2025届福建省龙岩一中学分校数学九上开学考试模拟试题【含答案】

这是一份2025届福建省龙岩一中学分校数学九上开学考试模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一束光线从点A（3，3）出发，经过y轴上点C反射后经过点B（1，0），则光线从A点到B点经过的路线长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2、（4分）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：
①，②，③，④.
其中说法正确的是( )
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
3、（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣6x＝2x（x﹣6） B．﹣a3+ab＝﹣a （a2﹣b）
C．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y） D．m2﹣9n2＝（m+9n）（m﹣9n）
4、（4分）下列曲线中不能表示y与x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
6、（4分）如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（ ）
A．50°B．25°C．15°D．20
7、（4分）、、为三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）
A．B．，，
C．D．，，（为正整数）
8、（4分）方程的解是 （ ）
A．B．C．D．或
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，点D、E、F分别是三边的中点，若AF=3cm，则DE=_____cm．
10、（4分）如图,矩形ABCD的边AB与x轴平行,顶点A的坐标为(2,1),点B与点D都在反比例函数 的图象上,则矩形ABCD的周长为________.
11、（4分）若代数式有意义，则实数的取值范围是_________.
12、（4分）分解因式xy2+4xy+4x＝_____．
13、（4分）线段AB的两端点的坐标为A(﹣1，0)，B(0，﹣2)．现请你在坐标轴上找一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是直角三角形，则满足条件的P点的坐标是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，正方形ABCD的边长为，点P为对角线BD上一动点，点E在射线BC上，
(1)填空：BD=______；
(2)若BE=t，连结PE、PC，求PE+PC的最小值(用含t的代数式表示);
(3)若点E是直线AP与射线BC的交点，当△PCE为等腰三角形时，求∠PEC的度数．
15、（8分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在反比例函数图象上，直线交于点，交正半轴于点，且
求的长:
若，求的值．
16、（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（－3，－4），B（0，－2）．
（1）△OAB绕O点旋转180°得到△OA1B1，请画出△OA1B1，并写出A1，B1的坐标；
（2）判断以A，B，A1，B1为顶点的四边形的形状，并说明理由．
17、（10分）如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(-3,1),B(0,3),C(0,1).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C;
(2)分别连接AB1,BA1后,求四边形AB1A1B的面积.
18、（10分）在“爱满扬州”慈善一日捐活动中，学校团总支为了了解本校学生的捐款情况，随机抽取了50名学生的捐款数进行了统计，并绘制成统计图．
（1）这50名同学捐款的众数为 元，中位数为 元；
（2）求这50名同学捐款的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请估计该校学生的捐款总数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知，则的值为________．
20、（4分）化简的结果是______．
21、（4分）某通讯公司的4G上网套餐每月上网费用y（单位：元）与上网流量x（单位：兆）的函数关系的图像如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a的值为__________．
22、（4分）不等式的负整数解有__________．
23、（4分）已知，化简________
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知一次函数的图象过点和，求这个一次函数的解析式.
25、（10分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
（1）求证：AB=AC；
（2）若∠BAC=60°，BC=6，求△ABC的面积.
26、（12分）为了迎接“六一”国际儿童节，某童装品牌专卖店准备购进甲、乙两种童装，这两种童装的进价和售价如下表：
如果用5000元购进甲种童装的数量与用6000元购进乙种童装的数量相同．
（1）求m的值；
（2）要使购进的甲、乙两种童装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于8980元，且甲种童装少于100件，问该专卖店有哪几种进货方案？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
如果设A点关于y轴的对称点为A′，那么C点就是A′B与y轴的交点．易知A′（-3，3），又B（1，0），可用待定系数法求出直线A′B的方程．再求出C点坐标，根据勾股定理分别求出AC、BC的长度．那么光线从A点到B点经过的路线长是AC+BC，从而得出结果．
【详解】
解：如果将y轴当成平面镜，设A点关于y轴的对称点为A′，则由光路知识可知，A′相当于A的像点，光线从A到C到B，相当于光线从A′直接到B，所以C点就是A′B与y轴的交点．
∵A点关于y轴的对称点为A′，A（3，3），
∴A′（-3，3），
进而由两点式写出A′B的直线方程为：y=−（x-1）．
令x=0，求得y=．所以C点坐标为（0，）．
那么根据勾股定理，可得：
AC==，BC==．
因此，AC+BC=1．
故选：B．
此题考查轴对称的基本性质，勾股定理的应用等知识点．此题考查的思维技巧性较强．
2、B
【解析】
可设大正方形边长为a,小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49,b2=4;
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2,所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2,所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得S△=xy/2,而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以，化简得2xy+4=49，式③正确；
而据式④和式②得2x=11,x=5.5,y=3.5,将x,y代入式①或③都不正确，因而式④不正确．
综上所述，这一题的正确答案为B．
3、B
【解析】
分别利用提公因式法和平方差公式进行分析即可.
【详解】
A.2x2﹣6x＝2x（x﹣3）,故错误；
B.﹣a3+ab＝﹣a （a2﹣b）；故正确；
C.﹣x2﹣y2≠﹣（x+y）（x﹣y），不能用平方差公式，故错误；
D. m2﹣9n2＝（m+3n）（m﹣3n），故错误.
利用提公因式法和平方差公式进行因式分解是解题关键.
4、C
【解析】
函数是在一个变化过程中有两个变量x，y，一个x只能对应唯一一个y．
【详解】
当给x一个值时，y有唯一的值与其对应，就说y是x的函数，x是自变量．
选项C中的图形中对于一个自变量的值，图象就对应两个点，即y有两个值与x的值对应，因而不是函数关系．
函数图像的判断题，只需过每个自变量在ｘ轴对应的点，作垂直ｘ轴的直线观察与图像的交点，有且只有一个交点则为函数图象。
5、B
【解析】
试题分析：根据正方形的性质及旋转的性质可得ΔECF是等腰直角三角形，∠DFC=∠BEC=60°，即得结果.
由题意得EC=FC，∠DCF=90°，∠DFC=∠BEC=60°
∴∠EFC=45°
∴∠EFD=15°
故选B.
考点：正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
6、B
【解析】
根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．
【详解】
在四边形ABCD中，∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PMAB，PNDC，PM∥AB，PN∥DC．
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=∠PNM．
∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN25°．
故选B．
本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
7、C
【解析】
根据三角形内角和定理可得C是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出A、B、D是否是直角三角形．
【详解】
解：A. 即，根据勾股定理逆定理可判断△ABC为直角三角形；
B. ，，，因为，即，，根据勾股定理逆定理可判断△ABC为直角三角形；
C. 根据三角形内角和定理可得最大的角，可判断△ABC为锐角三角形；
D. ，，（为正整数），因为，即，根据勾股定理逆定理可判断△ABC为直角三角形；
故选：C
本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
8、D
【解析】
解：先移项，得x2－3x＝0，再提公因式，得x（x－3）＝0，
从而得x＝0或x＝3
故选D．
本题考查因式分解法解一元二次方程．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴BC＝2AF＝6cm，
又∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=3cm.
故答案为3.
本题考查直角三角形斜边上的中线和三角形的中位线. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
10、1
【解析】
分析：根据矩形的性质、结合点A的坐标得到点D的横坐标为2，点B的纵坐标为1，根据反比例函数解析式求出点D的坐标，点B的坐标，根据矩形的周长公式计算即可．
详解：∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（2，1），
∴点D的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
当x=2时，y==3，
当y=1时，x=6，
则AD=3-1=2，AB=6-2=4，
则矩形ABCD的周长=2×（2+4）=1，
故答案为1．
点睛：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
11、
【解析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
由题意得x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12、x（y+2）2
【解析】
原式先提取x，再利用完全平方公式分解即可。
【详解】
解：原式=，故答案为：x（y+2）2
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
13、 (0，0)、(0，)、(4，0)
【解析】
由平面直角坐标系的特点可知当P和O重合时三角形PAB是直角三角形，由射影定理逆定理可知当AO2＝BO•P′O时，三角形PAB是直角三角形或BO2＝AO•OP″时三角形PAB也是直角三角形．
【详解】
如图：
①由平面直角坐标系的特点：AO⊥BO，所以当P和O重合时三角形PAB是直角三角形，
所以P的坐标为：(0，0)；
②由射影定理逆定理可知当AO2＝BO•P′O时三角形PAB是直角三角形，
即：12＝2•OP′，
解得OP′＝；
故P点的坐标是(0，)；
同理当BO2＝AO•OP″时三角形PAB也是直角三角形，
即22＝1OP″
解得OP″＝4，
故P点的坐标是(4，0)．
故答案为(0，0)、(0，)、(4，0)
主要考查了坐标与图形的性质和直角三角形的判定．要把所有的情况都考虑进去，不要漏掉某种情况．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）BD=2 （2） （3）120° 30°
【解析】
.
分析：（1）根据勾股定理计算即可；
（2）连接AP，当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，利用勾股定理求出最小值；
（3）分两种情况考虑：①当E在BC延长线上时，如图2所示，△PCE为等腰三角形，则CP=CE；②当E在BC上，如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，分别求出∠PEC的度数即可．
详解：（1）BD==2 ；
（2）如图1所示：当AP与PE在一条线上时，PE+PC最小，

∵AB=，BE=t，
∴PE+PC的最小值为，
（3）分两种情况考虑：
①当点E在BC的延长线上时，

如图2所示，△PCE是等腰三角形，则CP=CE，
∴∠CPE=∠CEP，
∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，
∵在正方形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，
∵∠BAP+∠PEC=90°，
∴2∠PEC+∠PEC=90°，
∴∠PEC=30°；
②当点E在BC上时，

如图3所示，△PCE是等腰三角形，则PE=CE，
∴∠CPE=∠PCE，
∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PBA=∠PBC=45°，
又AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∵∠BAP+∠AEB=90°，
∴2∠BCP+∠BCP=90°，
∴∠BCP=30°，
∴∠AEB=60°，
∴∠PEC=180°-∠AEB=120° .
点睛：本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短及分类讨论的数学思想，运用勾股定理是解（1）的关键，确定点P的位置是解（2）的关键，分两种情况讨论是解（3）的关键.
15、（1）6；（2）4
【解析】
（1）首先利用勾股定理求出EF的长，然后结合题意利用菱形的性质证明出△DOE为等腰三角形，由此求出DO，最后进一步求解即可；
（2）过点A作AN⊥OE，垂足为E，在Rt△AON中，利用勾股定理求出AN的长，然后进一步根据反比例函数的性质求出值即可.
【详解】
（1）∵，
∴EF=，∠OEF=∠OFE=45°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA=AB=BC=OC，OB⊥AC，DO=DB，
∴△DOE为等腰三角形，
∴DO=DE=EF=3，
∴OB=2DO=6；
（2）
如图，过点A作AN⊥OE，垂足为E，则△ANE为等腰直角三角形，
∴AN=NE，
设AN=，则NE=，ON=，
在Rt△AON中，由勾股定理可得：，
解得：，，
当时，A点坐标为：(，)，C点坐标为：(，)；
当时，C点坐标为：(，)，A点坐标为：(，)；
∴.
本题主要考查了菱形的性质和等腰三角形性质与判定及勾股定理和反比例函数性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16、（1）画图见解析，A1（3，4），B1（0，2）；（2）以A、B、A1、B1为顶点的四边形为平行四边形，理由见解析.
【解析】
(1)延长AO至A1，A1O=AO, 延长BO至B1，B1O=AO,顺次连接A1B1O,再根据关于原点对称的点的坐标关系，写出A1，B1的坐标．（2）由两组对边相等，可知四边形是平行四边形.
【详解】
解:（1）如图图所示，△OA1B1即为所求，
A1（3，4）、B1（0，2）；
（2）由图可知，OB=OB1=2、OA=OA1==5，
∴四边形ABA1B1是平行四边形．
本题考核知识点：图形旋转，中心对称和点的坐标，平行四边形判定. 解题关键点：熟记关于原点对称的点的坐标关系，掌握平行四边形的判定定理.
17、（1）画图见解析；（2）1
【解析】
试题分析：（1）利用网格特点，延长AC到A1使A1C=AC，延长BC到B1使B1C=BC，C点的对应点C1与C点重合，则△A1B1C1满足条件；
（2）四边形AB1A1B的对角线互相垂直平分，则四边形AB1A1B为菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可．
试题解析：（1）如图，△A1B1C1为所作：
（2）四边形AB1A1B的面积=×6×4=1．
考点：作图-旋转变换；作图题．
18、（1）15，15；（2）13（元）；（3）7800（元）．
【解析】
试题分析：（1）根据众数的定义即出现次数最多的数据进而得出即可，再利用中位数的定义得出即可；
（2）利用条形统计图得出各组频数，再根据加权平均数的公式计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想，用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．
解：（1）数据15元出现了20次，出现次数最多，所以众数是15元；
数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即（15+15）÷2=15（元）．
故答案为15，15；
（2）50名同学捐款的平均数=（5×8+10×14+15×20+20×6+25×2）÷50=13（元）；
（3）估计这个中学的捐款总数=600×13=7800（元）．
考点：条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.
【解析】
只有非负数才有平方根，可知两个被开方数都是非负数，即可求得x的值，进而得到y，从而求解．
【详解】
解：由题意得
解得：x=1，
把x=1代入已知等式得：y=0，
所以，x+y=1.
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
20、
【解析】
根据分式的减法和乘法可以解答本题．
【详解】
解:
,
故答案为:
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
21、59
【解析】
由题意得，,解得a=59.
故答案为59.
22、-5、-4、-3、-2、-1
【解析】
求出不等式的解集，取解集范围内的负整数即可.
【详解】
解：移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
即
所以原不等式的负整数解为：-5、-4、-3、-2、-1
故答案为：-5、-4、-3、-2、-1
本题主要考查了求不等式的整数解，确定不等式的解集是解题的关键.
23、
【解析】
根据二次根式的性质得出|a−b|，根据绝对值的意义求出即可．
【详解】
∵a＜0＜b，
∴|a−b|＝b−a．
故答案为：．
本题主要考查对二次根式的性质，绝对值等知识点的理解和掌握，能根据二次根式的性质正确进行计算是解此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、.
【解析】
设一次函数解析式为y=kx+b，把两个已知点的坐标代入得到b、k的方程组，然后解方程组即可．
【详解】
解：设这个一次函数的解析式为，
把，代入中，得
，
解得，
所以一次函数的解析式为.
考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
25、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，从而得到∠B=∠C，然后再用AAS证明△ABD≌△ACD即可得证．
（2）由∠BAC=60°和AB=AC可得△ABC为等边三角形，从而得到AB=BC=6，再由勾股定理求出高AD，即可求△ABC的面积．
【详解】
（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，∠BAD=∠CAD
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∵BD=CD，DE=DF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴∠B=∠C
在△ABD和△ACD中，
∵∠BAD=∠CAD，∠B=∠C，BD=CD
∴△ABD≌△ACD（AAS）
∴AB=AC
（2）∵∠BAC=60°，AB=AC
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=6
又∵△ABD≌△ACD（已证）
∴∠ADB=∠ADC=90°
∵BC=6，BD=CD
∴BD=3
在Rt△ABD中，AD=
∴S△ABC=
本题考查全等三角形，等边三角形的判定与性质与勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理，得出全等条件是解题的关键．
26、（1）m＝100（2）两种方案
【解析】
（1）用总价除以单价表示出购进童装的数量，根据两种童装的数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进甲种童装x件，表示出乙种童装（200-x）件，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据童装的件数是正整数解答；设总利润为W，表示出利润，求得最值即可．
【详解】
（1）根据题意可得：，
解得：m＝100，
经检验m＝100是原方程的解；
（2）设甲种童装为x件，可得：，
解得：98≤x＜100，
因为x取整数，
所以有两种方案：
方案一：甲98，乙102；
方案二：甲99，乙101；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
价格
甲
乙
进价（元/件）
m
m+20
售价（元/件）
150
160