上海市建平中学2024-2025学年高一上学期第一阶段检测（10月）数学试题

这是一份上海市建平中学2024-2025学年高一上学期第一阶段检测（10月）数学试题，共5页。
（考试时间120分钟 满分150分）
考生注意：
1.带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦、计算器等参加考试，考试中途不得传借文具，计算器，草稿纸
2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分。
3.请直接将答案写在原卷上，保持字迹清晰
一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1.方程组x+y=3x-y=-1的解集为______
2.A={y|y=kx+5，x∈R},B={y|y=kx+1,x∈R}，则A∩B=_______
3. 已知集合，，那么
4. 已知方程x2-4x+a=0的两根都大于1，则a的取值范围为_______
5. 若，则下列结论中正确的序号是___________
（1）（2）（3）（4）
6.若不等式恒成立，则实数的取值范围是
7.设x1、x2是关于的方程的两个实数根，则的最小值为 .
8.设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个
9.已知集合A={x|-1≤x≤a} ,P={y|y=x+1,x∈A},Q={y|y=x2}，若Q⊆P，则a的取值范围为___________
10.设，已知集合恰有四个非零元素，且它们在数轴上等距排列，则
11.集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算
12.若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为_________________________
二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）
13. 是成立的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件
14.能被8整除的所有正整数组成的集合可表示为（ ）
A． B． C． D．
15.若非空集合，，则使得成立的所有的集合是（ ）
A．B． C．D．
16.已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.
则下列说法正确的个数为（ ）
（1）12∈M （2）x+y∈M （3）x2∈M
A．0B．1C．2D．3
三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）
17. 已知集合A={x|x3-2x2-x+2=0}，B={x|2ax2-3（a2+1）x+4=0}
（1）若A∩B={2}，求：a的取值集合
（2）若x∈A是x∈B的必要条件，求：a的取值集合
18.（1）已知，，．求的值
（2）设xa=yb=zc，求：z=xy的充要条件
19.在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂
问题①：设，集合，若x∈M是x∈{1,2,3}的充分条件，求：a的取值集合
问题②：设b∈Z，P=x+3,Q=18-x,求证：c-a和c-b至少有一个数是奇数
（1）小明在解决问题①，他认为原问题等价于{1，a}∈{1,2,3}，解得a的取值集合为{2，3}，张老师判断小明解题错误，请解出正确的a的取值集合并写出M集合的等价变形
（2）小红认为既然c∈Z，只需根据c是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选择一种你认为更好的方法并证明
20.已知实数，满足.
（1）求证：中至少有一个实数不小于1；
（2）设这五个实数两两不等，集合，若且，记是中所有元素之和，对所有的，求：的平均值.
21.设集合A={a1,a2,a3,a4}，B={b1,b2,b3,b4},C={2,3,4,6}，新定义：集合A中所有含k个元素的子集中k个元素之和组成的集合为“k元和集”，集合A中所有含k个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和组成的集合为“k元差集”
（1）若A的“k元和集”为C，求：集合A
（2）在（1）的条件下，若B的“k元差集”为C，求：所有满足条件的A∩B的真子集个数之和
（3）设b1=a12, b2=a22, b3=a32, b4=a42，若A∩B为2元集且元素之和为10且A的“2元和集”中最大元素不超过14，求：所有满足条件的A的“3元差集”
参考答案及评分标准
填空题（1~12题）
1．{（1,2）}
2．∅
3．{-1,0,1，2}
4．（3,4]
5．（1）（2）（3）
6．（-∞，-2]
7．0
8．7
9．[0,1+52]
10．74
11．(0,e)]∪[b,d)
12．{，，，.}
选择题（13~16题）
13．A
14．B
15．B
16．D
解答题（17~21题）
17. （1）{13}（7分）
（2）{0,1}（7分）
18．（1）值为-12
（2）充要条件为：1a+1b=1c（8分）
19．（1）a∈{1,2,3} 在考虑问题中，我们不能凭空加上互异性条件，因此M等价于{1}∪{A}（7分）
（2）证明正确即可（推荐反证法）（7分）
20．（1）反证法（9分）
（2）8131（9分）
21．（1）{-1,1,2,3}（6分）
（2）B集合为{5,3,0，-1}或{9,3,1,0}或{6,3,1，-1}，故所有A∩B的真子集个数之和为13（6分）
（3）{1,3,5}或{0,4,5,6}或{2,4,5,8}（6分）