2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一上学期第一次质量调研数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一上学期第一次质量调研数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“∀x>0，x2+x+1>0”的否定是( )
A. ∀x>0，x2+x+1≤0B. ∀x≤0，x2+x+1≤0
C. ∃x>0，x2+x+1≤0D. ∃x≤0，x2+x+1≤0
2.已知R为实数集，集合A=xx2−4x+3>0，B=x−123
C. a−b+c>0D. 不等式cx2+bx+a0，y>0，且x+2y=4，则( )
A. xy的最大值为4B. 2x+4y的最小值为8
C. 4x+8y的最小值为9D. x2+yxy的最小值为 2+14
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当x>−1时，函数y=x+4x+1的最小值为 ．
13.已知集合x , y的所有非空子集的所有元素之和为10，则x+y= ．
14.已知二次函数y=x2−4x+m的两个零点都在区间[1,+∞)上，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知x−x−1=2 3(x>0)，求下列各式的值：
(1)x2−x−2x2+x−2；
(2)x+x−1x12+x−12 ．
16.(本小题12分)
已知二次函数y=x2−2m−1x+m2−2m−3 ，其中m为实数．
(1)求证：对任意实数m，该二次函数有两个零点；
(2)设该二次函数在0 , +∞上有两个零点为x1，x2，且1x1+1x2=23，求此二次函数的解析式．
17.(本小题12分)
已知集合A=x3x+1>1，集合B=xx2−3x−m2+3mAD)，现将△ABC沿AC折叠到△AB′C，设AB′与CD交于点E，设AB=x．
(1)求证：△B′EC的周长为4；
(2)试用x表示B′E的长，并求x的取值范围；
(3)当x为何值时，△B′EC的面积S取得最大值，并求出该最大值．
19.(本小题12分)
已知集合A=xx2−2x0”的否定是“∃x>0,x2+x+1⩽0”.
故选C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查补集、交集的定义，属于基础题．
根据已知条件，结合补集、交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A=xx2−4x+3>0={x|x3}，B={x|−10，所以a2>ab>b2>0⇒a> ab>b，故D错误．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式的恒成立问题，属于基础题．
求出不等式恒成立的等价条件，即可得出结果．
【解答】
解：关于的不等式ax2−2ax+1≥0对恒成立，
a=0时，不等式为1⩾0，恒成立，
a≠0时，则a>0Δ=4a2−4a⩽0，解得：01 ”是“关于的不等式对恒成立”的既不充分也不必要条件；
选项，“0≤a≤1”是“关于的不等式对恒成立”的充要条件；
C选项，“”是“关于的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
D选项，“a1”是“关于的不等式对恒成立”的既不充分也不必要条件．
故选C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的新定义问题，属于中档题．
结合新定义A和B的笛卡儿积，依次判断选项即可．
【解答】
解：对于A项，若A=1 , 2，B=2 , 3，则A×B={(1,2),(1,3),2,2,(2,3)}，故A项错误;
对于B项，若A={0,1,2}，B=2 , 3，则A×B={0,2,0,3(1,2),(1,3),2,2,(2,3)}，
故集合A，B的元素个数分别为m=3，n=2，而A×B的元素个数为6个，故B项错误;
对于C项，根据题意，若A={1}，B={1,2}，
则A×B={(1,1)，(1,2)}，B×A={(1,1)，(2,1)}，则A×B≠B×A，故C项错误;
对于D项，任取元素(x,y)∈A×(B∩C)，则x∈A且y∈B∩C，则y∈B且y∈C，
于是(x,y)∈A×B且(x,y)∈A×C，
即(x,y)∈(A×B)∩(A×C)，
反之若任取元素(x,y)∈(A×B)∩(A×C)，则(x,y)∈A×B且(x,y)∈A×C，
因此x∈A，y∈B且y∈C，即x∈A且y∈B∩C，
所以(x,y)∈A×(B∩C)，即A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)，故D正确．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，．
先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，(∁RA)∪B，A∩(∁RB)，由此能求出结果．
【解答】解：因为A={x|−10}，∁RB={x|x0}，
所以A∩B=A，A∪B=B，(∁RA)∪B=R，A∩(∁RB)=⌀，
故选ACD．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用一元二次不等式的解集求参数，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于中档题.
由题意可知a>0，1,2是方程ax2+bx+c=0，从而可求出a,b,c的关系，然后逐个分析判断.
【解答】
​​​​​​​解：因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(−∞,1)∪(2,+∞),
所以a>0，1,2是方程ax2+bx+c=0的两根，
{1+2=−ba1×2=ca，则{b=−3a0，所以 A正确，
对于B，由bx+c>0，得−3ax+2a>0，
因为a>0，所以x0的解集为{x|x0，{b=−3ac=2a，所以a−b+c=a−(−3a)+2a=6a>0，所以C正确，
对于D，不等式cx2+bx+a−1，∴x+1>0，
∴y=x+4x+1=x+1+4x+1−1
≥2 (x+1)×4x+1−1=3
当且仅当x+1=4x+1即x=1时取等号，
故答案为：3．
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查子集问题，属于基础题．
写出所有非空子集，由所有非空子集的所有元素之和为10即可求解．
【解答】
解：由题意，集合{x,y}的所有非空子集为{x}，{y}，{x,y}，
则所有非空子集的所有元素之和为2x+2y=2(x+y)=10，解得x+y= 5．
14.【答案】[3,4)
【解析】【分析】
本题考查函数零点，二次方程根的分布，属于中档题．
根据二次函数的图象和零点所在区间列不等式组求出m的范围．
【解答】
解：若二次函数y=fx=x2−4x+m的两个零点都在区间[1,+∞)上，
则f1⩾0f20，所以x+x−1=4.所以x2−x−2x2+x−2=(x+x−1)(x−x−1)x2+x−2=4×2 314=47 3．
(2)因为(x12+x−12)2=x+2+x−1=4+2=6，
显然x12+x−12>0，
故x12+x−12= 6．
所以x+x−1x12+x−12=4 6=23 6．
【解析】本题考查有理指数幂的计算，属简单题．
(1)根据已知条件，求得x2+x−2与x+x−1，即可求解；
(2)求得x12+x−12，即可求解．
16.【答案】解：(1)考察一元二次方程x2−2(m−1)x+m2−2m−3=0的根，
因为对任意实数m，
△=[−2(m−1)]2−4(m2−2m−3)=16>0，
所以方程x2−2(m−1)x+m2−2m−3=0有两个不同的实数根，
即二次函数y=x2−2(m−1)x+m2−2m−3有两个零点．
(2)依题意，y=x2−2(m−1)x+m2−2m−3在(0,+∞)上有两个零点x1，x2，
所以m−1>0,m2−2m−3>0,解得m>3．
且x1，x2是方程x2−2(m−1)x+m2−2m−3=0的两个不相等的正根，
所以x1+x2=2(m−1),x1x2=m2−2m−3.因为1x1+1x2=23，
即x1+x2x1x2=23，
所以2(m−1)m2−2m−3=23，解得m=0或5，
因为m>3，所以m=5．
所以二次函数的解析式为y=x2−8x+12．
【解析】本题主要考查二次函数零点与一元二次方程解的关系，属于中档题．
(1)根据二次函数，需要把问题转化为求方程的判别式的符号；
(2)已知这个二次函数有两个零点x1，x2，相当于已知此方程两根为x1，x2.可运用根与系数的关系求解m的值求解．
17.【答案】解：(1)据不等式3x+1>1，得3x+1−1>0，即2−xx+1>0，
所以(2−x)(x+1)>0，故−1