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浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题(无答案)
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这是一份浙江省杭州市周边重点中学四校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了设函数，若，则a的最小值为，已知圆，直线，则，定义在R上的偶函数，满足，则等内容，欢迎下载使用。
命题人：浦江中学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．在四面体OABC中，记，，，若点M，N分别为棱OA，BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．设函数，若，则a的最小值为（ ）
A．-2B．-1C．2D．1
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为29π，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆，直线，则（ ）
A．直线/恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当时，圆C上恰有四个点到直线/的距离等于1
D．圆C与圆恰有三条公切线
10．定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆与圆有且仅有一条公切线，m=________．
13．已知函数的图象经过点，且在y轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有________个．
14．如图，在长方形ABCD中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是________．
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间内．现将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如下频率分布直方图．
（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
（2）学校决定表彰成绩排名前30%的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由．
16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程．
17．（15分）已知函数（且）是定义在R上的奇函数，且；
（1）求a，b的值；
（2）解不等式．
18．（17分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线BD和BF上移动，且BM和BN的长度保持相等，记．
（1）证明：平面BCE；
（2）当时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点；在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c
（1）若内角A，B，C满足．
①求B；
②若的面积为，设点P为的费马点，求的取值范围；
（2）若内一点P满足，且PB平分∠ABC，试问是否存在常实数t使得?若存在，求出常数t，若不存在，请说明理由．
命题人：浦江中学
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．在四面体OABC中，记，，，若点M，N分别为棱OA，BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆，直线，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．设函数，若，则a的最小值为（ ）
A．-2B．-1C．2D．1
8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为29π，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆，直线，则（ ）
A．直线/恒过定点
B．直线l与圆C有两个交点
C．当时，圆C上恰有四个点到直线/的距离等于1
D．圆C与圆恰有三条公切线
10．定义在R上的偶函数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面．设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若圆与圆有且仅有一条公切线，m=________．
13．已知函数的图象经过点，且在y轴右侧的第一个零点为，当时，曲线与的交点有________个．
14．如图，在长方形ABCD中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点．现将沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是________．
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间内．现将100个样本数据按，，，，，分成6组，并整理得到如下频率分布直方图．
（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
（2）学校决定表彰成绩排名前30%的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由．
16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程．
17．（15分）已知函数（且）是定义在R上的奇函数，且；
（1）求a，b的值；
（2）解不等式．
18．（17分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线BD和BF上移动，且BM和BN的长度保持相等，记．
（1）证明：平面BCE；
（2）当时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点；在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c
（1）若内角A，B，C满足．
①求B；
②若的面积为，设点P为的费马点，求的取值范围；
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