新疆乌鲁木齐市第七十中学2025届高三上学期9月阶段性诊断数学试题（问卷）

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这是一份新疆乌鲁木齐市第七十中学2025届高三上学期9月阶段性诊断数学试题（问卷），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．已知x，y为正实数，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数的定义域为，满足，当时，，则的大致图象为（）
A. B. C. D.
4．已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（）
A．3B．-3C．-D．
5．已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．已知，，，则，，的大小关系为（）
A．B．
C．D．
7．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
8．若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．下列各式中不能化简为的是（）
A．B．
C．D．
10．正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（）
A．最大值为1B．最大值为2
C．最大值是8D．最大值是
11．已知当时，，则（）
A．B．
C．D．
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知平面向量，的夹角为，则．
13．函数的所有零点之和为．
14．已知函数的图象经过原点，若在上恰好有3个不同实数使得对任意x都满足，且对任意，使得在上不是单调函数，则的取值范围是．
四、解答题（共77分）
15．（13分）已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．（15分）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程，
(2)证明：.
17．（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求C的值；
(2)若，求的周长的最大值．
18．（17分）如图，在四棱锥中，，四边形ABCD是正方形，，E是棱PD上的动点，且.

(1)证明：平面ABCD；
(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值是？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.
19．（17分）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
(1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明：.
答案：
1．B
2．B
3．D
4．B
5．C
6．C
7．D
8．D
9．B
10．ACD
11．BCD
12．
13．15
14．
15选条件①：无意义，所以选条件①时不存在，故不能选①，
选条件②．
由题设，所以．
因为，所以，所以．
所以．
选条件③，由题设．整理得．
以下同选条件②．
（2）由（1）
因为，所以．
于是，当且仅当，即时，取得最大值；
当且仅当，即时，取得最小值．
又，即时，．
且当时，单调递增，所以曲线与直线恰有一个公共点，则或
的取值范围是．
16．（1），，.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）得.
令函数，则，所以是增函数.
，，
所以存在，使得，即.
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
.
因为，所以，
所以.
故.
17．（1）因为，所以，
即，又，所以，
所以，又，即；
（2）因为，由余弦定理可知，，
又因为，所以，
所以，
解得，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以周长的最大值为12．
18．（1）因为四边形是正方形，则，
且，平面，，所以平面，
且平面，可得，
又因为，所以，即，
由平面，且，所以平面.
（2）由（1）可知：平面，且，
如图，以A为坐标原点建立空间之间坐标系，

不妨设，则，
可得，
则，可得，
设平面平面AEC的法向量，则，
令，则，可得，
且平面PAB的法向量，
由题意可得：，
整理得，解得或（舍去），
所以存在实数，的值为.
19．（1）函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以.
因为，，所以
令，得，即，解得.
因为，所以是上的“双中值函数”.
（2）①因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证．
设，
则．
设，则，
所以φx在0,1上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．