安徽省合肥市、安庆市名校2024-2025学年数学九上开学经典试题【含答案】

这是一份安徽省合肥市、安庆市名校2024-2025学年数学九上开学经典试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）函数y＝mx+n与y＝nx的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
2、（4分）某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡．它们的使用寿命如下表所示：
这批灯泡的平均使用寿命是（ ）
A．1120小时B．1240小时C．1360小时D．1480小时
3、（4分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
4、（4分）下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）的值等于
A．3B．C．D．
6、（4分）下列命题：
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②两点之间，线段最短；
③相等的角是对顶角；
④直角三角形的两个锐角互余；
⑤同角或等角的补角相等．
其中真命题的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7、（4分）已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8、（4分）某班5位学生参加中考体育测试的成绩(单位：分)分别是：50、45、36、48、50，则这组数据的众数是（ ）
A．36B．45C．48D．50
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在□ABCD中，AB=5，AD=6，将□ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点 C重合，则折痕AE的长为____．
10、（4分）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为_____．
11、（4分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
12、（4分）菱形ABCD的对角线cm，，则其面积等于______.
13、（4分）如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为_____．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，是正方形的边上的动点，是边延长线上的一点，且，，设，.
（1）当是等边三角形时，求的长；
（2）求与的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）把沿着直线翻折，点落在点处，试探索：能否为等腰三角形？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由.
15、（8分）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1
（1）当点A1落在AC上时
①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；
②如图2，AD1交CB于点O．若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；
（2）如图3，当A1D1过点C时．若BC＝5，CD＝3，直接写出A1A的长．
16、（8分）已知a，b是直角三角形的两边，且满足，求此三角形第三边长.
17、（10分）已知点A及第一象限的动点，且，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（2）画出函数S的图象，并求其与正比例函数的图象的交点坐标；
（3）当S=12时，求P点坐标．
18、（10分）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时），图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修），请根据图像所提供的信息，解决如下问题：
（1）求乙车所行路程y与时间x的函数关系式；
（2）求两车在途中第二次相遇时，它们距出发地的路程；
（3）乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？（写出解题过程）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一次函数y=kx+2（k≠0）的图象与x轴交于点A（n，0），当n＞0时，k的取值范围是_____．
20、（4分）某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯顶端距离地面AO=12，梯子底端离墙角的距离BO=5m．亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，请问这个定值是 _______．
21、（4分）分解因式xy2+4xy+4x＝_____．
22、（4分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2），则B5的坐标是_____________ 。
23、（4分）计算： =______________
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知求代数式：x＝2+，y＝2-．
（1）求代数式x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
25、（10分）如图，在中，按如下步骤作图：
①以点A为圆心，AB长为半径画弧；
②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD、CD；
（1）求证：；
（2）当时，猜想四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论；
（3）当，，现将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
26、（12分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
（1）证明：BE=CF．
（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
当m＞0，n＞0时，y=mx+n经过一、二、三象限，y=nx经过一、三象限；
当m＞0，n＜0时，y=mx+n经过一、三、四象限，y=nx经过二、四象限；
当m＜0，n＞0时，y=mx+n经过一、二、四象限，y=nx经过一、三象限；
当m＜0，n＜0时，y=mx+n经过二、三、四象限，y=nx经过二、四象限.
综上，A,B,C错误，D正确
故选D.
考点：一次函数的图象
2、B
【解析】
先用每组的组中值表示这组的使用寿命，然后根据加权平均数的定义计算．
【详解】
根据题意得：（800×30+1200×30+1600×40）
=×124000
=1240（h）．
则这批灯泡的平均使用寿命是1240h．
故选B．
本题考查了加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则（x1w1+x2w2+…+xnwn）÷（w1+w2+…+wn）叫做这n个数的加权平均数．
3、D
【解析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【详解】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
4、D
【解析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、12+22≠22，不能构成直角三角形；
B、72+122≠132，不能构成直角三角形；
C、52+82≠102，不能构成直角三角形；
D、，能构成直角三角形．
故选：D．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
5、A
【解析】
.故选A.
6、B
【解析】
解：命题①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，错误，为假命题；
命题②两点之间，线段最短，正确，为真命题；
命题③相等的角是对顶角，错误，为假命题；
命题④直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题；
命题⑤同角或等角的补角相等，正确，为真命题，
故答案选B．
考点：命题与定理．
7、C
【解析】
在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝1，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝2，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝1．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝2．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝2，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+22，
解得：a＝3，
∴8﹣a＝3．
故选：C．
本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
8、D
【解析】
根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数，即可求出答案．
【详解】
解：在这组数据50、45、36、48、50中，
50出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数是50，
故选D．
考查了众数，掌握众数的定义是本题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
【详解】
解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵BC＝AD＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝．
故答案为：1．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．
10、1
【解析】
分析：首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出，构建方程求出x即可解决问题；
详解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，
∵∠BAC=45°，
∴AE=EB，
∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBE，
∴△AEF≌△BEC，
∴AF=BC=10，设DF=x．
∵△ADC∽△BDF，
∴，
∴，
整理得x2+10x﹣24=0，
解得x=2或﹣12（舍弃），
∴AD=AF+DF=12，
∴S△ABC=•BC•AD=×10×12=1．
故答案为1．
点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
11、10
【解析】
由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小.
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE.
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE==10，
故PB+PE的最小值是10.
故答案为10.
12、
【解析】
根据菱形的性质，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，代入数值计算即可。
【详解】
解：菱形ABCD的面积=
=
=
本题考查了菱形的性质：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。
13、10
【解析】
当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离的最大，则△ABC是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离最大．
则OA=AB=10．
故答案是：10．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（1）；（3）答案见解析.
【解析】
（1）当△BEF是等边三角形时，有∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，则可解Rt△ABE，求得BF即BE的长．
（1）作EG⊥BF，垂足为点G，则四边形AEGB是矩形，在Rt△EGF中，由勾股定理知，EF1=（BF-BG）1+EG1．即y1=（y-x）1+111．故可求得y与x的关系．
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处，应有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F=AB=11，有FA′=EF-A′E=y-x=11，故可由（1）得到的y与x的关系式建立方程组求得AE的值．
【详解】
解：（1）当是等边三角形时，，
∵，
∴，
∴；
（1）作，垂足为点，
根据题意，得，，.
∴.
∴所求的函数解析式为；
（3）∵，
∴点落在上，
∴，，
∴要使成为等腰三角形，必须使.
而，，
∴，由（1）关系式可得：，
整理得，
解得，
经检验：都原方程的根，
但不符合题意，舍去，
所以当时，为等要三角形.
本题利用了等边三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理求解．
15、（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）
【解析】
（1）①首先证明△ABA1是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题．
②首先证明△OCD1≌△OBA（AAS），推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．
（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题．
【详解】
（1）证明：①如图1中，
∵∠BAC＝60°，BA＝BA1，
∴△ABA1是等边三角形，
∴∠AA1B＝60°，
∵∠A1BD1＝60°，
∴∠AA1B＝∠A1BD1，
∴AC∥BD1，
∵AC＝BD1，
∴四边形ABD1C是平行四边形．
②如图2中，连接BD1．
∵四边形ABD1C是平行四边形，
∴CD1∥AB，CD1＝AB，
∠OCD1＝∠ABO，
∵∠COD1＝∠AOB，
∴△OCD1≌△OBA（AAS），
∴OC＝OB，
∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，
∴△DCO≌△ABO（SAS），
∴DO＝OA．
（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．
在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝2．AB＝3，
∴CA1＝＝4，
∵•A1C•A1B＝•BC•A1F，
∴A1F＝，
∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，
∴四边形A1EBF是矩形，
∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝，
∴AE＝3﹣＝，
在Rt△AA1E中，AA1＝＝．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
16、3或
【解析】
分析：先把右边的项移到左边，，根据完全平方公式变形为,根据算术平方根的非负性和偶次方的非负性列方程求出a、b的值，然后分两种情况利用勾股定理求第三边的长.
详解：由=8b-b2-16，
得-8b+b2+16=0，
得+(b-4)2=0.
又∵≥0，且(b-4)2≥0，
∴a-5=0，b-4=0，
∴a=5，b=4，
当a、b为直角边时，
第三边=；
当a为斜边时，
第三边=；
点睛：本题考查了算术平方根的非负性，偶次方的非负性，完全平方公式，勾股定理及分类讨论的数学思想. 分两种情况求解是正确解答本题的关键.
17、（1）S=-4x+40 （0＜x＜10）；（2）（，）；（3）P（7，3）
【解析】
（1）根据△OAP的面积=OA×y÷2列出函数解析式，及点P（x，y）在第一象限内求出自变量的取值范围．
（2）根据S=-4x+40画出函数图像，并与正比例函数S=2x联立方程组，即可求出交点坐标.
（3）将S=12代入（1）求出的解析式中即可.
【详解】
解：（1）依题意有S=×8×（10-x）=-4x+40，
∵点P（x，y）在第一象限内，
∴x＞0，y=10-x＞0，
解得：0＜x＜10，
故关于x的函数解析式为：S=-4x+40 （0＜x＜10）；
（2）∵解析式为S=-4x+40（0＜x＜10）；
∴函数图象经过点（10，0）（0，40）（但不包括这两点的线段）．
所画图象如下：
令，
解得，
所以交点坐标为（，）；
（3）将S=12代入S=-4x+40，
得：12=-4x+40，
解得：x=7，
故点P（7，3）.
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
18、（1）y=1x﹣120；（2）两车在途中第二次相遇时它们距出发地的路程为240千米；
（3）乙车出发1小时，两车在途中第一次相遇．
【解析】
分析：（1）由图可看出，乙车所行路程y与时间x的成一次函数，使用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）由图可得：交点F表示第二次相遇，F点横坐标为6，代入（1）中的函数即可求得距出发地的路程；
（3）交点P表示第一次相遇，即甲车故障停车检修时相遇，点P的横坐标表示时间，纵坐标表示离出发地的距离，要求时间，则需要把点P的纵坐标先求出；从图中看出，点P的纵坐标与点B的纵坐标相等，而点B在线段BC上，BC对应的函数关系可通过待定系数法求解，点B的横坐标已知，则纵坐标可求．
详解：（1）设乙车所行使路程y与时间x的函数关系式为y=k1x+b1，把（2，0）和（10，480）代入，得：，
解得：，
故y与x的函数关系式为y=1x﹣120；
（2）由图可得：交点F表示第二次相遇，F点的横坐标为6，此时y=1×6=120=240，则F点坐标为（6，240），故两车在途中第二次相遇时它们距出发地的路程为240千米；
（3）设线段BC对应的函数关系式为y=k2x+b2，把（6，240）、（8，480）代入，得：
，
解得：，
故y与x的函数关系式为y=120x﹣480，则当x=4.5时，y=120×4.5﹣480=1．
可得：点B的纵坐标为1．
∵AB表示因故停车检修，∴交点P的纵坐标为1，把y=1代入y=1x﹣120中，有1=1x﹣120，解得x=3，则交点P的坐标为（3，1）．
∵交点P表示第一次相遇，∴乙车出发3﹣2=1小时，两车在途中第一次相遇．
点睛：本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，对学生能力要求比较高．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、k＜1
【解析】
分析：根据题意可以用含k的式子表示n，从而可以得出k的取值范围.
详解：∵一次函数y=kx+2（k≠1）的图象与x轴交于点A（n，1），
∴n=﹣，
∴当n＞1时，﹣＞1，
解得，k＜1，
故答案为k＜1．
点睛：本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.
20、
【解析】
根据勾股定理求出AB的长度，然后由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．
【详解】
解：在Rt△ABO中，AO=12，BO=5，
∴，
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴AB上的中点到墙角O的距离总是定值，
此定值为.
故答案为：.
本题考查了勾股定理的应用，以及斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是在直角三角形中弄清直角边和斜边．
21、x（y+2）2
【解析】
原式先提取x，再利用完全平方公式分解即可。
【详解】
解：原式=，故答案为：x（y+2）2
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
22、（31,16）
【解析】
首先由B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），可得正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，即可求得A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），然后又待定系数法求得直线A1A2的解析式，由解析式即可求得点A3的坐标，继而可得点B3的坐标，观察可得规律Bn的坐标是（2n-1，2n-1）．
【详解】
∵B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2)
∴正方形A1B1C1O1边长为1,正方形A2B2C2C1边长为2
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2）
设直线A1A2的解析式为：y=kx+b
∴
解得：
∴直线A1A2的解析式是：y=x+1
∵点B2的坐标为(3,2)
∴点A3的坐标为(3,4)
∴点B3的坐标为(7,4)
∴Bn的横坐标是：2n-1,纵坐标是：2n−1
∴Bn的坐标是(2n−1,2n−1)
故点B5的坐标为(31,16).
此题考查了待定系数法求解一次函数的解析式以及正方形的性质，在解题中注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
23、2
【解析】
先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：原式=．
故答案为：2．
本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并是关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）18；（2）1.
【解析】
（1）求出x+y，xy的值，利用整体的思想解决问题；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.
解：（1）∵x=，y=，
∴x+y=4，xy=4-2=2
∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy
=16+2
=18
（2）S菱形=xy==（4-2） =1
“点睛”本题考查菱形的性质，二次根式的加减乘除运算法则等知识，解题的关键是学会整体的思想进行化简计算，属于中考常考题型.
25、（1）证明见解析（2）四边形ABCD是菱形（3）
【解析】
（1）依据条件证即可；
（2）依据四条边都相等的四边形是菱形判定即可；
（3）割补后，图形的面积不变，故正方形的面积就等于菱形的面积，求出菱形面积即可得正方形的边长.
【详解】
（1）证明：在和中，，
，
；
（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
，，，
，
四边形ABCD是菱形；
（3）解：，，
，
四边形ABCD的面积，
拼成的正方形的边长.
本题主要考查了三角形的全等的证明、菱形的判定、正方形的性质，正确理解作图步骤获取有用条件是解题的关键.
26、 (1)见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；
（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.
试题解析：（1）证明：连接AC，
∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC、△ACD为等边三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF．（ASA）
∴BE=CF．
（2）解：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF．
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，
是定值．
作AH⊥BC于H点，
则BH=2，
S四边形AECF=S△ABC
=
=
=；
（3）解：由“垂线段最短”可知，
当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，
正三角形AEF的面积会最小，
又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．
由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF
=﹣=．
点睛：本题考查了菱形每一条对角线平分一组对角的性质，考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形面积的计算，本题中求证△ABE≌△ACF是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
使用寿命x/小时
600≤x≤1000
1000≤x≤1400
1400≤x≤1800
灯泡数/个
30
30
40