2025届辽宁省沈阳市大东区九年级数学第一学期开学检测模拟试题【含答案】

这是一份2025届辽宁省沈阳市大东区九年级数学第一学期开学检测模拟试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器，然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A．B．
C．D．
2、（4分）下列命题中，正确的是( )
A．平行四边形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直且平分 D．菱形的对角线相等
3、（4分）不等式5+2x ＜1的解集在数轴上表示正确的是( ).
A．B．C．D．
4、（4分）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )
A．3B．C．2或3D．3或
5、（4分）点向右平移个单位后落在直线上，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6、（4分）已知关于x的方程的一个根为，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖．
B．为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式．
C．若甲数据的方差s 甲 2 ＝0.01，乙数据的方差s 乙 2 ＝0.1，则乙数据比甲数据稳定．
D．一组数据3，1，4，1，1，6，10的众数和中位数都是1．
8、（4分）化简的结果是（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为__________．
10、（4分）如图，在四边形中，交于E,若，则的长是_____________
11、（4分）在四边形ABCD中，AB＝CD，请添加一个条件_____，使得四边形ABCD是平行四边形．
12、（4分）菱形ABCD的边AB为5 cm，对角线AC为8 cm，则菱形ABCD的面积为_____cm1．
13、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为____________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在正方形中，对角线上有一点，连结，作交于点．过点作直线的对称点，连接
求证：
求证：四边形为平行四边形；
若有可能成为菱形吗?如果可能，求此时长；如果不可能，请说明理由．
15、（8分）化简求值：（﹣1）÷，其中a＝2﹣ ．
16、（8分）如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E在边BC上,DE∥AB,设.
(1)用向量表示下列向量:;
(2)求作: (保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法)
17、（10分）如图，分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD，等边△ ABE.已知∠ABC＝60°，EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF.
(1)证明：△ACB≌△EFB；
(2)求证：四边形 ADFE 是平行四边形．
18、（10分）已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，AD＝AE．
（1）如果∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，那么∠EDC＝ °．
（2）如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么∠BAD＝ °，∠CDE＝ °．
（3）设∠BAD＝α，∠CDE＝β猜想α，β之间的关系式，并说明理由．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某商店销售型和型两种电脑，其中型电脑每台的利润为400元，型电脑每台的利润为500元，该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则关于的函数解析式是____________.
20、（4分）小邢到单位附近的加油站加油，下图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是______
21、（4分）一次函数的图象经过点，且与轴、轴分别交于点、，则的面积等于___________．
22、（4分）如图，，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是______．
23、（4分）无论x取何值，分式总有意义，则m的取值范围是______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝1．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求线段DO的长；
（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于t的函数解析式；
（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．
25、（10分）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB和AD延长线上的点，BE＝DF，在此图中是否存在两个全等的三角形，并说明理由；它们能够由其中一个通过旋转而得到另外一个吗？简述旋转过程．
26、（12分）已知与成正比例，
（1）y是关于x的一次函数吗？请说明理由；
（2）如果当时，，求关于的表达式.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
试题分析：一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时最高水位高度不变，当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．故选D．
考点：函数的图象．
2、C
【解析】分析：根据平行四边形、矩形、菱形的性质分别判断得出即可．
详解：A．根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分不相等，故此选项错误；
B．根据矩形的性质，矩形的对角线相等，不互相垂直，故此选项错误；
C．根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，故此选项正确；
D．根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分但不相等，故此选项错误．
故选C．
点睛：本题主要考查平行四边形、矩形、菱形的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
3、C
【解析】
先解不等式得到x＜-1，根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边．
【详解】
5+1x＜1，
移项得1x＜-4，
系数化为1得x＜-1．
故选C．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心．
4、D
【解析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=1，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=4，
∴AC==5，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=1，
∴CB′=5-1=2，
设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=（4-x）2，解得x=，
∴BE=；
②当点B′落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=1．
综上所述，BE的长为或1．
故选D．
本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
5、A
【解析】
根据向右平移横坐标相加，纵坐标不变得出点P平移后的坐标，再将点P平移后的坐标代入y=1x-1，即可求出m的值．
【详解】
解：∵将点P(0，3)向右平移m个单位，
∴点P平移后的坐标为(m，3)，
∵点(m，3)在直线y=1x-1上，
∴1m-1=3，
解得m=1．
故选A．
本题考查了点的平移和一次函数图象上点的坐标特征，求出点P平移后的坐标是解题的关键．
6、A
【解析】
把x=﹣1代入方程可得关于m的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：∵x=﹣1是方程的一个根，∴，解得：．
故选：A．
本题考查了一元二次方程的解的概念和简单的方程的解法，属于基础题型，熟知一元二次方程的解的定义是关键．
7、D
【解析】
A选项：某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票中奖的可能性很大，但不是一定中奖，故本选项错误；
B选项：为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，故本选项错误；
C选项：方差反映了一组数据的波动情况，方差越小数据越稳定，故本选项错误；
D选项：一组数据3,1,4,1,1,6,10的众数和中位数都是1，故本选项正确；
故选D．
8、B
【解析】
根据三角形法则计算即可解决问题．
【详解】
解：原式
，
故选：B．
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≤1
【解析】
解：∵二次根式有意义，
∴1-x≥0,
∴x≤1．
故答案为：x≤1．
10、
【解析】
过点A作AM⊥BD于M,先证明△AEM≌△BEC，得出AM=BC，BE=ME，再根据得出三角形ADM是等腰直角三角形，从而得出AM=BC,结合已知和勾股定理得出DB和BC的长即可
【详解】
过点A作AM⊥BD于M,则
∵
∴
∵EA=EC，
∴
∴AM=BC，BE=ME
∵则设EB=2k,ED=5k
∴EM=2k,DM=3k
∵,
∴AM=DM=BC=3k,BM=4k
则AB=5k=5，k=1
∴DB=7,BC=3
∵
∴DC=
故答案为：
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键
11、AB//CD等
【解析】
根据平行四边形的判定方法，结合已知条件即可解答.
【详解】
∵AB＝CD，
∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）
或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．）时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为AD＝BC或者AB∥CD．
本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
12、14
【解析】
【分析】连接BD.利用菱形性质得BD=1OB,OA=AC，利用勾股定理求OB，通过对角线求菱形面积.
【详解】连接BD. AC⊥BD，
因为，四边形ABCD是菱形，
所以，AC⊥BD，BD=1OB,OA=AC=4cm,
所以，再Rt△AOB中，
OB=cm,
所以，BD=1OB=6 cm
所以，菱形的面积是
cm1
故答案为：14
【点睛】本题考核知识点：菱形的性质.解题关键点：利用勾股定理求菱形的对角线.
13、1
【解析】
根据平行四边形的性质，可得出AD∥BC，则∠AEB＝∠CBE，再由∠ABE＝∠CBE，则∠AEB＝∠ABE，则AE＝AB，从而求出DE．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠B的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∵AB＝3，BC＝5，
∴DE＝AD－AE＝BC－AB＝5－3＝1．
故答案为1．
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对边相等．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【解析】
（1）利用对称的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，从而可证明结论；
（2）根据点与点关于直线对称，推出，再根据正方形的性质得出，从而推出，再利用（1）中结论，得出，可得出，推出，继而证明结论；
（3）过点作于点于点，根据已知条件结合示意图可证明，得到，又因为，继而得出，当四边形为菱形时，为等边三角形，从而得出，设， 则，，再结合AB=4求x的值，进一步计算即可得出答案．
【详解】
解：证明：点与点关于直线对称，
，，
四边形为正方形，
，
；
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
∴∠GEC＝∠BCE＝∠CGE＝45°，
，
，
由得，
，
，
，
四边形为平行四边形；
如图所示，过点作于点于点，连接DE，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为正方形，
关于对称，
，
，
当四边形为菱形时，，
为等边三角形，
，
设，则，
，
，
四边形为正方形，，
，
，
.
本题是一道关于正方形的综合题目，涉及的知识点有正方形的性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、点关于直线对称的性质、全等三角形的判定及性质等．
15、，
【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
，
当时，原式．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16、（1），（2）见解析.
【解析】
（1）AD∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABED是平行四边形，然后利用平行四边形法则与三角形法则求解即可求得答案；
（2）首先作，连接AF，则即为所求.
【详解】
（1）∵AD∥BC,DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴
∴
∴
∴；
(2)首先作，连接AF，则即为所求.
此题考查平面向量，解题关键在于灵活运用向量的转化即可.
17、（1）见详解；（2）见详解.
【解析】
（1）由△ABE是等边三角形可知：AB=BE，∠EBF=60°，于是可得到∠EFB=∠ACB=90°，∠EBF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EBF即可；
（2）由△ABC≌△EBF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD=EF，然后再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠EBF=60°，AE=BE，∠EFB=90°．
又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ACB，∠EBF=∠ABC．
∵BE=BA，
∴△ABC≌△EBF（AAS）.
（2）证明：∵△ABC≌△EBF，
∴EF=AC．
∵△ACD是的等边三角形，
∴AC=AD=EF，∠CAD=60°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EFA=∠BAD=90°，
∴EF∥AD．
又∵EF=AD，
∴四边形EFDA是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，解题的关键是掌握证明全等三角形的判定方法和证明平行四边形的判定方法.
18、（1）5（2）20，10（3）α＝2β，理由见解析.
【解析】
（1）先求出∠BAC=40°，再利用等腰三角形的性质求出∠B，∠ADE，根据三角形外角的性质求出∠ADC，减去∠ADE，即可得出结论；
（2）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形外角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）∵∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°．
∵AD＝AE，∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝75°．
∵∠B＝70°，∠BAD＝10°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝5°．
故答案为5；
（2）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为20，10；
（3）猜想：α＝2β．理由如下：
设∠B＝x，∠AED＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠C＝∠B＝x，∠ADE＝∠AED＝y．
∵∠AED＝∠CDE+∠C，
∴y＝β+x，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β．
本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形内角和为180°的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式.
【详解】
解：根据题意，
y=400x+500（100-x）=-100x+50000；
故答案为
本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式．
20、金额与数量
【解析】
根据常量与变量的意义结合油的单价是不变的，而金额随着加油数量的变化在变化，据此即可得答案.
【详解】
常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故答案为：金额与数量.
本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的概念是解题的关键.
21、
【解析】
∵一次函数y=−2x+m的图象经过点P(−2,3)，
∴3=4+m，
解得m=−1，
∴y=−2x−1，
∵当x=0时，y=−1，
∴与y轴交点B(0,−1)，
∵当y=0时,x=−，
∴与x轴交点A(−,0)，
∴△AOB的面积：×1×=.
故答案为.
点睛：首先根据待定系数法求得一次函数的解析式，然后计算出与x轴交点，与y轴交点的坐标，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．
22、.
【解析】
根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE=0.5AB=5，根据平行线的性质、角平分线的定义求出DF，计算即可.
【详解】
解：、分别是、的中点，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为.
本题考查的是角平分线的定义、三角形中位线定理，掌握平行线的性质、角平分线的定义是解题的关键.
23、m＞1
【解析】
根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
解：当x2+2x+m≠0时，总有意义，
∴△=4-4m＜0，
解得，m＞1
故答案为：m＞1．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）2（2）见解析（3）当t＝时，△POQ面积的最大值
【解析】
（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质得到直角△AOD，在该直角三角形中利用勾股定理来求线段DO的长度；
（2）需要分类讨论：点P在线段OA上、点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OD上；点P在线段OC上，点Q在线段OB上；
（3）由6＜t≤2时OP＝1﹣2t、OQ＝2﹣t可得△POQ的面积S＝（2﹣t）（1﹣2t）＝﹣t2+15t﹣54＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质求解可得．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
在Rt△AOD中，AD＝15，AO＝1
由勾股定理得：
OD＝＝2．
（2）①当0≤t≤6时，OP＝1﹣2t，OQ＝2﹣t，则OP+OQ＝1﹣2t+2﹣t＝﹣3t+21
即：y＝﹣3t+21；
②当6＜t≤2时，OP＝2t﹣1，OQ＝2﹣t，则OP+OQ＝2t﹣1+2﹣t＝t﹣3
即：y＝t﹣3；
③当2＜t≤1时，OP＝2t﹣1，OQ＝t﹣2，则OP+OQ＝2t﹣1+t﹣2＝3t﹣21
即：y＝3t﹣21；
综上所述：y＝；
（3）如图，
当6＜t≤2时，∵OP＝1﹣2t、OQ＝2﹣t，
∴△POQ的面积S＝（2﹣t）（1﹣2t）
＝﹣t2+15t﹣54
＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，△POQ面积的最大值．
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握菱形的性质、二次函数的应用及分类讨论思想的运用．
25、在此图中存在两个全等的三角形，即△CDF≌△CBE．△CDF是由△CBE绕点C沿顺时针方向旋转90°得到的．理由见解析.
【解析】
在△CDF和△CBE中，根据正方形的性质知DC=BC、已知条件DF=BE可以证得△CDF≌△CBF．
【详解】
解：在此图中存在两个全等的三角形，即△CDF≌△CBE．理由如下：
∵点F在正方形ABCD的边AD的延长线上，
∴∠CDF＝∠CDA＝90°；
在△CDF和△CBE中，
，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠FCD＝∠ECB，CF＝CE，
∴∠FCE＝∠FCD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE＝∠DCB＝90°，
∴△CDF是由△CBE绕点C沿顺时针方向旋转90°得到的．
本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质．本题中通过全等三角形（△CDF≌△CBE）的对应角∠FCD与∠ECB相等是解答△CDF由△CBE所旋转的方向与角度的关键．
26、（1）y是x的一次函数，理由见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据题意设y-1=k（2x+3），整理得y=2kx+3k+1，然后根据一次函数的定义判断y是否是关于x的一次函数；（2）把x=-，y=0代入求出k即可得到y与x的函数关系．
试题解析：（1）依题意设，
所以，
故y是x的一次函数；
（2）把x=−,y=0代入得
−k+3k+1=0，解得k=3，
∴y关于x的函数表达式为y=6x+10.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分