重庆市拔尖强基联盟2025届高三上学期10月联合考试数学试题（Word版附解析）

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（满分150分；考试时间：120分钟）
命题学校：育才中学
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合，写出结果即可.
【详解】，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合.
即图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
2. 设复数满足，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法算出复数，由模长公式计算.
【详解】复数满足，得，
则.
故选：B.
3. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 58B. 68C. 116D. 136
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式结合前项和公式求解即可.
【详解】因为，所以即
所以
故选：B.
4. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果.
【详解】根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数，
得到，即，又，
所以，得到，
故选：C
5. 在平行四边形中，点，，分别满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为基底，根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.
【详解】由题意，如图，

，
故选：A
6. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A B. 7C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性单调性，据此可得，再由基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为奇函数，且易知在上单调递减，
又，即
所以，即，
，当且仅当即时等号成立，
故选：D
7. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式与两角和的余弦公式化简已知条件等式得，根据角的范围与函数值的大小比较得，从而得到，然后利用两角差的余弦公式求得，再利用二倍角的余弦公式求可得.
【详解】由，
得，
则，由为锐角，则，
又，，
故，
所以
，
由二倍角余弦公式得，则.
又为锐角，所以，
故.
故选：C.
8. 已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】问题等价于恒成立，不妨令，求出即可得实数的取值范围.
【详解】当，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，则
设，有，，
当时，，在上单调递增，有，
所以时， ，当且仅当时等号成立.
故，
当且仅当，即时上式取得等号，
由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解，
所以，得.
故选：B.
【点睛】方法点睛：
问题等价于恒成立，由，利用，得到.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，满足，，，则（ ）
A. B. 当时，
C. 当时，D. 在上的投影向量的坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据向量的投影向量的概念判断D.
【详解】对A，，所以，故A错误；
对B，当时，，即，故B正确；
对C，，由可得，即，故C正确；
对D，在上的投影向量为，故D错误.
故选：BC
10. 已知函数，，定义域均为，下列说法正确的是（ ）
A. 函数与有相同的最小正周期
B. 若函数在上单调递增，则的最小值为
C. 当，的图象可以由函数的图象向右平移个单位得到
D. 当时，若方程在区间内的解为，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正余弦型函数周期判断A，根据正弦型函数的单调性判断B，根据图象平移判断C，根据正弦型函数的对称性及诱导公式判断D.
【详解】对A，周期均为，故A正确；
对B，时，，由在上单调递增，
所以，解得，故B正确；
对C，当时，，函数y=fx的图象向右平移个单位得到
，故C错误；
对D，当时，，即，
由可知，
因为，且，所以由正弦函数性质可知，
即，所以，即，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数与及其导函数f′x与的定义域均为.若为奇函数，，，则（ ）
A. B.
C. 曲线y=f′x关于点12,1中心对称D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，赋值法令和计算即可；对B，易知f′x为偶函数，不能确定；对C，运用已知条件推出关于中心对称，进而得到关于中心对称；对D，由f′x为偶函数得f′x周期为2，结合条件得到， 求出，进而求.
【详解】对于A，令，令，则，A正确；
对于B，为奇函数，则f′x为偶函数，则求不出，故B错误；
对于C，，
又，则，
则关于中心对称.
，结合函数图象平移，
关于中心对称，C正确；
对于D，由于f′x为偶函数，结合C所得对称中心，知f′x周期为2，且，，
又则，且
，
，
则D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数解析式分别代入计算可得结果.
【详解】根据分段函数性质可得，
由可得，即
故答案为：
13. 育才中学研究性学习小组为测量如图所示的陶行知雕塑的高度，在和它底部位于同一水平高度的三点，，处测得雕塑顶端处仰角均为，且，，则该雕塑的高度为______________m．

【答案】
【解析】
【分析】由题可得，，由正切函数定义得出，进而得出点为的外心，根据已知条件及余弦定理，正弦定理即可求解．
【详解】
由题可知，，，
设，在中，，所以，
同理可得，所以点为的外心，且外接圆半径为，
由余弦定理得，，所以，
由正弦定理得，，则，
所以该雕塑的高度为，
故答案为：．
14. 已知函数，则函数的零点个数是______________.
【答案】112
【解析】
【分析】作出的图象，换元后，先考虑方程根的个数及根所在范围，再由数形结合求原函数零点的个数.
【详解】作出的图象，如图，
令，考虑方程的根，由图象可知有16个根，
分别设为，由图象知，
，
再考虑，分别作出直线，
可知原函数共有零点个.
故答案为：112
【点睛】关键点点睛：本题的关键点一个是作出函数的图象，再一个就是通过换元结合图象先求出方程的根的个数及范围，最后再由数形结合确定原函数零点个数.
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知正项等差数列满足：且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用已知，，成等比数列，用等差数列基本量列方程并求解，再由等差数列通项公式可得结论；
（2）分别利用等差与等比数列求和公式分组求和法可得结论.
【小问1详解】
设正项等差数列an的公差为，则，
由成等比数列，
得，则，
又，即，解得（舍），或.
所以.
数列an的通项公式为.
【小问2详解】
由题意得，，
则，且，
故bn是以为首项，为公比的等比数列，
则，
.
故数列的前项和为.
16. 心流是由心理学家米哈里提出的概念，指人们在进行某项活动时，完全投入并享受其中的状态.某中学的学习研究小组为设计创新性学习活动，随机抽取了100名学生进行调研，男生与女生的人数之比为3：2，其中女生有35名自述活动过程中体验到心流，男生有15名没有体验到心流.
（1）完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关？
（2）在体验到心流的学生中，有，两名同学表示特别喜爱这种创新性学习活动，希望参加到进一步的学习中，在接下来的进一步学习中，研究小组将每次从体验到心流的学生中不放回的随机抽名同学参加，记抽取两次后抽中或的概率为，当为何值时最大？请证明你的结论.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）答案见解析
（2）当时，最大.
【解析】
【分析】（1）先计算，得到列联表，再求出卡方值，再判断即可；（2）先求出，再根据阶乘公式化简得到，作差比较大小得到，则为增函数，运用函数单调性可得到答案.
【小问1详解】
因为调查的女生人数为：，所以调查的男生人数为：.
所以2×2列联表如下：
零假设:学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别无关.
根据公式和数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,
因此可以认为成立,即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.
【小问2详解】
当时, 的值最大.
,运用阶乘公式整理得到，
.
由于，则，则为增函数.则当时， 最大.
17. 在中，的对边分别为，，，且满足_______________.
请在①；②，这两个中任选一个作为条件，补充在横线上，并解答问题.
（1）求；
（2）若面积为，，点在线段上，且，求的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择①：利用正弦定理和余弦定理可得，即；
选择②：由诱导公式可得，再结合可得；
（2）根据三角形面积以及角的正切值可解得，再由点的位置关系利用向量可求出结果.
【小问1详解】
若选择①，
由可得，
利用正弦定理可得，整理可得；
所以，又，
可得.
若选择②,
由诱导公式可得；
由可得，
可得，所以，
即.
【小问2详解】
如下图所示：
由面积为可得，即，
又且，所以；
又可得；
易知，
由可得，
即可得；
由点在线段上，且，可得，
所以
即的长为.
18. 已知圆交轴于，两点，椭圆过点且以为长轴.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，若不重合的两条直线与分别平分线段，.
①求证：为定值；
②已知直线，与椭圆分别交于，，，，且，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①证明见解析②四边形面积的最大值为3.
【解析】
【分析】（1）令.设椭圆C的标准方程为，椭圆经过，代入计算即可;
（2）①画出图形，显然直线与垂直，设直线，则直线l与椭圆交于, 由于直线平分直线l与圆O的交线段，则有，
运用点差法得到.②画出图形，得到联立方程得，则直线l1与椭圆交线长为,同理可得直线l2与椭圆的一个交点算出D到直线l1的距离， 得到四边形面积 ，结合.得到.和分情况讨论，结合基本不等式得到四边形面积的最大值即可.
【小问1详解】
由,令得，令.
则可设椭圆C的标准方程为，椭圆经过，
代入计算得到.则椭圆的标准方程.
【小问2详解】
①显然直线与垂直，设直线，则
直线l与椭圆交于,

由于直线平分直线l与圆O的交线段，则有，
于是,由于则则.
②由题知，则易知
令得，则直线l1与椭圆交线长为，
同理可得直线l2与椭圆的一个交点，
则D到直线l1的距离，
所以四边形面积 .
由于.则.
当时，四边形不存在.
当时，
所以四边形面积的最大值,在时取到.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.有时候可以借助基本不等式求解.
19. 已知函数的图象与的图象关于直线对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若在定义域内恒成立，求的取值范围；
（3）求证：.
【答案】（1）
（2）1 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据两函数关于对称求解析式即可；
（2）先探求时成立，再证明当时恒成立，证明过程利用导数求出函数极大值即可；
（3）根据（2）可得，转化为，再由，累加相消即可得证.
【小问1详解】
设图象上任意一点，则其关于直线的对称点为，
由题意知，点在函数图象上，
所以，
所以.
【小问2详解】
不妨令，
则在上恒成立，
注意到且在上是连续函数，则是函数的一个极大值点，
所以，又，
所以，解得
下面证明：当时，在上恒成立，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，单调递减，
所以，即在上恒成立，又，
所以，证毕.
综上.
【小问3详解】
由（2）知，，则，，
，
又由（2）知：在恒成立，则在0,+∞上恒成立，
当且仅当时取等号，则令，
则，
，证毕.
【点睛】关键点点睛：在证明第（3）问时，关键应用（2）后合理变形，得到，再令，利用（2）中式子得，能够利用累加相消是证明的关键.心流
无心流
总计
女生
35
男生
15
合计
100
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
心流
无心流
总计
女生
35
5
40
男生
45
15
60
合计
80
20
100