中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)专题突破05二次函数的实际应用题(针对第22、23题)特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学考前必刷题型突破方案(安徽专版)专题突破05二次函数的实际应用题(针对第22、23题)特训(原卷版+解析)，共52页。
类型一：利润问题（2018年22题，2017年22题，2013年22题）
类型二：抛物线形问题（2022年23题，2012年23题）
类型三：几何图形面积问题（2015年22题）
类型一：利润问题
求实际问题中二次函数的最值问题需注意：若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则二次函数在顶点处取最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值。
一．解答题（共9小题）
1．（2023•明光市一模）合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元．
（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润＝总租金﹣总支出）
2．（2023•安庆一模）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化．据调查：
①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示．
（1）求该产品在六月份的单件生产成本；
（2）该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
（3）结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益＝单件售价﹣单件成本）
3．（2023•蜀山区校级一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高1元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变）
（1）若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润wA元，wB元与x之间的函数关系式；
（2）物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？
4．（2023•蚌山区校级二模）某水果店一种水果的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式；
（2）若将这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围，求这种水果日销售量的范围；
（3）已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过10千克的条件下可获得的最大毛利润．（假设：毛利润＝销售额﹣购进成本）
5．（2023春•萧县月考）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）物价部门规定，该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%，当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
6．（2023•怀宁县一模）怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数解析式为y1＝；栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣32x+33400（0≤x≤1000）．
（1）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，帮社区求出W的最大值；
（2）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于200m2，请求出W的最小值．
7．（2013•安徽）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
8．（2023•怀远县二模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
9．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
类型二：抛物线形问题
一．解答题（共10小题）
1．（2023•安徽二模）某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮框水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知篮圈中心B到地面的距离为3.05米，篮球每一次投出时离地面的距离都为2.05米．图中所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度为3.55米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．
2．（2012•安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
3．（2023•凤阳县二模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
4．（2023•全椒县模拟）如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段OA，OB，另一边曲线ACB为抛物线的一部分，其中C点为抛物线的顶点，CD⊥OA于D，以OA边所在直线为x轴，OB边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位代表1米．已知OD＝1米，DA＝2米，CD＝4米．
（1）求曲线ACB所在抛物线的函数表达式；
（2）若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为h米，求h的取值范围；
（3）如图（2），若在该钢板余料中截取一个△PBD，其中点P在抛物线ACB上，记△PBD的面积为S，求S的最大值．
5．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
6．（2023•芜湖模拟）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线A→B→C的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求OM＝MN．如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
7．（2023•亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5时，解答下列问题.
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
8．（2023•庐阳区校级二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
9．（2023•滁州二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．
（1）如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；
（3）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
10．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
类型三：几何图形面积问题
一．解答题（共6小题）
1．（2023•蜀山区校级模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
2．（2022•安徽三模）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝﹣+bx刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标（3，n）．
（1）请求出b和n的值；
（2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
（3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接PO，PM，当点P的坐标为何值时？△POM的面积最大，最大面积是多少？
3．（2021•霍邱县一模）一段长为30m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用100m长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为10m的正方形，设CD＝xm．
（1）若矩形CDHG面积为125m2，求CD长；
（2）当CD长为多少m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？
4．（2022•瑶海区三模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤AC≤BD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？
5．（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
6．（2021•安徽模拟）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若AE＝a，用含有a的式子表示BE的长，并直接写出a的取值范围；
（2）求矩形ABCD的面积y关于a的解析式，并求出面积的最大值．
售价x（元/千克）
6
8
10
日销售量y（千克）
20
18
16
销售量p（件）
p＝50﹣x
销售单价q（元/件）
当1≤x≤20时，q＝30+x
当21≤x≤40时，q＝20+
专题突破05二次函数的实际应用题（针对第22、23题）
【安徽十年真题考点及分值细目表】
类型一：利润问题（2018年22题，2017年22题，2013年22题）
类型二：抛物线形问题（2022年23题，2012年23题）
类型三：几何图形面积问题（2015年22题）
类型一：利润问题
求实际问题中二次函数的最值问题需注意：若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则二次函数在顶点处取最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值。
一．解答题（共9小题）
1．（2023•明光市一模）合肥市某公司投入40辆同型号汽车准备成立汽车租赁分公司．市运管所规定每辆汽车的日租金按10元的整数倍收取但不得超过250元．汽车租赁分公司试运营了一段时间后发现营运规律如下：当每辆汽车的日租金不超过150元时，40辆汽车可以全部租赁出去；当每辆汽车的日租金超过150元时，每增加10元，租赁出去的汽车数量将减少2辆．已知租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需20元，没有租赁出去的汽车每辆一天各项支出共需10元，另外公司每天还需支出的管理费及其他各项经费共1800元．
（1）汽车租赁分公司正式运营的第一周实行优惠活动，在40辆汽车能全部租出的前提下，要求保证每天总租金不低于总支出，则每辆汽车的日租金至少为多少元？
（2）每辆汽车的日租金定为多少元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大？这个最大利润是多少？（总利润＝总租金﹣总支出）
【分析】（1）设每辆汽车的日租金为x元，根据“40辆汽车能全部租出，且每天总租金不低于总支出”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为10的整数倍即可得出结论；
（2）设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，分m≤150及m＞150两种情况考虑，当m≤150时，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出w的最大值；当m＞150时，每天可租出辆，利用总利润＝总租金﹣总支出，即可得出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可找出w的最大值．再将两个最大值比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每辆汽车的日租金为x元，
依题意得：{x≤15040x≥20×40+1800，
解得：65≤x≤150，
又∵x为10的整数倍，
∴x的最小值为70．
答：每辆汽车的日租金至少为70元；
（2）设每辆汽车的日租金为m元，该汽车租赁公司一天总利润为w元，
当m≤150时，w＝40m﹣20×40﹣1800＝40m﹣2600，
∵40＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝150时，w取得最大值，最大值＝40×150﹣2600＝3400（元）；
当m＞150时，每天可租出辆，
∴
＝
＝，
∵，
∴当m＝180时，w取得最大值，最大值为3580．
又∵3400＜3580，
∴每辆汽车的日租金定为180元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大；这个最大利润是3580元．
答：每辆汽车的日租金定为180元时，可使汽车租赁分公司每天的总利润最大；这个最大利润是3580元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）分m≤150及m＞150两种情况，找出w关于m的函数关系式．
2．（2023•安庆一模）某公司生产的一种季节性产品，其单件成本与售价随季节的变化而变化．据调查：
①该种产品一月份的单件成本为6.6元/件，且单件成本每月递增0.2元/件；
②该种产品一月份的单件售价为5元/件，六月份的单件售价最高可达到10元/件，单件售价y（元/件）与时间x（月）的二次函数图象如图所示．
（1）求该产品在六月份的单件生产成本；
（2）该公司在哪个月生产并销售该产品获得的单件收益w最大？
（3）结合图象，求在全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损？（注：单件收益＝单件售价﹣单件成本）
【分析】（1）由题意，可列出式子求出六月份的单件生产成本；
（2）先求出单件成本的函数（题意）和单件售价的函数（待定系数法），从而表示出单件收益W，进而由二次函数的性质求出结果；
（3）由题意列出W＞0解出x的范围，进而得出全年生产与销售中一共有几个月产品的单件收益不亏损．
【解答】解析：（1）由题意知：该种产品的单件成本n与月份x之间的关系满足：n＝0.2x+b，
当x＝1时，n＝6.6，可得b＝6.4．
∴六月份的单件生产成本为：0.2×6+6.4＝7.6（元/件）；
答L该产品在六月份的单件生产成本为7.6元/件．
（2）设单件售价y与月份x之间的函数关系式为：y＝a（x﹣6）2+10，
∵x＝1时，y＝5，
∴a（1﹣6）2+10＝5，解得：．
所以单件收益，
配方得：w＝，
∴当x＝5或6时，w值最大，
答：该企业在5月份或6月份生产并销售该产品获得的单件收益最大；
（3）单件收益不亏损需满足：，
由，得（x﹣2）（x﹣9）＝0，即x＝2或x＝9，
结合图象可知：当x＝2，3，4，5，6，7，8，9时，w≥0，
即全年一共有8个月单件收益不亏损．
答：求在全年生产与销售中一共有8个月产品的单件收益不亏损．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题，属于中考常考题型．
3．（2023•蜀山区校级一模）某快餐店给顾客提供A，B两种套餐．套餐A每份利润8元，每天能卖90份；套餐B每份利润10元，每天能卖70份．若每份套餐A价格提高1元，每天少卖出4份；每份套餐B价格提高1元，每天少卖出2份．（注：两种套餐的成本不变）
（1）若每份套餐价格提高了x元，求销售套餐A，B每天的总利润wA元，wB元与x之间的函数关系式；
（2）物件部门规定这两种套餐提高的价格之和为10元，问套餐A提高多少元时，这两种套餐每天利润之和最大？
【分析】（1）根据每份A或B的利润×销售量＝每天销售的A套餐或B套餐的利润列出函数解析式即可；
（2）根据每天的总利润＝A，B套餐的利润之和列出函数解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）根据题意得：wA＝（8+x）×（90﹣4x）＝﹣4x2+58x+720；
wB＝（10+x）（70﹣2x）＝﹣2x2+50x+700；
∴销售套餐A总利润wA元与x之间的函数关系式为wA＝﹣4x2+58x+720；销售套餐B总利润wB元与x之间的函数关系式为wB＝﹣2x2+50x+700；
（2）设每份套餐A提高x元，每份套餐B提高（10﹣x）元，两种套餐每天利润之和为w元，
根据题意得：w＝wA+wB
＝﹣4x2+58x+720﹣2（10﹣x）2+50（10﹣x）+700
＝﹣4x2+58x+720﹣200+40x﹣2x2+500﹣50x+700
＝﹣6x2+48x+1720
＝﹣6（x﹣4）2+1816，
∵﹣6＜0，
∴当x＝4时，w有最大值，最大值为1816，
答：套餐A提高4元时，这两种套餐每天利润之和最大．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
4．（2023•蚌山区校级二模）某水果店一种水果的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表．
（1）求这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式；
（2）若将这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围，求这种水果日销售量的范围；
（3）已知这种水果购进的价格为4元/千克，求这种水果在日销售量不超过10千克的条件下可获得的最大毛利润．（假设：毛利润＝销售额﹣购进成本）
【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式的性质求出y的取值范围；
（3）设毛利润为w元，根据毛利润＝销售额﹣购进成本列出函数解析式，利用函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝6，y＝20；x＝8，y＝18代入解析式，
则，
解得，
∴这种水果日销售量y与销售价格x之间的函数关系式为y＝﹣x+26；
（2）当x＝6时，y＝﹣6+26＝20，
当x＝12时，y＝﹣12+26＝14，
∵在y＝﹣x+26中，﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴14≤y≤20，
∴这种水果每千克的价格限定在6元～12元的范围时，这种水果日销售量的范围为14千克～20千克；
（3）设毛利润为w元，
根据题意得：w＝x（﹣x+26）﹣4（﹣x+26）＝﹣x2+30x﹣104＝﹣（x﹣15）2+121，
∵这种水果在日销售量不超过10千克，
∴﹣x+26≤10，
解得x≥16，
∵﹣1＜0，
∴当x＞15时，y随x的增大而减小，
∴当x＝16时，y有最大值，最大值为120元，
答：最大毛利润为120元．
【点评】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，关键是求出函数解析式．
5．（2023春•萧县月考）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 180 件；
（2）物价部门规定，该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%，当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”即可解答；
（2）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，再根据该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%求出x的取值范围，由二次函数的性质即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），
故答案为：180；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＜55时，y随x的增大而增大，
∵该纪念品每件的利润不允许高于进货价的35%，
∴≤35%，
解得x≤54，
∴当x＝54时，y最大，最大值为2240，
答：当每件的销售价x为54元时，销售该纪念品每天获得的利润y最大，最大利润2240元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
6．（2023•怀宁县一模）怀宁县为了“创建文明城市，建设美丽家园”，某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花．设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数解析式为y1＝；栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2＝﹣0.01x2﹣32x+33400（0≤x≤1000）．
（1）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，帮社区求出W的最大值；
（2）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于200m2，请求出W的最小值．
【分析】（1）分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用＝种草所需总费用+种花所需总费用”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得答案；
（2）先根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于200m2，求出x的取值范围，然后根据函数解析式以及函数的性质求最值．
【解答】解：（1）①当0≤x＜600时，
W＝40x+（﹣0.01x2﹣32x+33400）＝﹣0.01x2+8x+33400＝﹣0.01（x﹣400）2+35000，
∵﹣0.01＜0，
∴当x＝400时，W最大值，最大值为35000；
②当600≤x≤1000时，
W＝30x+3200+（﹣0.01x2﹣32x+33400）＝﹣0.01x2﹣2x+36600＝﹣0.01（x+100）2+36700，
∵﹣0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x＝600时，W最大，最大值为31800，
∵31800＜35000，
∴W的最大值为35000元；
（2）由题意，得 1000﹣x≥200，
解得x≤800，
又∵x≥700，
∴700≤x≤800，
此时W＝﹣0.01x2﹣2x+36600，
∴当700≤x≤800时，W随x的增大而减小，
∴当x＝800时，W取得最小值，最小值为28600元．
答：W的最小值28600元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．
7．（2013•安徽）某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如表所示．
（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？
（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；
（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大的利润是多少？
【分析】（1）在每个x的取值范围内，令q＝35，分别解出x的值即可；
（2）利用利润＝售价﹣成本，分别求出在1≤x≤20和21≤x≤40时，y与x的函数关系式；
（3）当1≤x≤20时，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，求出一个最大值y1，当21≤x≤40时，求出一个最大值y2，然后比较两者的大小．
【解答】解：（1）当1≤x≤20时，令30+x＝35，得x＝10，
当21≤x≤40时，令20+＝35，得x＝35，经检验得x＝35是原方程的解且符合题意
即第10天或者第35天该商品的销售单价为35元/件．
（2）当1≤x≤20时，y＝（30+x﹣20）（50﹣x）＝﹣x2+15x+500，
当21≤x≤40时，y＝（20+﹣20）（50﹣x）＝﹣525，
即y＝，
（3）当1≤x≤20时，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，
∵﹣＜0，
∴当x＝15时，y有最大值y1，且y1＝612.5，
当21≤x≤40时，∵26250＞0，
∴随x的增大而减小，
当x＝21时，最大，
于是，x＝21时，y＝﹣525有最大值y2，且y2＝﹣525＝725，
∵y1＜y2，
∴这40天中第21天时该网店获得利润最大，最大利润为725元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．
8．（2023•怀远县二模）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为x元（销售单价不低于35元）
（1）求这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式；
（2）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据儿童玩具进价为每件30元，每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%，求出x的取值范围；根据总利润＝每件利润×销售量列出函数解析式；
（2）根据（1）中解析式，由函数的性质和x的取值范围求出最大值．
【解答】解：（1）∵x≤30×（1+50%）＝45，
∴x≤45，
当x＝45时，每天的销售量为350﹣50×＝250（件），
∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
根据题意得，w＝（350﹣×50）（x﹣30）＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000，
∴这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数表达式为
w＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）∵w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∵x≤45，
∴当x＝45时，w最大＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
答：当销售单价为45元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为w1，w2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示w1，w2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润＝盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，
则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根据题意，得：
w＝w1+w2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x＝10时，w最大值为9160，
当x＝11时，w最大值为9159，
9159＜9160，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值为9160，
答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润w最大，最大总利润是9160元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．
类型二：抛物线形问题
一．解答题（共10小题）
1．（2023•安徽二模）某校为了丰富校园生活，提高学生身体素质特举行定点投篮比赛．某学生站在与篮框水平距离6米的A处进行定点站立投篮比赛，学校利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．已知篮圈中心B到地面的距离为3.05米，篮球每一次投出时离地面的距离都为2.05米．图中所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，当篮球与篮框水平距离为3米时离地面最高，最大高度为3.55米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）判断本次训练篮球能否直接投中篮圈中心B？若能，请说明理由；若不能，那么在保持投篮力度和方向（即篮球飞行的抛物线形状不变）的情况下，求该球员只要向前或向后移动多少米，就能使篮球直接投中篮圈中心B．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先根据对称轴求出原抛物线与y轴的交点，即可判断出本次训练不能投中篮圈中心；设移动后的抛物线的表达式为，把B（0，3.05）代入求出h的值即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标是（﹣3，3.55），
设抛物线的表达式为y＝a（x+3）2+3.55，
∵点（﹣6，2.05）在抛物线上，
∴a（﹣6+3）2+3.55＝2.05，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∵点（﹣6，2.05）在抛物线上，
∴抛物线与y轴的交点为（0，2.05），
∵篮圈中心B坐标为（0，3.05），
∴本次训练不能投中，
设移动后的抛物线的表达式为，
∵篮球要直接投中篮圈中心B（0，3.05），
∴，
解得，（舍去），
∵．
∴，
∴该球员只要向前移动米．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
2．（2012•安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【分析】（1）利用h＝2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45，当y＝0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，或根据不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y＝a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝﹣，
故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y＝0时，，
解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y＝a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
解法二：y＝a（x﹣6）2+h过点（0，2）点，代入解析式得：
2＝36a+h，
若球越过球网，则当x＝9时，y＞2.43，即9a+h＞2.43，
解得h＞
球若不出边界，则当x＝18时，y≤0，解得h≥．
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，再根据题意确定范围．
3．（2023•凤阳县二模）如图是某隧道截面示意图，它是由抛物线和长方形构成，已知OA＝12米，OB＝4米，抛物线顶点D到地面OA的垂直距离为10米，以OA所在直线为x轴，以OB所在直线为y轴建立直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一辆特殊货运汽车载着一个长方体集装箱，集装箱宽为4米，最高处与地面距离为6米，隧道内设双向行车道，双向行车道间隔距离为2米，交通部门规定，车载货物顶部距离隧道壁的竖直距离不少于0.5米，才能安全通行，问这辆特殊货车能否安全通过隧道？
【分析】（1）抛物线顶点坐标为D（6，10），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，把点B的坐标代入即可，
（2）由图象结合题意可知，集装箱与隧道最接近的位置在此坐标系中的纵坐标为x＝6.25+4，代入（1）所得解析式，判断是够大于6.5即可．
【解答】解：（1）根据题意，顶点D的坐标为（6，10），点B的坐标为（0，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+10，
把点B（0，4）代入得：36a+10＝4，
解得：a＝﹣，
即所求抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+10；
（2）根据题意，当x＝7+4＝11时，
y＝﹣（11﹣6）2+10＝＜6.5，
∴能安全通过隧道，
答：这辆特殊货车能安全通过隧道．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是分析题意并结合图象列式求解，难度较大，综合程度较高．
4．（2023•全椒县模拟）如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段OA，OB，另一边曲线ACB为抛物线的一部分，其中C点为抛物线的顶点，CD⊥OA于D，以OA边所在直线为x轴，OB边所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位代表1米．已知OD＝1米，DA＝2米，CD＝4米．
（1）求曲线ACB所在抛物线的函数表达式；
（2）若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为h米，求h的取值范围；
（3）如图（2），若在该钢板余料中截取一个△PBD，其中点P在抛物线ACB上，记△PBD的面积为S，求S的最大值．
【分析】（1）由OD＝1米，CD＝4米，设曲线ACB所在抛物线的函数表示式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将A（3，0），代入可得答案；
（2）在y＝（x﹣1）2﹣4中，得B（0，﹣3），若在该钢板余料中截取其中一个边长为3米的矩形，则OB必为此矩形的一边，点B关于CD所在直线的对称点B'一定在抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上，根据抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的对称轴为直线x＝1，即可得该矩形的另一边长h的取值范围为0＜h≤2；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3），设直线BP的函数表达式为y＝kx﹣3，将P（m，m2﹣2m﹣3）代入得直线BP的函数表达式为y＝（m﹣2）x﹣3，设对称轴x＝1与直线BP的交点为E，可得E（1，m﹣5），DE＝5﹣m，故S＝m（5﹣m）＝﹣（m﹣）2+，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵C点为抛物线ACB的顶点，CD⊥OA于D，
∴CD所在直线为抛物线ACB的对称轴，
由OD＝1米，CD＝4米，设曲线ACB所在抛物线的函数表示式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵DA＝2米，
∴OA＝3米，A（3，0），
∴a（3﹣1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴曲线ACB所在抛物线的函数表达式y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝（x﹣1）2﹣4中，令x＝0，得y＝（0﹣1）2﹣4＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
∴OA＝OB＝3米，
若在该钢板余料中截取其中一个边长为3米的矩形，则OB必为此矩形的一边，点B关于CD所在直线的对称点B'一定在抛物线y＝（x﹣1）2﹣4上，
∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的对称轴为直线x＝1，
∴BB'＝2，
∴该矩形的另一边长h的取值范围为0＜h≤2；
（3∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴B（0，﹣3）．
设P（m，m2﹣2m﹣3），
设直线BP的函数表达式为y＝kx﹣3，将P（m，m2﹣2m﹣3）代入得：
km﹣3＝m2﹣2m﹣3，
解得k＝m﹣2，
∴直线BP的函数表达式为y＝（m﹣2）x﹣3，
设对称轴x＝1与直线BP的交点为E，
在y＝（m﹣2）x﹣3中，令x＝1得y＝m﹣5，
∴E（1，m﹣5），
∴DE＝5﹣m，
∴S＝m（5﹣m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S取最大值，最大值为．
∴S的最大值为．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的解析式．
5．（2022•安徽）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m（0＜m≤6），求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【分析】（1）通过分析A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；
（2）（ⅰ）结合矩形性质分析得出P2的坐标为（m，﹣m2+8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；
（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+8，将A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，
∴P2的坐标为（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝﹣m2+2m+24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+9≤x≤，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴当n＝时，矩形面积有最大值为，
此时P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此时P1的横坐标的取值范围为﹣+≤x≤．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
6．（2023•芜湖模拟）某大型乐园包含多项主题演出与游乐项目，其中过山车“冲上云霄”是其经典项目之一．如图所示，A→B→C为过山车“冲上云霄”的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线A→B→C的函数关系式；
（2）在轨道距离地面5米处有两个位置P和C，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线C→E→F的大小形状与抛物线A→B→C完全相同，求OE的长度；
（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，架设某种材料的水平支架和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求OM＝MN．如何设计支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出P，C坐标，再求出PC长度，通过抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，平移长度为PC，可得抛物线C→E→F解析式，可得结论；
（3）先设出M，N横坐标，再代入解析式，分别求出G，H的纵坐标，然后求出GD、GM、HI、HN之和的最小值，从而求出最少所需材料．
【解答】解：（1）由图象可设抛物线解析式为：y＝a（x﹣）2，
把A（0，）代入，得：＝a（0﹣）2，
解得：a＝，
∴抛物线A→B→C的函数关系式为y＝（x﹣）2；
（2）当y＝5时，5＝（x﹣）2，
解得：x1＝，x2＝，
∴P（，5），C（，5），
∴PC＝＝10，
∵抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，
∴抛物线C→E→F由抛物线A→B→C右平移PC个单位，
∴抛物线C→E→F为：y＝，
当y＝0时，x＝，
∴OE＝；
（3）设OM＝MN＝m，M（m，0），N（2m，0），
yG＝，yH＝，
∴l＝GD+GM+HI+HN＝m+＝m2﹣12m+＝（m﹣6）2+，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，
∴当m＝6时，l最短，最短为米，
即当OM＝MN＝6时用料最少，最少需要材料米．
【点评】本题考查二次函数的应用以及平移的性质，关键用抛物线的性质解决实际问题．
7．（2023•亳州二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5时，解答下列问题.
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（2）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
②∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（2）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
8．（2023•庐阳区校级二模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子OA，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OA水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子OA的距离为d米，求d的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子OA的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y＝﹣x+4，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点A坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令y＝1.76，解方程求出x的值，再根据函数的图象和性质，求出y＞1.76时x的取值范围即可；
（3）先作辅助线，作出直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，然后设出直线l的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线l的解析式，从而得到直线与x轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线l与直线BP之间的距离．
【解答】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为（1，2.25），A（0，1.25），
设第一象限内的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25，
将点A（0，1.25）代入物线解析式，
1.25＝a（0﹣1）2+2.25，
解得α＝﹣1，
∴第一象限内的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2.25；
（2）根据题意，令y＝1.76，
即﹣（x﹣1）2+2.25＝1.76，
解得x1＝0.3，x2＝1.7，
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，
∴当0.3＜x＜1.4时，y＞1.76，
∴d的取值范围为0.3＜x＜1.7；
（3）作直线BP的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点E，F，过点E，作EG⊥PB，垂足为G，如图所示，
∵l∥PB，
设直线l的解析式为y＝﹣x+m，
联立直线与抛物线解析式，
，
整理得x2﹣3x+m﹣1.25＝0，
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴Δ＝32﹣4×1×（m﹣1.25）＝0，
解得m＝3.5，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+3.5，
令y＝0，则x＝3.5，
∴E（3.5，0），
∴BE＝4﹣3.5＝0.5，
即EB＝，
∵射灯射出的光线与地面成45°角，
∴∠EBG45°，
∵∠EGB＝90°，
sin∠EBG＝＝，
∴EG＝×＝，
∴光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米．
【点评】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式．
9．（2023•滁州二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．
（1）如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；
（3）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
【分析】（1）根据已知可得抛物线顶点坐标为（0，9），A（﹣6，0），B（6，0），再设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+9，把B（6，0）代入，可求出a，即可得出抛物线的函数表达式；
（2）在矩形HGNM中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形HGNM的周长为，由于，且0＜m＜6，当m＝4时，矩形HGNM的周长有最大值，最大值为26；
（3）如图是画出的切割方案，分别令y＝2，y＝4，y＝6，y＝8，即可求出，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
【解答】解：（1）根据已知可得，抛物线顶点坐标为（0，9），A（﹣6，0），B（6，0），
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2+9，
把B（6，0）代入，得0＝36a+9，解得，
∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．
（2）在矩形HGNM中，设，
由抛物线的对称性可知，
∴矩形HGNM的周长为．
∵，且0＜m＜6，
∴当m＝4时，矩形HGNM的周长有最大值，最大值为26，
即矩形HGNM的最大周长为26dm．
（3）如图是画出的切割方案：
在中，令y＝2，解得，
∴；
在中，令y＝4，解得，
∴；
在中，令y＝6，解得，
∴；
在中，令y＝8，解得x＝±2，
∴KI＝4，
∴拼接后的矩形的长边长为．
【点评】本题考查了求二次函数的表达式和二次函数的图象和性质，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
10．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）①先求出点M坐标为，再求出直线OM的解析式为，进而求出EF＝＝，根据二次函数性质即可求出当时，EF有最大值；
②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到，解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．
【解答】解：（1）由题意知，抛物线顶点D的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线对应的函数的表达式为；
（2）①将x＝7.5代入中，得y＝3，
∴点，∴设直线OM的解析式为y＝kx（k≠0），
将点代入得，
∴，
∴直线OM的解析式为，
∴＝＝，∵，
∴当时，EF有最大值，为；
②∵师傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴当时，他就不能刷到大门顶部，
令，即，
解得，
又∵EF是关于m的二次函数，且图象开口向下，
∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标m的范围是．
【点评】本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键．
类型三：几何图形面积问题
一．解答题（共6小题）
1．（2023•蜀山区校级模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 （x2﹣60x+800） m2，花卉B的种植面积是 （﹣x2+30x） m2，花卉C的种植面积是 （﹣x2+20x） m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
2．（2022•安徽三模）小明将小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝﹣+bx刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，如图建立直角坐标系，小球能达到的最高点的坐标（3，n）．
（1）请求出b和n的值；
（2）小球在斜坡上的落点为M，求点M的坐标；
（3）点P是小球从起点到落点抛物线上的动点，连接PO，PM，当点P的坐标为何值时？△POM的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据对称轴为x＝3可得b的值，再根据关系式可得n的值；
（2）根据二次函数的解析式和一次函数的解析式，列出一元二次方程，求得的方程的解就是点M的坐标；
（3）作PN⊥x轴，交OM于点N，设P（a，﹣a2+3a），则N（a，a），可得△POM的面积S关于a的关系式，再根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵﹣＝3，
∴b＝3，即关系式为y＝﹣+3x，
当x＝3时，n＝﹣×9+9＝，
∴b＝3，n＝；
（2）由题意得﹣+3x＝x，
解得x＝5或0（舍去），
即点M的坐标为（5，）；
（3）作PN⊥x轴，交OM于点N，
设P（a，﹣a2+3a），则N（a，a），
∴PN＝（﹣a2+3a）﹣a＝﹣a2+a，
∴S△POM＝•PN•5＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∵0＜a≤5，
∴当a＝时，S有最大值为，此时P（，）．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
3．（2021•霍邱县一模）一段长为30m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用100m长的篱笆围成如图所示的图形（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为10m的正方形，设CD＝xm．
（1）若矩形CDHG面积为125m2，求CD长；
（2）当CD长为多少m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）由题意得：3x+20+GC＝100，可得CG＝（80﹣3x）m，根据矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣3x）x＝125，即可求解；
（2）设矩形ABCD的面积为s，则s＝BC•CD＝x（10+80﹣3x）＝﹣3（x﹣15）2+675，进而根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：3x+20+GC＝100，
解得：GC＝（80﹣3x）m，
∵BC＝BG+GC＝10+80﹣3x，
而0＜BC≤30，即0＜10+80﹣3x≤30，解得20≤x＜30，
矩形CDHG面积＝GC•CD＝（80﹣3x）x＝125，解得x＝25或（舍去），
∴CD长为25m；
（2）设矩形ABCD的面积为s，则s＝BC•CD＝x（10+80﹣3x）＝﹣3x2+90x＝﹣3（x﹣15）2+675，
∵﹣3＜0，故抛物线开口向下，
而20≤x＜30，
当x＞15时，s随x的增大而减小，
故当x＝20（m）时，s取得最大值为﹣3×（20﹣15）2+675＝600（m2）．
答：当CD长为20m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是600m2．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，确定GC的长度并求出x的取值范围是本题的关键．
4．（2022•瑶海区三模）如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设AC＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2．
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）为了使风筝在空中有较好的稳定性，要求25cm≤AC≤BD，那么当骨架AC的长为多少时，这风筝即菱形ABCD的面积最大？此时最大面积为多少？
【分析】（1）E、F、G、H分别是菱形ABCD四边的中点，得出BD＝40﹣x，根据菱形面积公式求出关于的画数关系式；
（2）求出的取值范围，整理y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣40）2+400，函数图象开口向下，自变量的取值在对称轴左侧，所以x取最大值时，面积有最大值．
【解答】解：（1）∵E、F为AB、AD中点，
∴EF＝BD．
同理：GH＝BD，
∵EF+BD+GH+AC＝80，
∴BD＝40﹣x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴y＝（40﹣x）x＝﹣x2+20x．
（2）∵AC≤BD，
∴x≤（40﹣x），
∴x≤32，
∴25≤x≤32，
∴y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣40）2+400．
又∵﹣＜0，
∴当x＝32即AC为32cm时面积最大，此时最大面积为384cm2．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，主要用菱形面积公式（菱形的面积等于对角线乘积的一半）列出函数关系式，解题关键是判出取值范围与对称轴的关系，得出最值对应的自变量的取值．
5．（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；
（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．
【解答】解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE＝2BE，
设BE＝FC＝am，则AE＝HG＝DF＝2am，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，
∴y＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
则y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
【点评】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
6．（2021•安徽模拟）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形ABCD，为美化环境，用总长为90m的篱笆围成四块矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若AE＝a，用含有a的式子表示BE的长，并直接写出a的取值范围；
（2）求矩形ABCD的面积y关于a的解析式，并求出面积的最大值．
【分析】（1）根据面积之间的关系得到线段之间的关系，设未知数，代入并整理即可；
（2）利用矩形的面积公式得到y关于a的函数关系式，再根据函数的性质求函数最值．
【解答】解：（1）∵，
∴NC＝2BH＝2NN，
设EG＝b米，则EF＝4b米，
∵S2＝S1，
∴BE•b＝a•4b，
∴BE＝4a（0＜a＜5）；
（2）由（1）知，AB+GH+MN+CD＝5a+4a+4a+5a＝18a，
∴BC＝＝45﹣9a，
∴y＝5a（45﹣9a）＝﹣45a2+225a＝﹣45，
∵﹣45＜0，
∴当a＝时，y有最大值，此时最大值为m2．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据矩形的面积公式列出函数关系式．
售价x（元/千克）
6
8
10
日销售量y（千克）
20
18
16
销售量p（件）
p＝50﹣x
销售单价q（元/件）
当1≤x≤20时，q＝30+x
当21≤x≤40时，q＝20+