江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研数学试题

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一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|y＝lg(x－2)}，B＝{x|x2－4x＜0}，则(CRA)∩B＝
A．(－∞，2] B．(0，2] C．(2，4) D．[2，＋∞)
2．已知i为虚数单位，复数z满足z(2＋i)＝3＋4i，记eq \\ac(\S\UP7(―),z)为z的共轭复数，则|eq \\ac(\S\UP7(―),z)|＝
A．EQ \R(,5) B．EQ \F(5\R(,5),3) C．EQ \F(\R(,29),3) D．EQ \F(\R(,29),5)
3．已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式可能是
A．y＝xcs(x＋π) B．y＝EQ \F(1－csx,e\S(x))
C．y＝sinx－xex D．y＝sinx－xcsx
4．在平面直角坐标系xOy中，已知平面向量EQ \\ac(\S\UP7(→),a)，EQ \\ac(\S\UP7(→),b)满足EQ \\ac(\S\UP7(→),a)＝(1，EQ \R(,3))，|EQ \\ac(\S\UP7(→),a)＋EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|＝4，则|EQ \\ac(\S\UP7(→),b)|的取值范围是
A．[2EQ \R(,3)，6] B．[2，2EQ \R(,3)] C．[2，6] D．[1，2EQ \R(,3)]
5．已知关于x的不等式x2＋2bx＋4＜0的解集为(m，EQ \F(4,m))，其中m＜0，则EQ \F(b,4a)＋EQ \F(4,b)的最小值为
A．－2 B．1 C．2 D．8
6．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数
A．86种 B．64种 C．42种 D．30种
7．设x，y，z∈R，已知eq \f(lnx,x)＝\f(y,e\s\up6(y))＝\f(lnz,e\s\up6(z))，若0＜x＜1，则
A．x＞y＞z B．z＞x＞y C．x＞z＞y D．y＞z＞x
8．由倍角公式eq cs2x＝2cs\s\up6(2)x－1，可知cs2x可以表示为csx的二次多项式，对于cs3x，我们有cs3x＝cs(2x＋x)＝cs2eq xcsx－sin2xsinx＝(2cs\s\up6(2)x－1)csx－2sinxcsxsinx＝4cs3x－3csx，可见cs3x也可以表示为csx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式eq P\s\d(n)(t)，使得csnx＝Pn(csx)，这些多项式eq P\s\d(n)(t)称为切比雪夫()多项式．(提示：18°×3＝90°－18°×2)
如图，在等腰△ABC中，已知AB＝54°，AB＝AC，且△ABC的外接圆半径OC＝1，结合上述知识，可得BC＝
A．eq \f(\r(,5)＋1,2) B．eq \f(\r(,5)－1,2)
C．eq \f(\r(,5)＋1,4) D．eq \f(\r(,5)－1,4)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是
A．φ＝－eq \f(π,3)
B．eq f(x－\f(π,6))＝f(－x)
C．函数g(x)为奇函数
D．函数g(x)在区间(eq \f(π,3)，eq \f(3π,4))上单调递减
10．已知(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021x2021，则
A．展开式中所有项的系数和为－1 B．展开式中二项系数最大项为第1010项
C．EQ \F(a\S\DO(1),2)＋EQ \F(a\S\DO(2),2\S(2))＋EQ \F(a\S\DO(3),2\S(3))＋…＋EQ \F(a\S\DO(2021),2\S(2021))＝－1 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2021a2021＝2021
11．若实数x，y满足x＞y＞0，则使得x－y＜1成立的一个充分不必要条件是
A．x＋y＜1 B．lg2x－lg2y＜1
C．sinx－siny＜1 D．4x－24y＜0
12．观察如下数阵：
第1行 1 2
第2行 1 3 2
第3行 1 4 3 5 2
第4行 1 5 4 7 3 8 5 7 2
… …
第n行 1 x1 x2 … … … … … … … xk 2
该数阵特点：在第n行每相邻两数之间都插入它们的和得到第n＋1行的数，n∈N*．设第n行数的个数为an，第n行的所有数之和为Sn，则
A．eq a\s\d(n＋1)＝2a\s\d(n)－1 B．eq S\s\d(n＋1)＝3s\s\d(n)－3
C．eq S\s\d(n)＝3[(n－1)\s\up6(2)＋1] D．eq k＝2\s\up6(n－1)－1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知角θ的终边与直线x＋2y＋1＝0垂直，eq sin(\f(π,2)＋2θ)的值为 ．
14．写出满足条件“函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一个函数f(x)＝ ．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：eq \f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为eq F\s\d(1)，F\s\d(2)，过eq F\s\d(1)且与圆O：eq x\s\up6(2)＋y\s\up6(2)＝a\s\up6(2)相切的直线与双曲线C的一条渐近线相交于点M(点M在第一象限)，若eq MF\s\d(1)⊥MF\s\d(2)，则双曲线C的离心率e＝ ．
16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A，B，C的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A，B，C招生考试的概率分别为x，y，eq \f(1,2)，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为eq \f(5,18)，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为 ；该同学恰好通过A，B两所大学招生考试的概率最大值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分10分)
为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月－5月获得“运动达人”称号的统计数据：
(1)由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程ŷ＝x＋，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数；
(2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
请补充上表中的数据(直接写出m，n的值)，并根据上表判断是否有95%的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关?
参考公式：＝，＝eq \\ac(\S\UP7(―),y)－eq \\ac(\S\UP7(―),x)，
K2＝eq \f(n(ad－bc)\s\up6(2),(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))(其中n＝a＋b＋c＋d)．
18．(本题满分12分)
已知各项均为正数的数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列．
(1)求证：数列eq {\r(,b\s\d(n))}为等差数列；
(2)记eq c\s\d(n)＝\f(1,a\s\d(n))＋\f(1,a\s\d(n＋1))，记eq {c\s\d(n)}的前n项和为Sn，若ak＞eq \f(5,4)，求正整数k的最小值．
19．(本题满分12分)
如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，sin2C＝sinB，且D为BC的中点，点E满足eq \\ac(\S\UP7(→),AE)＝\f(1,3)\\ac(\S\UP7(→),AB)＋\f(2,3)\\ac(\S\UP7(→),AC)．
(1)求a的值；
(2)求cs∠DAE的值．
20．(本题满分12分)
为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自高一年级3人，高二年级4人，高三年级5人．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以3：0或3：1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以3：2获胜的队员积2分，落败的队员积1分．
(1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率是多少?
(2)已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜的概率均为eq \f(2,3)．记这轮比赛甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望E(X)．
21．(本题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1的左，右顶点和右焦点分别为A，B和F，直线l：x＝my＋t与椭圆C交于不同的两点M，N，记直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．
(1)求证：k1k2为定值；
(2)若k1＝3k3，求△FMN的周长．
22．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝lnx－ax＋1，a∈R．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；
(2)若关于x的不等式eq f(x)＋\f(e\s\up6(x－1),x)＋a－2≥0对任意的实数x≥1恒成立，其中e为自然对
数的底数，求a的取值范围．
月份
1
2
3
4
5
“运动达人”员工数
120
105
100
95
80
运动达人
参与者
合计
男员工
60
m
80
女员工
n
20
60
合计
100
40
140
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635