四川省成都市盐道街中学2024-2025学年高二上学期第一学月月考数学试题

这是一份四川省成都市盐道街中学2024-2025学年高二上学期第一学月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：王寒 审题人：廖洋
一、单选题
1．某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（ ）
A．总体B．个体C．从总体中抽取的一个样本D．样本的容量
2．如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，，其中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，，向量，，，且，，则等于（ ）
A．B．C．3D．4
4．有一组样本数据，，…，，由这组样本得到新样本数据，，…，，其中，则（ ）
A．，，…，的中位数为，则，，…，的中位数为
B．，，…，的平均数为，则，，…，的平均数为
C．，，…，的方差为，则，，…，的方差为
D．，，…，的极差为，则，，…，的极差为
5下列说法正确的是（ ）
A．若，则事件与事件是对立事件
B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大
C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为
D．若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立
6．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（ ）
A．，两个盒子并联后段畅通的概率为
B．，两个盒子串联后段畅通的概率为
C．，，三个盒子混联后段畅通的概率为
D．当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率
8．如图，在四面体中，，，，若，且平面，则实数（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法正确的是（ ）
A．丁险种参保人数超过五成B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成
C．18—29周岁人群参保的总费用最少D．人均参保费用不超过5000元
10．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5
C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数
D．甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3
11．如图，在长方体中，点是底面内（含边界）的动点，，，，分别为，，，中点，若，，则下列说法正确的是（ ）
A最大值为1
B．四棱锥的体积和表面积均不变
C．若面，则点轨迹的长为
D．在棱上存在一点，使得面面
三、填空题
12．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为______．
13．某商场在国庆节搞大促销活动，活动规则是：满101元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为______．
14．如图，几何体是以正方形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点是圆弧的中点，点是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：
①不存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面；
③不存在点，使得点到平面的距离大于；
④存在点，使得直线与平而所成角的正弦值为．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题
15．（13分）如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值．
16．（15分）某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求，的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
18．（17分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为（），收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为（），收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）．
（1）已知，．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．
19．（17分）个有次序的实数，，…，所组成的有序数组（，，…，）称为一个维向量，其中（）称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若（），称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
（2）证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
成都市盐道街中学高2023级2024—2025学年度上期
第一学月月考数学答案
一、二选择题
三、填空题
12． 13． 14．②③④
四、解答题
15．解：（1）由题意可知：点是的中点，则，
所以
．
（2）设，，，
则，，，，，
．
所以．
又因为，所以，．
所以．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
16．解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以．
（2）平均数为，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以60%分位数在第三组，且为．
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，
则第四组抽4人，记为，，，，第五组抽1人，记为，
则从这5人中选出2人，有，，，，，，，，，共10种结果，
两人来自不同组有，，，共4种结果，
所以两人来自不同组的概率为．
17．解：（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面；
（2）如图，以向量，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，，
设平面的法向量，则，
令得，，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
（3）由（2）知，，，，
，，（），
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，解得或，
故当时，；当时，
则的长为或．
18．解：（1）①记事件为“至少收到一次0”，则．
②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则．
记事件为“三次收到的数字之和为2”，
则．
因为，
所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则．
记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则．
根据题意可得，即，
因为，所以，
解得，故的取值范围为．
19．解：（1）两两垂直的4维信号向量可以为：，，，．
（2）假设存在10个两两垂直的10维信号向量，，…，
因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，，
因为，所以有5个分量为，
设的前5个分量中有个，则后5个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在10个两两垂直的10维信号向量．
（3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到，
则，
设，，…，的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
令，所以，所以．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
B
C
B
D
A
D
D
ACD
AB
ACD