高一预习-专题强化2《三角函数》全章考点梳理（教师版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

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【考点突破】
一、三角函数式的化简、求值
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：
考点：同角间三角函数关系
2．已知，且，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合已知条件，对两边同时平方求出，然后对平方求值，结合的范围即可求解.
【详解】∵，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即.
故选：B.
3．已知，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用诱导公式化简已知式和求值式，求值式变形有后用二倍角公式计算．
【详解】由题意，
所以，
所以
．
故选：B．
【点睛】本题考查诱导公式与二倍角公式求值．解题关键是对“单角”和“复角”的相对性的理解与应用．本题中用诱导公式化简和用二倍角公式求值，都是把作为一个“单角”进行变形参与运算，而不是作为两个角的和．
4．已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范围和同角三角函数关系可求得和，分别在和两种情况下，利用两角和差正弦公式求得，结合的范围可确定最终结果.
【详解】且，，.
又，，.
当时，
，
，，不合题意，舍去；
当，同理可求得，符合题意.
综上所述：.
故选：.
【点睛】易错点睛：本题中求解时，易忽略的值所确定的的更小的范围，从而误认为的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.
5．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用两角差的正弦和余弦公式可求得的值，利用二倍角公式可得出，在所得代数式上除以，在所得分式的分子和分母中同时除以，代入的值计算即可得解.
【详解】，即，
整理得，，
因此，.
故选：D.
【点睛】易错点点睛：已知，求关于、的齐次式的值，应注意以下两点：
（1）一定是关于、的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；
（2）因为，所以可除以，这样可将被求式化为关于的表达式，然后代入的值，从而完成被求式的求值.
6．已知则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据已知求出，再化简代入得解.
【详解】由得，
故.
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角恒等变换求值常用的方法有：“三看三变”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三变”指的是变角、变名、变式.要根据已知条件，灵活选择方法求解.
7．已知.
(1)若，且，求的值.
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)或；(2).
【分析】（1）利用诱导公式结合化简，再解方程结合即可求解；
（2）结合（1）中将已知条件化简可得，再由同角三角函数基本关系即可求解.
【详解】(1)
.
所以，因为，则，或.
(2)由（1）知：，
所以，
即，所以，
所以，即，
可得或.
因为，则，所以.
所以，故.
8．已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
【详解】（1）解：因为，，
又，所以，
所以.
（2）解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
二、三角函数的图象与性质
1．函数的图象可以看成是将函数的图象（ ）得到的．
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】直接利用函数的图象变换规律，即可得出结论．
【详解】函数，故它的图象可以看成是
将函数的图象向右平移个单位得到的，
故选：B．
2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B．所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
【答案】A
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则，结合诱导公式可得到结果.
【详解】对于A，将横坐标缩短到原来的，可得；再向右平移个单位，可得，A正确；
对于B，将横坐标伸长到原来的倍，可得；再向左平移个单位，可得，B错误；
对于C，将向右平移个单位，可得；再将所有点的横坐标伸长到原来的倍，可得，C错误；
对于D，将向左平移个单位，可得；再将所有点的横坐标缩短到原来的，可得，D错误.
故选：A.
3．函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】根据函数图象得到、的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.
【详解】根据图象可得，周期，因为，所以，，
将代入可得，解得，因为，所以，所以，，因为，所以向左平移个单位长度即可得到的图象.
故选：B.
4．已知函数在区间内是增函数．
(1)求的取值范围；
(2)将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像与将其向右平移个单位长度后所得到的图像重合．求的值．
【答案】(1)；(2)2
【分析】（1）确定，根据单调性得到，解得答案.
（2）根据三角函数的平移法则得到，结合的范围得到答案.
【详解】（1）因为，，则，
已知在区间内是增函数，则，解得．
（2）由已知可得，即，
所以，即，，当且仅当时，，符合．
故．
5．已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
(1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出的解析式；
(2)求方程在区间上所有解的和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；
（2）将代入方程，求得，从而确定方程的实数根，结合题中所给的范围，得到结果.
【详解】（1）函数满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②中的最大值不一样，所以互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一，
由③可知，，所以，故②不合题意，
所以函数满足的条件为①③；
由①可知，所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以x的取值为
所以方程在区间上所有的解的和为.
三、三角恒等变换与三角函数的综合问题
1．已知函数.将周期为的函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图像对应的函数为.
(1)求的单调区间；
(2)求图像的对称轴方程和对称中心坐标.
【分析】（1）先求得函数解析式，进而得到函数解析式，利用代入法去求的单调区间；
（2）利用代入法去求的图像的对称轴方程和对称中心坐标.
【详解】（1）
则
由函数周期为，可得，解之得
当时，
由，可得
则的单调增区间为
由，可得
则的单调减区间为
当时，
由，可得
则的单调增区间为
由，可得
则的单调减区间为
（2）当时，
由，可得
则的对称轴方程为
由，可得
则的对称中心为，
当时，
由，可得
则的对称轴方程为
由，可得
则的对称中心为，
2．已知函数的相邻两对称轴间的距离为，
(1)求的解析式；
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域；
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简即可求解;
（2）根据函数图像的平移和缩放公式得到，再利用整体法分析函数值域即可求解.
【详解】（1）函数，整理得：，由于相邻两对称轴间的距离为，故函数的最小正周期为π，故．
所以．
（2）函数的图像向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，
由于，故；
所以．
3．已知．
(1)求的单调递增区间；
(2)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再结合三角函数性质求解，
（2）转化为与图象有两个交点，数形结合求解，
【详解】（1），
由得，，
故的单调递增区间为
（2）令，当时，，
作函数的图象，
数形结合可得，当或时，与有两个交点，
即有两解，
综上，当函数在区间上恰有两个零点时，
的取值范围为
【随堂演练】
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系式和诱导公式对所求式子进行化简，然后根据齐次式进行求值即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】解：由诱导公式可得，所以，.
因此，.
故选：D.
4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
【答案】D
【分析】化简得到，根据图象的平移得到答案.
【详解】.
故向左平移个单位长可以得到的图像.
故选：D.
5．已知函数（其中）图像相邻两条对称轴的距离为，一个对称中心为，为了得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】C
【分析】根据三角函数的性质得，再根据平移变换求解即可.
【详解】解：由题设，所以，
所以，，
因为一个对称中心为，且，
所以，将代入可得，解得,
所以，,
所以，函数的图像向右平移个单位可得到的图像.
故选：C
6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】先将化简为，再根据三角函数的图象平移即可得出答案.
【详解】，所以的图象向左平移个单位得：.
故选：A.
7．若，，且，，则的值是________.
【答案】
【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，即所以.
因为，，所以，
因为，所以.
所以
.
因为，，所以，
所以.
故答案为：.
8．已知csα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cs（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cs（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．
【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cs（α﹣β），
∴cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]＝cs（α﹣β）csα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]＝csα cs（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键.
9．已知函数满足对任意的，都有，且.
(1)求满足条件的最小正数及此时的解析式；
(2)若将问题（1）中的的图象向右平移个单位得到函数的图象，设集合，集合，求.
【答案】(1)正数的最小值为，；(2)
【分析】（1）由可构造方程求得；根据已知关系式可知关于对称，采用整体对应法可求得，由此可得最小正数，进而得到；
（2）根据三角函数平移变换原则可得，利用两角和差正弦公式和辅助角公式可化简得到，根据可求得，结合集合中的范围可求得.
【详解】（1），，又，，
，是的一条对称轴，
，解得：，
当时，正数的最小值为，此时.
（2）由（1）得：；
，
令，则，
当时，，或，解得：或，
.
10．已知函数（其中A>0，，）的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将的图象向右平移2个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．求函数的值域．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由最大值和最小值确定，由周期确定，由最小值点确定值得函数解析式；
（2）由图象变换得出的表达式，由整体思想结合正弦函数性质得值域．
【详解】（1）由图知，，，解得，
即．
由图知，函数的图象过点，∴，
∵，∴，∴．
（2）由题意得，．
∵，∴，∴，
即函数的值域为．
11．已知函数，其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.
(1)求的周期；
(2)当时，求的值域.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题得即得解；
（2）首先求出，再利用不等式的性质和三角函数的图象和性质得解.
【详解】（1）解：由轴上相邻两个交点间的距离为，得，即，
函数的周期为.
（2）解：由函数图象的最低点为，得，
由得.
又点在图象上，得，即，
故，，所以，，
又，所以，所以.
又，所以，
所以.
所以的值域为.
12．已知函数，，且．
(1)求a的值及函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值．
【答案】(1)a＝0，，
(2)最小值－1，最大值2
【分析】（1）化简函数解析式，由条件列方程求a的值，结合正弦函数的单调性结论求函数的单调区间.
（2）结合不等式的性质及正弦函数性质求函数在区间上的最小值和最大值.
【详解】（1）因为，
所以，
，
，
由知1＋a＝1，则a＝0，所以．
令，，则，，
则函数的单调递增区间为，．
（2）由（1）知，，则，
当，即x＝0时，函数有最小值－1；
当，即时，函数有最大值2．
13．已知函数，且函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为．
(1)求的值和函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)；，
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，再由题设条件得到，从而求得，再利用正弦函数的单调性及整体代入法求得的单调递增区间；
（2）先由得到，再结合正弦函数的性质即可求得，从而得到的值域．
【详解】（1）因为，
因为函数的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，
所以，即，则，即，又，故，
所以，
令，，得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
故，则，即，
所以函数的值域为．
14．已知函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调区间；
(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，若在上至少含有10个零点，求b的最小值.
【答案】(1)单调增区间是；单调减区间是，．(2)
【分析】（1）由三角函数的恒等变换化简函数解析式，利用周期公式可求，整体代入法可解得函数的单调增区间．
（2）根据三角函数平移变换的规律，求出的解析式和周期以及零点，根据在上至少含有10个零点，结合三角函数零点可得范围．求出的最小值．．
【详解】（1），
由最小正周期为，得，所以，
由，整理得，
所以函数的单调增区间是．
令，整理得，
所以函数的单调减区间是，．
（2）将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图像，．
令，得或，
在，上恰好有两个零点，
若在，上至少有10个零点，则不小于第10个零点的横坐标即可，
即的最小值为．
15．已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于y轴对称且当时，取得最大值.
(1)求函数的解析式：
(2)方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用正弦函数的平移变换结合图像和性质求解即可；
（2）利用正弦函数的图像和一元二次函数根与系数的关系求解即可.
【详解】（1）函数向右平移个单位可得，
因为关于轴对称，所以解得，
因为，所以或，
又因为当时，取得最大值，所以解得，
综上，
所以.
（2）令，
由（1）得当时，，
由正弦函数的图像可得当时有两个解，
所以要使方程有4个不相等的实数根，
则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根且两根都在区间内，
所以，且，
解得.