PN|PN|=(- 66, 66,- 63)，
则点M到直线PN的距离d= (MN)2-(MN⋅μ)2= 153.
方法二：连接PM，PN，MN，PN=PM= 3，MN= 2，
由余弦定理得cs∠PNM=2+3-32× 2× 3= 66，sin∠PNM= 306，
则点M到直线PN的距离d=MN×sin∠PNM= 2× 306= 153.
方法三：AC∩BD=O，连接MO，过O作OH⊥PN于H，易证PN⊥平面OMH，
则线段MH长就是点M到直线PN的距离，
|MO|=1，|OH|= 2 3，|MH|= 1+23= 153.
故选A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于中档题.
先把f(a-x2)≥ 2f(x)转化为f(a-x2)≥f(2x)，然后利用f(x)在R上单调递减，得到a≤x2+2x恒成立，最后解二次不等式即可.
【解答】
解：由题可知，f(x)=- x,x≥0 -x,x<0，
所以f(a-x2)≥ 2f(x)可转化为f(a-x2)≥f(2x)，
而f(x)在R上单调递减，
所以a-x2≤2x即a≤x2+2x对任意a∈[0,3]恒成立，
得到3≤x2+2x，
解得x的解集为：(-∞,-3]∪[1,+∞).
故选B.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆柱、棱锥的结构特征，属于中档题.
根据已知得到△ABD为等腰直角三角形，过M向DC作垂线，垂足为N，得到点Q在以M为圆心， 2为半径的半圆上，求解即可.
【解答】
解：由题可知AO2=2，AB=4，△ABD为等腰直角三角形.
则AD=4 2，AC=2 3，
∵动点Q在△ACD内运动，BQ= 10，过点B向AD作垂线，垂足为点M，BM=2 2，
因为AC⊥AB，AC⊥BD，BD∩AB=B，BD，AB⊂平面ABD，
则AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ACD，则平面ACD⊥平面ABD，
又平面ACD∩平面ABD=AD，BM⊂平面ABD，所以BM⊥平面ADC，
则DC= 32+12=2 11
MQ= BQ2-BM2= 2，
过M向DC作垂线，垂足为N，MN=2 6611> 2，
∴点Q在以M为圆心， 2为半径的半圆上，∴点Q的轨迹长度为 2π.
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查由部分图象求三角函数解析式，正弦型函数性质，属于基础题.
根据图象可得ω，φ，依此结合选项判断即可.
【解答】
解：对于A选项，A=2，12T=11π12-5π12=π2，T=π，ω=2，A正确;
对于B选项，将点(5π12,-2)代入解析得，-2=2cs(2×5π12+φ)，又φ<π2，
解得φ=π6，B错误;
对于C选项，令2x+π6=kπ，k∈Z，得x=-π12+kπ2，k∈Z，当k=0时，x=-π12，C错误;
对于D选项，x∈[-π2,-π6]，2x+π6∈[-5π6,-π6]⊆[-π,0]，D正确.
故选AD.
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查空间向量的投影向量、线面平行的向量表示等，属于中档题.
分别利用空间中直线与直线的位置关系、空间向量的投影向量、空间向量的线性运算、线面平行的向量表示等一一判断即可.
【解答】
解：对于A选项，过E，M，B三点在同一个平面，F在平面外，
直线EF与MB为异面直线，A正确;
对于B选项，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为8，所以正方体的棱长为2，
所以E(2,0,1)，F(1,0,0)，G(0,2,1)，M(2,1,2)，
EM=(0,1,1)，FG=(-1,2,1)，
则向量EM在向量FG上的投影向量为：EM⋅FG|FG|⋅FG|FG|=12FG，故B正确;
对于C选项，AQ=AA1+14A1C=AA1+14(A1A+AB+BC)，
变形得4AQ=AB+AD+3AA1，C正确;
对于D选项，设P(0,t,0)，则GM=(2,-1,1)，GP=(0,t-2,-1)，EF=(-1,0,-1)，
平面PGM的法向量n=(x,y,z)，
由n⋅GM=0n⋅GP=0，可求得一个n=(3-t,2,2t-4)，
要使EF//面PGM，则n⋅EF=0且EF⊄面PGM;
由n⋅EF=0解得t=1，此时EF⊂面PGM，不合题意(或直接由几何法也可得出)，故D错误.
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查圆的切点坐标、切线长、直线与圆的位置关系中的最值问题等，属于中档题.
利用题目给出的条件，结合圆的切点坐标、切线长、直线过定点问题、直线与圆的位置关系中的最值问题等一一判断即可.
【解答】
解：对于A选项，圆C的圆心为(1,1)，半径为 2，|AB|=2 R2-d2= 6，故A正确;
对于B选项，圆C:(x-1)2+(y-1)2=2①，
设点P(t,-1-t)，以CP为直径的圆的方程为(x-1)(x-t)+(y-1)(y+1+t)=0，
化简为x2-(t+1)x+y2+ty-1=0②，
②-①得切点弦AB的方程为t(x-y)+1-x-2y=0，与t无关，
得x-y=01-x-2y=0，解之得x=13y=13，B正确;
对于C选项，在△ABC中，CA=CB，M为中点，则CM⊥AB，
又直线AB恒过定点E(13,13)，所以一定有CM⊥ME，
即点M在以CE为直径的圆(x-1)(x-13)+(y-1)(y-13)=0上，
即M是圆心为C'(23,23)，半径为 23的圆上的点.
又点P在直线l上，故|PM|的最小值为圆C'上的点到直线的最短距离，
故|PM|min=|23+23+1| 2- 23=5 26，故C错误;
对于D选项，在Rt△PAC中，cs∠ACP=ACPC= 2PC，
又|PC|⩾dC到l的距离=3 22，故cs∠ACP≤23，cs∠ACB=2cs2∠ACP-1≤-19，
所以CA⋅CB= 2× 2cs∠ACB≤-29<0，
又CA⋅CB=(x1-1,y1-1)⋅(x2-1,y2-1)=x1x2+y1y2+2-(x1+x2+y1+y2)，
所以x1x2+y1y2+212.【答案】0.7
【解析】【分析】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题.
利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解.
【解答】
解：因为事件A与事件B相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.5，
所以P(AB)=0.4×0.5=0.2，
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.5-0.2=0.7.
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查点、直线间的对称问题，两点之间的距离公式，属于基础题.
求出 M(1,-2)关于直线l:x+2y-2=0对称的点M'的坐标，利用|PM|+|PN|≥|M'N|即可求解.
【解答】
解：M(1,-2)，N(0,-2)两点在直线 l:x+2y-2=0的同一侧.
设M(1,-2)关于直线l:x+2y-2=0对称的点的坐标为M'(x',y')，
则y'+2x'-1×(-12)=-1,x'+12+2×y'-22-2=0,解得M'(3,2)，
由对称性可得|PM|=|PM'|，
|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|=5，
当且仅当P在线段NM'上时等号成立，
所以|PM|+|PN|的最小值为5.
14.【答案】 53
【解析】【分析】
本题考查椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义，属于中档题.
由题意可得四边形MF1NF2为矩形，可得a,c的关系，进而求出椭圆的离心率.
【解答】
解：由题意，0所以离心率e= c2a2= a2-b2a2= 1-b2a2≤ 59= 53①.
如图，连接MF2，NF2，因为MF1⋅NF1=0⇔∠MF1N=90∘，
故四边形MF1NF2为矩形.
在Rt△F1MF2中，令|F1M|=m，|F2M|=n，
由定义及勾股定理得m+n=2a⋯⋯(1)m2+n2=4c2⋯⋯(2)，
(1)的平方得m2+n2+2mn=4a2，代入(2)式得mn=2a2-2c2(3)，
将(2)除以(3)式得，m2+n2mn=4c22a2-2c2.
又|MF1|≥2|NF1|，则mn≥2，而m2+n2mn=mn+nm=mn+1mn
令t=mn≥2，f(t)=t+1t,t∈[2,+∞)
易知f(t)在[2,+∞)上单调递增，
故f(t)≥f(2)=2+12=52，
所以4c22a2-2c2≥52，整理得9c2≥5a2，
所以e= c2a2≥ 59= 53②，
由①②得e= 53.
15.【答案】解：(1)因为b(1-csA)= 3asinB，
由正弦定理可得sinB(1-csA)= 3sinAsinB.
又因为B∈(0,π)，则sinB≠0，
所以1-csA= 3sinA.整理得2sin(A+π6)=1，即sin(A+π6)=12.
因为A∈(0,π)，所以A+π6∈(π6,7π6)，
所以A+π6=5π6，所以A=2π3.
(2)在△ABC中，a=2 7，a2=b2+c2-2bccsA，且b=2，
则有28=4+c2+2c，解得c=4(舍去负值).
方法1:由面积有S△ABC=S△ABD+S△ACD，
12bcsin∠BAC=12b⋅AD⋅sin∠CAD+12c⋅AD⋅sin∠BAD，
即2×4=2AD+4AD，则AD=43，线段AD的长是43.
方法2:由内角平分线定理有|CD||DB|=|AC||AB|=12，则AD=13AB+23AC，
|AD|2=19×c2+49×b2-29cb=169，
所以AD=43，线段AD的长是43.

【解析】本题主要考查正、余弦定理，属于中档题.
(1)由正余弦定理及辅助角公式，结合角的范围可得解；
(2)方法1，由余弦定理及等面积法，可得线段AD的长.
方法2，由余弦定理及内角平分线定理，可得线段AD的长.
16.【答案】解：(1)由题意，设圆C的标准方程为x2+(y-b)2=r2，
圆C经过点A(2,0)，B(1,3)，则4+b2=r21+(3-b)2=r2⇒b=1r2=5，
故圆C的标准方程为x2+(y-1)2=5.
(2)解法一：直线AB的斜率为3-01-2=-3，
所以直线AB的方程为y=-3x-2，即3x+y-6=0，
|AB|= 2-12+0-32= 10，
由S△ABP=5得点P到直线AB的距离d=2×5 10= 10，
设P(x0,y0)，则|3x0+y0-6| 10= 10x02+(y0-1)2=5，
解得x0=-2y0=2或x0=-1y0=-1即P(-2,2)或P(-1,-1)，
当P(-2,2)时，直线BP的方程为x-3y+8=0，
当P(-1,-1)时，直线BP的方程为2x-y+1=0，
综上直线BP的方程为x-3y+8=0或2x-y+1=0.
解法二：直线AB的方程为3x+y-6=0，|AB|= 10，
点P到直线AB的距离为d=2×5 10= 10，
则将直线AB沿着与AB垂直的方向平移 10个单位即可，
此时该平行线与圆的交点即为点P，设该平行线的方程为3x+y+C=0，
则|C+6| 10= 10，解得C=4或C=-16，
当C=4时，联立x2+(y-1)2=53x+y+4=0，
解得x=-1y=-1或x=-2y=2，即P(-2,2)或P(-1,-1)，
当P(-2,2)时，直线BP的方程为x-3y+8=0，
当P(-1,-1)时，直线BP的方程为2x-y+1=0，
当C=-16时，直线3x+y-16=0与圆C相离.
综上直线BP的方程为x-3y+8=0或2x-y+1=0
解法三：直线AB的方程为3x+y-6=0，点P到直线AB的距离d=2×5 10= 10，
设P( 5csθ,1+ 5sinθ)，其中θ∈[0,2π),
则有|3 5csθ+1+ 5sinθ-6| 10= 10，联立cs2θ+sin2θ=1，
解得csθ=- 55sinθ=-2 55或cs θ=-2 55sin θ= 55，即P(-2,2)或P(-1,-1).
当P(-2,2)时，直线BP的方程为x-3y+8=0，
当P(-1,-1)时，直线BP的方程为2x-y+1=0.
综上直线BP的方程为x-3y+8=0或2x-y+1=0.
【解析】本题考查圆的方程的，圆中三角形的面积，属于中档题．
(1)设圆C的标准方程为x2+(y-b)2=r2，求出b和r，进一步求出圆的方程；
(2)利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用，求出点P的坐标，即可求直线BP的方程.
17.【答案】解：(1)在下图中，延长BA与EF相交于K，延长B1A1与E1F1相交于K1，
延长BH与K1K相交于I，连接GI交F1F于M，
由△ABH∽△KBI，
得AHBA=KIBK，求得KI=32，MF=12(KI+EG)=54.
(2)在下图中，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
平面α即平面BGH(尽量用已知点)，
则B(0,2,0)，G(2,1,1)，H(0,0,1)，HG=(2,1,0)，HB=(0,2,-1)，
设面α的法向量是m=(x,y,z)，有m⋅HG=2x+y=0m⋅HB=2y-z=0，
令y=2，则x=-1，z=4，m=(-1,2,4)，A1(0,0,2)，B1(0,2,2)，A1G=(2,1,-1)，B1G=(2,-1,-1)，
设面A1B1G的法向量为n=(a,b,c)，有n⋅A1G=2a+b-c=0n⋅B1G=2a-b-c=0，
令c=2，则a=1，b=0，n=(1,0,2)，
cs=m⋅n|m|⋅|n|=-1+8 21× 5= 10515.
则面A1B1G与面α的夹角的余弦值是 10515.

【解析】本题主要考查平面与平面所成角的向量求法等，属于中档题.
(1)延长BA与EF相交于K，延长B1A1与E1F1相交于K1，延长BH与K1K相交于I，连接GI交
F1F于M，然后利用△ABH∽△KBI，得到KI=32，MF=12(KI+EG)=54.
(2)以A为坐标原点，分别以AF，AB，AA1所在直线为x，y，z，轴建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，平面α即平面BGH，然后利用空间向量即可.
18.【答案】解：(1)直线TE1的斜率为yx+ 2(x≠- 2)，直线TE2的斜率为yx- 2(x≠ 2)，
由题意可知：yx+ 2⋅yx- 2=-12⇒x2+2y2=2(x≠± 2)，
所以曲线Γ是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为x22+y2=1(x≠± 2).
(2)直线l的斜率存在且不为0，设l:y=k(x+1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x0,y0).

联立x22+y2=1 y=k(x+1)，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0，
易知Δ>0，则x1+x2=-4k21+2k2x1x2=2k2-21+2k2，
则|AB|= 1+k2|x1-x2|=2 2(k2+1)1+2k2，
x0=-2k21+2k2y0=k1+2k2，即M(-2k21+2k2,k1+2k2)，kOM=-12k，
直线CD的方程为y=-12kx，与x22+y2=1(x≠± 2)联立得x2=4k21+2k2，
设点C(x3,y3)，D(-x3,-y3)到直线l:y=k(x+1)的距离分别为d1，d2，
则d1=|kx3-y3+k| k2+1，d2=|-kx3+y3+k| k2+1，
d1+d2=|2kx3-2y3| k2+1=|2kx3-2(-12k)x3| k2+1=|2k+1k| 4k21+2k2 k2+1=2 2k2+1 k2+1，
四边形ACBD面积S=12|AB|(d1+d2)=12×2 2(k2+1)1+2k2×2 2k2+1 k2+1
=2 2× k2+12k2+1=2 2 12+12(2k2+1)，
又k2>0，所以S∈(2,2 2)，
故四边形ACBD面积的取值范围为(2,2 2).
【解析】本题考查点的轨迹的求法，以及四边形面积的最大值的求法，属较难题.
(1)利用直线的斜率公式可得轨迹方程;
(2)设l:y=k(x+1)(k≠0)，四边形ACBD面积S=2 2 12+12(2k2+1)，即可求解.
19.【答案】解：(1)∵card(M)=4，S={1,2,3,4,5}，
∴集合M有：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}.
(2)取M={6,7,8,9,⋯,15}，对于任意的x，y，z∈M，满足x+y+z∉M，card(M)=10，
当card(M)<10时，集合M中的元素取从大到小对应card(M)的个数，均成立，
下证当11≤card(M)≤15不成立，作三元子集M0={5,10,15}，Mk={k,10-k,10+k}(k=1,2,3,4)，
则S=M0∪M1∪M2∪M3∪M4，
对S的任意一个11元子集S1，必包含某个Mk，
若M0⊆S1，则有15=5+5+5成立，与x+y+z∉S1矛盾；
若Mk⊆S1(k=1,2,3,4)，则元素10+k=k+k+(10-k)与x+y+z∉S1矛盾，
∴card(M)的最大值为10；
(3)(反证法)假设对任意的i①若card(Mi∩Mj)=0，三元子集至少有n+1个，与元素只有n个矛盾，
②若card(Mi∩Mj)=2，若card(M1∩M2)=2，card(M2∩M3)=2，则card(M1∩M3)=2，
将M1，M2，⋯，Mn，Mn+1分成若干组，
每组中的两个三元子集都有2个公共元素，不同组中无公共元素.
下证，任取一组有 k个三元子集，有 m个元素，则k当k=1时，m=3，则k而三元子集有n+1个，至少要有n+1个元素，矛盾.
∴一定存在两个不同的子集Mi，Mj，使得card(Mi∩Mj)=1.
【解析】本题主要考查集合新定义，属于难题.
(1)根据题意，把M的集合一一列举出来即可求解；
(2)分card(M)=10，card(M)<10时，和11≤card(M)≤15三种情况分别证明即可；
(3)利用反证法，分别证明当card(Mi∩Mj)=0和若card(Mi∩Mj)=2，时不成立即可.