江西省于都县第二中学2025届高三上学期第一次月考试数学试题

这是一份江西省于都县第二中学2025届高三上学期第一次月考试数学试题，共10页。试卷主要包含了已知集合，则，已知复数，则，记为等差数列的前项和，在平行四边形中，，若，则，已知，则等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C.2 D.3
3若正数满足，则的最小值是（ ）
A.6 B. C. D.
4.记为等差数列的前项和.若，则（ ）
A.25 B.22 C.20 D.15
5.在平行四边形中，，若，则（ ）
A. B. C. D.1
6.已知，则（ ）
A.1 B.0 C. D.
7.给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A.“”的否定是“”
B.在上单调递减
C.若为的导函数的一个零点，则为函数的一个极值点
D.若是奇函数，则
8.若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10.函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是（ ）
A.
B.为图象的一条对称轴
C.可以等于5
D.的最小值为2
11.已知函数的定义域均为为的导函数，且，若为奇函数，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量.若，则__________.
13.已知某扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________.
14.已知数列的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.已知函数.
（1）求函数的最小正周期和对称轴；
（2）求函数在的最值及相应的的值.
16.已知数列是递增数列，其前项和满足.
（1）证明：是等差数列；
（2）记数列的前项和为，求.
17.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若.求二面角的大小.
18.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
19.设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
（2）已知实数是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
（3）设.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.
高三第一次月考参考答案（数学）
一､选择题
1-8.AACCB DBC
8.解：由，则，即，
故关于对称，又，则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故对，有，即，即，即，解得或，即不等式的解集为.
二､多选题
9.AD 10.BD 11.ABD
11.已知函数的定义域均为，因为，
可得，又因为为奇函数，则，
可得，即为偶函数，
则，即，可得，
所以，可知的周期为8.
对于选项A：因为
令，则，可得，故A正确；
对于选项B：因为，令，可得，故B正确；
对于选项C：因为，且为偶函数，则，
令，可得，又因为，
令，则，可得，
可得，但由题设条件无法推出，故C错误；
对于选项D：因为的周期为8，故，故D正确；
三､填空题
12.2 13. 14.
14.由，则，
故，
由，可得，
设，则恒成立，
故在）单调递减，当时，，即当时，，故.
四､解答题
15.，，由，得，
故函数的最小正周期为，函数的对称轴方程为；
（2）由（1）知，
设，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
因此，当，即时，有最大值2；
当，即时，有最小值.
16.（1）当时，，解得，
当时，，则，
即，即
又数列为递增数列，所以，故，即，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得，所以，
则
.
17.解（1）证明：如图，取中点，连接，在中，分别为，的中点，所以且，
在菱形中，因为且，
所以，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：因为平面平面，
所以.
连接，因为，且
（或者证）
所以，在菱形中，，即为正三角形，
又因为为中点，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为且.
又因为为正三角形且，所以，
则，则，
由平面，可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
所以，所以二面角的大小为.
18.解（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：令，则，
由于在R上单调递增，所以在.单调递增，又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，
即证，
即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
18.（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，
所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间[2，4]内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，所以，
由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，故的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
由得，所以，由得，所以，
所以，
当时，，当时，，
因此的最小值为，当时成立.