沪教版2024-2025学年七年级上册同步提升讲义第07讲积的乘方幂的运算综合应用(八大题型)(学生版+解析)

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第07讲 积的乘方 幂的运算综合应用（八大题型） 一、积的乘方法则 (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.【方法规律】（1）公式的推广： (为正整数). （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：二、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式或整式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【即学即练1】计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【即学即练2】计算：(1)；(2)；(3)；(4)；【即学即练3】计算： ．【即学即练4】已知，那么 ．【即学即练5】已知，，则的值为 ．题型1：积的乘方【典例1】．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【典例2】．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例3】．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型2：幂的运算综合【典例4】．计算(1)(2)(3)(4)【典例5】．计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．题型3：积的乘方的逆用—因数互为倒数【典例6】．计算： ．【典例7】．计算： ．【典例8】．计算： ．题型4：幂的运算的应用—求代数式的值【典例9】．（1）已知，，求的值；（2）已知，，求的值．【典例10】．（1）已知，，用，表示的值；（2）已知，，求的值．【典例11】．已知，，求的值．【典例12】．若x3n＝3，则（2x3n）3＋（﹣3x2n）3＝ ．【典例13】．已知：.试用含x，y，z的代数式表示下列各式：(1)(2)(3)题型5：幂的运算的应用—表示关系【典例14】．已知2m=x ，43m=y ，用含有字母x  的代数式表示y ，则y= ．【典例15】．若，，则代数式与之间关系是 ．【典例16】．若，则代数式xy与之间关系是 ．题型6：幂的运算的应用—求参数的值【典例17】．已知27b＝9×3a-3，16＝4×22b﹣2，则a-b的值为 ．【典例18】．若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：(1)如果，则___________；(2)如果，求的值．(3)如果，求的值．【典例19】．下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．(1)计算：①；②(2)若，请求出n的值．【典例20】．若（且，m，n都是正整数），则．利用上述结论解决下列问题：(1)若，求n的值；(2)若，求x的值．题型7：幂的运算的应用—比较大小【典例21】．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程](1)比较大小：______，______；（填“>”、“”、“，< (2)< (3)< 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，”即可比较和的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有，即可比较和的大小；（2）据“对于同底数，不同指数的两个幂和，当时，则有”，即可比较与的大小；（3）利用作商法，即可比较和的大小．【解析】（1）解：，∴>，∵，，122