江苏省海州高级中学2024届高三上学期第一次（9月）月考数学试题

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一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合A＝{ x | eq \f(1,9)≤3x＜9 }，集合B＝{ x | lg3x＜1}，则A∩B等于（ ）
A.（0，2） B.[－2，3） C.[0，2） D.[－2，0）
2. 函数f（x）＝lg x－eq \f(1,2x) 的零点所在区间为（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）
3. 已知定义域为[a－4，2a－2] 的奇函数f（x）＝x3－sin x＋b＋2，则f（a）＋f（b）的值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
4. 已知函数f（x）＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，x≤2，,f（x－1），x＞2，))则f（lg212）等于（ ）
A.－3 B.－6 C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,3)
5. 若a＞0，b＞0，且a＋b＝ab，则2a＋b的最小值为（ ）
A.3＋2eq \r(2) B.2＋2eq \r(2) C.6 D.3－2eq \r(2)
6. 曲线f（x）＝x3＋1在点（－1，f（－1））处的切线方程为（ ）
A.y＝－3x－1 B.y＝3x＋1 C.y＝3x＋3 D.y＝－3x－3
7. 已知函数f（x）＝lg0.5（x2－ax＋3a）在（2，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－∞，4] B.[4，＋∞） C.[－4，4] D.（－4，4]
8. 若3x－3y＞5－x－5－y，则（ ）
A.eq \f(1,x)＞eq \f(1,y) B.x3＞y3 C.eq \r(x)＞eq \r(y) D.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列函数中，为奇函数的是（ ）
A.y＝2x－2－x B.y＝ln（x＋1）＋ln（x－1）
C.y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x＜0)) D.y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x2＋1)＋x))
10. 已知函数f（x）＝eq \f(3x－1,3x＋1)，则下列说法正确的有（ ）
A.f（x）的图象关于原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的值域为（－1，1） D.∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0
11. 已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则下列结论正确的是（ ）
A.ln（a－b）＜0 B.eq \r(a)＋eq \r(b)＞2 C.ba＞ab D.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞4
12. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列结论正确的是（ ）
A.f（－eq \f(2,3)）＜f（eq \f(2,3)） B.函数f（x）是增函数
C.方程f（x）－eq \f(1,2 023)＝0有无数个实数根 D.f（x）的最大值为1，最小值为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数y＝lg2（2x-1）的定义域是 ______.
14. 函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝4，且f（1）＝3，则f（2 023）＝________.
15. 已知函数f（x）＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－ax－9，x≤1，,\f(a,x)，x＞1))在R上单调递增，则实数a的取值范围为 .
16. 已知函数f（x）＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g（x）＝f（x）－mx＋1，若g（x）存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）已知非空集合P＝{ x | a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{ x | x2－3x≤10} .
（1）若a＝3，求（∁R P）∩Q ；
（2）若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝eq \f(ln x＋k,ex)（k为常数），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行.
（1）求实数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
19. （本小题满分12分）已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）＝ eq \f(x,3) －2x .
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t 2－2t）＋f（2t 2－k）＜0恒成立，求实数k的取值范围.
20. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝lg4（4x＋1）＋2kx（k∈R）是偶函数.
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）＝m有解，求实数m的取值范围.
21. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝ 22 x－ eq \f(5,2)·2 x＋1－6 .
（1）当 x∈[0，4] 时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若 ∃ x∈[0，4] ，使f（x）＋12－a·2x ≥0成立，求实数a的取值范围 .
22. （本小题满分12分）已知函数f（x）＝ln x－x2＋x.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当a≥2时，关于x的不等式f（x）＜（eq \f(a,2)－1）x2＋ax－1 恒成立 .