2025届北京市第十四中学数学九上开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】

这是一份2025届北京市第十四中学数学九上开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，菱形ABCD中，对角线AC等于，∠D=120°，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．54C．36D．
2、（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（ ）
A．18°B．36°C．72°D．108°
3、（4分）若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A．±B．4C．±或4D．4或－
4、（4分）使下列式子有意义的实数x的取值都满足的式子的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）某电子产品经过连续两次降价，售价由元降到了元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）平行四边形的一边长为10，则它的两条对角线长可以是( )
A．10和12B．12和32C．6和8D．8和10
7、（4分）我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为：111、96、47、68、70、77、105，则这七天空气质量指数的平均数是（ ）
A．71.8B．77C．82D．95.7
8、（4分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=6，AC=4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）数据、、、、的方差是____．
10、（4分）观察下列各式：32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41…根据发现的规律得到132= ____ + ____．
11、（4分）如图，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．
12、（4分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为分，分，，.那么成绩较为整齐的是______班.
13、（4分）如图，小明作出了边长为2的第1个正△，算出了正△的面积．然后分别取△的三边中点、、，作出了第2个正△，算出了正△的面积；用同样的方法，作出了第3个正△，算出了正△的面积，由此可得，第2个正△的面积是__，第个正△的面积是__．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某商家在国庆节前购进一批A型保暖裤，十月份将此保暖裤的进价提高40%作为销售价，共获利1000元. 十一月份，商家搞“双十一”促销活动，将此保暖裤的进价提高30%作为促销价，销量比十月份增加了30件，并且比十月份多获利200元. 此保暖裤的进价是多少元？（请列分式方程进行解答）
15、（8分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，若BC＝10cm，AB＝8cm，求EF的长．
16、（8分）如图，中，，点从点出发沿射线移动，同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、的移动速度相同，与直线相交于点.
（1）如图1，当点在线段上时，过点作的平行线交于点，连接、，求证：点是的中点；
（2）如图2，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动过程中，线段、、有何数量关系？请直接写出你的结论： .
17、（10分）如图，点D是△ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点。
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）已知AD＝6，BD＝4，CD＝3，∠BDC＝90°，求四边形EFGH的周长。
18、（10分）□ABCD中，AC=6，BD=10，动点P从B出发以每秒1个单位的速度沿射线BD匀速运动，动点Q从D出发以相同速度沿射线DB匀速运动，设运动时间为t秒.

（1）当t =2时，证明以A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形.
（2）当以A、P、C、Q为顶点的四边形为矩形时，直接写出t的值.
（3）设PQ=y，直接写出y与t的函数关系式.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分））如图，Rt△ABC中，C= 90，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ．
20、（4分）在平面直角坐标系中，正方形、正方形、正方形、正方形、…、正方形按如图所示的方式放置，其中点，，，，…，均在一次函数的图象上，点，，，，…，均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______．
21、（4分）如果一梯子底端离建筑物9 m远，那么15 m长的梯子可到达建筑物的高度是____m．
22、（4分）两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6，则线段OP＝______．
23、（4分）函数中，自变量x的取值范围是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F.求证：DE＝BF＋EF.
25、（10分）已知：如图，在中，，，为外角的平分线，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？并给予证明
26、（12分） “中国汉字听写大会”是由中央电视台和国家语言文字工作委员会联合主办的节目，希望通过节目的播出，能吸引更多的人关注对汉字文化的学习．某校也开展了一次“汉字听写”比赛，每位参赛学生听写40个汉字．比赛结束后随机抽取部分学生的听写结果，按听写正确的汉字个数x绘制成了以下不完整的统计图．
根据以上信息回答下列问题：
（1）本次共随机抽取了 名学生进行调查，听写正确的汉字个数x在 范围的人数最多；
（2）补全频数分布直方图；
（3）各组的组中值如下表所示．若用各组的组中值代表各组每位学生听写正确的汉字个数，求被调查学生听写正确的汉字个数的平均数；
（4）该校共有1350名学生，如果听写正确的汉字个数不少于21个定为良好，请你估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
如图，连接BD交AC于点O，根据菱形的性质和等腰三角形的性质可得AO的长、BO=DO、AC⊥BD、∠DAC =30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和勾股定理可求出OD的长，即得BD的长，再根据菱形的面积=对角线乘积的一半计算即可.
【详解】
解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AO=CO=，BO=DO，AC⊥BD，
∵∠ADC=120°，∴∠DAC=∠ACD=30°，∴AD=2DO，
设DO=x，则AD=2x，在直角△ADO中，根据勾股定理，得，解得：x=3，（负值已舍去）∴BD=6，
∴菱形ABCD的面积=．
故选：D．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理和30°角的直角三角形的性质等知识，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
2、B
【解析】
由AB=AC，知道顶∠A的度数，就可以知道底∠C的度数，还知道BC=BD，就可以知道∠CDB的度数，在利用三角形的外角∠A+∠ABD=∠CDB，就可以求出ABD的度数
【详解】
解，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠C=72°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠C=72°，
又∵∠A+∠ABD=∠BDC ∴∠ABD=∠BDC-∠A=72°-36°=36°
本题主要考查等腰三角形的性质，结合角度的关系进行求解
3、D
【解析】
把y=8代入第二个方程，解得x=4大于2，所以符合题意；
把y=8代入第一个方程，解得： x=，
又由于x小于等于2，所以x=舍去，
所以选D
4、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件依次判断各项即可.
【详解】
选项A，，-x≥0且，解得x≤0且x≠-1，选项A错误；
选项B，，x+1>0，解得x>-1，选项B错误；
选项C，，x+1≥0且1-x≥0，解得-1≤x≤1，选项C错误；
选项D， ，x-1≥0且1-x≠0，解得x＞1，选项D正确.
故选D.
本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式及分式有意义的条件是解决问题的关键.
5、B
【解析】
可根据：原售价×（1-降价的百分率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程.
【详解】
设平均每月降价的百分率为，则依题意得：，故选B.
本题考查列一元二次方程，解题的关键读懂题意，掌握原售价×（1-降价的百分率）2=降低后的售价.
6、A
【解析】
根据平行四边形的性质推出OA=OC=AC，OB=OD=BD，求出每个选项中OA和OB的值，再判断OA、OB、AD的值是否能组成三角形即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
A、∵AC=10，BD=12，∴OA=5，OD=6，∵6-5＜10＜6+5，∴此时能组成三角形，故本选项符合题意；
B、∵AC=12，BD=32，∴OA=6，OD=16，∵16-6=10，∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵AC=6，BD=8，∴OA=3，OD=4，∵3+4＜10，∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、∵AC=8，BD=10，∴OA=4，OD=5，∵4+5＜10，∴此时不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质，关键是判断OA、OB、AD的值是否符合三角形的三边关系定理．
7、C
【解析】
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，因此，
。故选C。
8、B
【解析】
∵点，分别是边，的中点，
.故选B.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
分析：先求平均数，根据方差公式求解即可.
详解：数据1,2,3,3,6的平均数
∴数据1，2，3，3，6的方差：

故答案为：
点睛：考查方差的计算，记忆方差公式是解题的关键.
10、84 1
【解析】
认真观察三个数之间的关系可得出规律：，由此规律即可解答问题．
【详解】
解：由已知等式可知，，
∴
故答案为：84、1．
本题考查了数字的规律变化，解答本题的关键是仔细观察所给式子，要求同学们能由特殊得出一般规律．
11、10
【解析】
本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．
【详解】
如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．
连接OC，交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD＝4cm．
设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，
解得R＝5，
∴该光盘的直径是10cm．
故答案为：10.
此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．
12、乙
【解析】
根据平均数与方差的实际意义即可解答.
【详解】
解：已知两班平均分相同，
且>，
故应该选择方差较小的，
即乙班.
本题考查方差的实际运用，在平均数相同时方差较小的结果稳定.
13、,
【解析】
根据等边三角形的性质求出正△A1B1C1的面积，根据三角形中位线定理得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
正△的边长，
正△的面积，
点、、分别为△的三边中点，
，，，
△△，相似比为，
△与△的面积比为，
正△的面积为，
则第个正△的面积为，
故答案为：；．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、50元
【解析】
根据题意可得：十月份卖出保暖裤的数量+30=十一月份卖出的数量，据此列分式方程解答即可.
【详解】
解：设此保暖裤的进价是x元.
由题意得
化简，得
解得 x=50
经检验，x=50是原分式方程的解.
答：此保暖裤的进价是50元.
本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程的结果要检验.
15、EF＝5 cm．
【解析】
根据折叠的性质得到AF=AD，DE=EF，根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：由折叠的性质可知，AF＝AD＝BC＝10 cm，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝6(cm)，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4(cm)
设EF＝x cm，则DE＝EF＝x，CE＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+FC2，即x2＝(8﹣x)2+42，
解得x＝5，
即EF＝5cm．
本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
16、（1）见解析；（2）或.
【解析】
（1）由题意得出BD=CE，由平行线的性质得出∠DGB=∠ACB，由等腰三角形的性质得出∠B=∠ACB，得出∠B=∠DGB，证出BD=GD=CE，即可得出结论；
（2）由（1）得：BD=GD=CE，由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM，由平行线得出GF=CF，即可得出结论．
【详解】
（1）四边形CDGE是平行四边形．理由如下：
∵D、E移动的速度相同，
∴BD=CE，
∵DG∥AE，
∴∠DGB=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠DGB，
∴BD=GD=CE，
又∵DG∥CE，
∴四边形CDGE是平行四边形；
（2）当点D在AB边上时，BM+CF=MF；理由如下：
如图2，
由（1）得：BD=GD=CE，
∵DM⊥BC，
∴BM=GM，
∵DG∥AE，
∴GF=CF，
∴BM+CF=GM+GF=MF．
同理可证，当D点在BA的延长线上时，可证， 如图3，4.
本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
17、（1）见解析；（2）周长为：11.
【解析】
（1）根据三角形的中位线的定理和平行四边形的判定即可解答；
（2）利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解.
【详解】
（1）证明：∵点E，F 分别是AB，AC 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF∥BC 且EF＝BC；
又∵点H，G 分别是BD，CD 的中点，∴HG 是△BCD 的中位线，∴HG∥BC
且HG＝BC；
∴EF∥HG 且EF＝HG，∴四边形EFGH 是平行四边形.
（2）∵点E，H 分别是AB，BD 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH＝AD＝3；
∵∠BDC＝90°，∴△BCD 是直角三角形；
在Rt△BCD 中，CD＝3，BD＝4，∴由勾股定理得：BC＝5；
∵HG＝BC，∴HG＝；
由（1）知，四边形EFGH 是平行四边形，∴周长为2EH+2HG＝11.
本题考查了三角形中位线定理, 勾股定理，掌握三角形中位线定理, 勾股定理是解决问题的关键.
18、 (1)见解析;(2) t =2或t =8；(3) y=-2t+10（0≤t≤5时），y=2y-10（t>5时）.
【解析】
分析：（1）只需要证明四边形APCQ的对角线互相平分即可证明其为平行四边形.
（2）根据矩形的性质可知四边形APCQ的对角线相等，然后分两种情况即可解答.
（3）根据（2）中的图形，分两种情况进行讨论即可.
详解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=3，OB=OD=5，
当t=2时，BP=QD=2，
∴OP=OQ=3，
∴四边形APCQ是平行四边形；
（2）t =2或t =8；
理由如下：
图一：
图二：
∵四边形APCQ是矩形，
∴PQ=AC=6，
则BQ=PD=2，
第一个图中，BP=6+2=8，则此时t=8；
第二个图中，BP=2，则此时t=2.
即以A、P、C、Q为顶点的四边形为矩形时，t的值为2或8；
（3）根据（2）中的两个图形可得出：
y=-2t+10（时），
y=2y-10（时）.
点睛：本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的判定，结合题意画出图形是解答本题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、4．
【解析】
正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．
【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB．
∴∠AOM+∠BOF=90°．
又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°．∴∠BOF=∠OAM．
在△AOM和△BOF中，
∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，
∴△AOM≌△BOF（AAS）．∴AM=OF，OM=FB．
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形．∴AM=CF，AC=MF=2．
∴OF=CF．∴△OCF为等腰直角三角形．
∵OC=3，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（3）2，解得：CF=OF=3．
∴FB=OM=OF－FM=3－2=4．∴BC=CF+BF=3+4=4．
20、（2n-1-1，2n-1）
【解析】
首先求得直线的解析式，分别求得，，，…的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．
【详解】
】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），
∴正方形A1B1C1O边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，
∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），
代入y=kx+b得
，
解得：

则直线的解析式是：y=x+1．
∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），
∴A1的纵坐标是1，A2的纵坐标是2．
在直线y=x+1中，令x=3，则纵坐标是：3+1=4=22；
则A4的横坐标是：1+2+4=7，则A4的纵坐标是：7+1=8=23；
据此可以得到An的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1-1．
故点An的坐标为 （2n-1-1，2n-1）．
故答案是：（2n-1-1，2n-1）．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．
21、12
【解析】
∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，
∴另一直角边长=，
故梯子可到达建筑物的高度是12m．
故答案是：12m.
22、
【解析】
根据HL定理证明，求得，根据余弦求解即可；
【详解】
∵OM=ON，OP=OP，，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴，
∵OM＝6，
∴．
故答案是．
本题主要考查了直角三角形的性质应用，结合三角函数的应用是解题的关键．
23、x≠1
【解析】
根据分母不等于0，可以求出x的范围；
【详解】
解：（1）x-1≠0，解得：x≠1；
故答案是：x≠1，
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
【分析】由正方形性质和垂直定义，根据AAS证明△ABF≌△DAE，得BF=AE．DE=AF，
可得结论.
【详解】解：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE＋∠DAE=90°
又∵∠BAF＋∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=BAF．
∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF与△DAE中，
AD=AB，
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
∴BF=AE．DE=AF，
∵AF=AE＋EF，
∴DE=BF＋EF．
【点睛】本题考核知识点：正方形性质.解题关键点：证三角形全等得对应线段相等.
25、（1）见解析 （2） ，理由见解析．
【解析】
（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）由正方形的性质逆推得，结合等腰三角形的性质可以得到答案．
【详解】
（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=×180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）当时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC， AD⊥BC ，
， ，
∵四边形ADCE为矩形， ∴矩形ADCE是正方形．
∴当时，四边形ADCE是一个正方形．
本题考查矩形的判定以及正方形的性质的应用，同时考查了等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是关键．
26、（1）50，；（2）见解析(3)被调查学生听写正确的汉字个数的平均数是23个.(4)810人
【解析】
由统计图表可知：（1）抽取的学生总数是10÷1%，听写正确的汉字个数21≤x＜31范围内的人数最多；（2）先求出11≤x＜21一组的人数和21≤x＜31一组的人数，再画统计图；（3）根据： ；（4）良好学生数：
【详解】
（1）抽取的学生总数是10÷1%=50（人），听写正确的汉字个数21≤x＜31范围内的人数最多，
故答案是：50，21≤x＜31；
（2）11≤x＜21一组的人数是：50×30%=15（人），
21≤x＜31一组的人数是：50﹣5﹣15﹣10=1．
；
（3）=23（个）．
答：被调查学生听写正确的汉字个数的平均数是23个．
（4）=810（人）．
答：估计该校本次“汉字听写”比赛达到良好的学生人数约为810人．
本题考核知识点：统计初步. 解题关键点：从统计图表获取信息，用样本估计总体.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
听写正确的汉字个数x
组中值
1≤x＜11
6
11≤x＜21
16
21≤x＜31
26
31≤x＜41
36