【高考数学】专题：不等式中最值问题全梳理（学案）

这是一份【高考数学】专题：不等式中最值问题全梳理（学案），共19页。学案主要包含了题型梳理，基本不等式与圆相结合的最值问题等内容，欢迎下载使用。
模块一 题型梳理
题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题
若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.
【解析】因为两个不等的实根是和，不妨令，
故可得，解得，则=，故选：C.
【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.
的最小值为（ ）
A．2B．16C．8D．12
【分析】利用将变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.
【解析】∵，∴
，当且仅当，时“=”成立，故的最小值为16.
【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.
已知函数y＝lga x＋1(a>0且a≠1)图象恒过定点A，若点A在直线eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)－4＝0(m>0，n>0)上，则
m＋n的最小值为________．
【解析】由题意可知函数y＝lga x＋1的图象恒过定点A(1,1)，∵点A在直线eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)－4＝0上，∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝eq \f(1,4)(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(n,m)·\f(m,n))))＝1，当且仅当m＝n＝eq \f(1,2)时等号成立，∴m＋n的最小值为1.
题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题
已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（ ）
A．3B．1C．2D．
【分析】画出可行域，根据目标函数最大值求关系式，再利用不等式求得最小值.
【解析】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.
，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：D
【小结】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
题型三 基本不等式与数列相结合的最值问题
已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为B．最小值为4C．最小值为D．最大值为4或
【分析】根据等差数列的通项公式可用表示出.由数列单调递增可得.用表示出,结合基本不等式即可求得最值.
【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得
因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知
，由,结合基本不等式可得
，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
【小结】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用,基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.
已知a，b均为正数，且2是2a，b的等差中项，则eq \f(1,ab)的最小值为________．
【解析】由于2是2a，b的等差中项，故2a＋b＝4，又a，b均为正数，故2ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a＋b,2)))2＝4，
当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取等号，所以eq \f(1,ab)的最小值为eq \f(1,2).
题型四 基本不等式与向量相结合的最值问题
如图所示,已知点是的重心,过点作直线分别交，两边于，两点，且，，则的最小值为______.
【分析】根据重心的性质有,再表达成的关系式,再根据,,三点共线可得系数和为1,再利用基本不等式求解即可.
【解析】根据条件：,,又,.
又,,三点共线,.,,.
的最小值为,当且仅当时“”成立.故答案为：.
【小结】本题主要考查了基底向量与向量的共线定理性质运用,同时也考查了基本不等式应用,属于中等题型.
题型五 基本不等式与圆锥曲线相结合的最值问题
在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．
【解析】（Ⅰ）设，由已知得，．所以=， =(0，)，
=(，-2).再由题意可知（+）• =0， 即（，）• (，－2)=0．
所以曲线C的方程式为．
（Ⅱ）设为曲线C：上一点，因为，所以的斜率为，
因此直线的方程为，即．
则点到的距离．又，所以
当=0时取等号，所以点到距离的最小值为2．
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O： 相交于不同的两点，且面积最大？若存在，求出点坐标及相对应的面积；若不存在，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由，所以，设是椭圆上任意一点，
则，∴，
所以，当时，有最大值，可得，所以
故椭圆的方程为：
（Ⅱ）存在点满足要求，使得面积最大．假设直线与圆
相交于不同两点,则圆心到的距离，∴ ①
因为在椭圆上，所以 ②，由①②得：
∵所以，
由②得代入上式得，
当且仅当，∴，此时满足要求的点有四个．
此时对应的的面积为．
题型六 基本不等式与圆相结合的最值问题
设，，若直线与圆相切，则取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离
，所以，设，则，解得
.
题型七 基本不等式与不等式恒成立结合的最值问题
当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.
【解析】当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立
即等价于；而因为，故,当且仅当时取得最大值.故：。
【小结】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.
已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．16D．20
【分析】可左右同乘，再结合基本不等式求解即可
【解析】，， ，当且仅当时，等号成立，故。
【小结】本题考查基本不等式求最值，属于基础题
题型八 基本不等式与立体几何相结合的最值问题
如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是m，2，n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三棱锥的体积关系可得,根据三棱锥与长方体共外接球,长方体的对角线就是外接球的直径可得,根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.
【解析】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为,所以,所以,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线,设外接球的半径为,所以,
所以,当且仅当时,等号成立,，所以,所以该三棱锥外接球体积为.故选:C
【小结】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式,长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.
题型九 基本不等式与解三角形相结合的最值问题
在中，内角的对边另别是，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知可得，结合余弦定理，求出用表示，用基本不等式求出的最小值，即可求解.
【解析】,由正弦定理得，
由余弦定理得，，
，当且仅当时，等号成立，，
所以的最大值为.
【小结】本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.
的内角所对的边分别为．
（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）若成等差数列，证明：；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）成等差数列，，由正弦定理得
，
（2）成等比数列，，由余弦定理得
（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立），即，所以的最小值为
模块二 真题赏析
【2019年高考天津卷文数】设，则的最小值为__________.
【解析】.因为，
所以，即，当且仅当时取等号成立.
又因为所以的最小值为.
【小结】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A．B． C．D．
【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则
，当，即时取等号，
∴，则.当时，，即恒成立，令，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，则时，取得最小值，∴，综上可知，的取值范围是.
【小结】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.
(2018全国卷Ⅰ)已知函数，则的最小值是_____．
【解析】因为，
所以
，当且仅当，
即时取等号，所以，所以的最小值为．
(2018天津)已知，且，则的最小值为 ．
【解析】由，得，所以，
当且仅当，即时等号成立．
（2017新课标Ⅰ）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
【解析】由已知垂直于轴是不符合题意，所以的斜率存在设为，的斜率为，由题意有设，，，，此时直线方程为，
取方程，得，∴
同理得，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取得等号．
（2017天津）若，，则的最小值为___________．
【解析】，当且仅当，且，即时取等号．
（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是 ．
【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．
（2017浙江）已知，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是 ．
【解析】∵，∴
①当时，，
所以的最大值，即（舍去）
②当时，，此时命题成立．
③当时，，则
或，解得或，
综上可得，实数的取值范围是．
模块三 模拟题汇编
1．（2020·武汉市第一中学高三）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，当且仅当时，等号成立，
∴，即的最小值是．
2.（2020陕西高三）设，，若，，，则下列关系式中正确的是
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，又在上单调递增，故，
即，∵，∴．
3．（2020·山西实验中学高三月考）已知函数，若对任意的正数，满足，则的最小值为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【分析】先确定奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得，最后基本不等式求最值.
【解析】因为所以定义域为，因为，所以为减函数因为，,所以为奇函数，因为，所以，即，
所以，因为，所以（当且仅当，时，等号成立），选C.
【小结】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
4.已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1)B．(－∞，2eq \r(2)－1) C．(－1,2eq \r(2)－1)D．(－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1)
【解析】由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1