苏科版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题6.46 《图形的相似》全章复习与巩固（知识讲解）-（附答案）

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专题6.46 《图形的相似》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【要点梳理】【知识点一】成比例线段1、定义：四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。2、性质：（1）基本性质：如果，那么；反之，若，那么（2）等比性质：如果，那么（3）合比性质：如果，那么，【知识点二】平行线分线段成比例1、定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例【知识点三】相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点四】相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【知识点五】黄金分割点把线段分成两条线段和 ，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即 【知识点六】位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点,所在的直线都经过同一点，且有=，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：① 确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点； = 3 \* GB3 ③描出新图形（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为【典型例题】类型一、成比例线段和平行线分线段成比例1．已知三条线段 满足 ，且 ．    （1）求 的值；    （2）若线段 是线段 和 的比例中项，求 的值．【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=【分析】（1）设，用含k的代数式分别表示出，再由a+b+c=17，建立关于k的方程，解方程求出k的值，从而可求出的值．（2）由已知线段  是线段  和  的比例中项，可得到d2=ab，代入计算求出d的值．解：（1）解：设∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1∵a+b+c=17∴3k+2k+4k-1=17解之：k=2∴a=6，b=4，c=7．（2）解：∵线段  是线段  和  的比例中项∴d2=ab=6×4=24解之：d=．【点拨】本题考查了比例的性质，比例线段，利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便．【变式1】已知，且，求的值【答案】，，．【分析】根据比的性质，可得a，b，c用k表示，根据解方程，可得k的值，即可得答案．解：∵，，∴设，，，∴，整理得：，解得：，∴，，．【点拨】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，，是解题关键．【变式2】如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点P，连接，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形，点M在上．（1）求的长；（2）点M是的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）=，=；（2）是，理由见分析【分析】（1）要求的长，只需求得的长，又，，则，；（2）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点是的黄金分割点．解：（1）在中，，，由勾股定理知，，．故的长为，的长为；（2）点是的黄金分割点．由于，点是的黄金分割点．【点拨】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．2．如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14，（1）求AB的长．（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．【答案】(1) 4 10 (2) 9（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，从而可得，再由AC=14即可求出AB的长；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出BH及HE的长，然后即可得出BE的长．解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵AC=14，∴AB=4，（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9．【点拨】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．【变式1】如图，已知ADBECF，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【答案】（1）；（2）11【分析】（1）根据ADBECF可得，由此计算即可；（2）过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．解：（1）∵ADBECF，∴，∵AB=6，BC=8，∴，故的值为；（2）如图，过点A作AGDF交BE于点H，交CF于点G，∵AGDF，ADBECF，∴AD=HE=GF=5，∵CF=19，∴CG=CF-GF=14，∵BECF，∴，∴，解得BH=6，∴BE=BH+HE=11．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．【变式2】如图，在中，点是边上的一点.（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求的值. 【答案】（1）见分析；（2）.【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.解：(1)如图所示； (2)∵，∴.∴.【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.类型二、相似三角形判定和性质3．如图，在中，，是边上的中线，垂直平分，分别交，于，，连接，．求证：．当，时，求线段的长．【答案】(1)见分析(2)【分析】（1）如图（见分析），先根据线段垂直平分线的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）如图（见分析），延长至，使，连接，，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行线的判定与性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得．（1）证明：∵垂直平分，∴，，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：如图，延长至，使，连接，．则垂直平分，，是边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（2），构造全等三角形和直角三角形是解题关键．【变式1】如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值． 【答案】（1）见分析（2）见分析（3）【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD．（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．（1）证明：∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB．∴即AC2=AB•AD．（2）证明：∵E为AB的中点∴CE=AB=AE∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB∴∠DAC=∠ECA∴CE∥AD．（3）解：∵CE∥AD∴△AFD∽△CFE∴．∵CE=AB∴CE=×6=3．∵AD=4∴∴．【变式2】如图，在△ABC中，（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）在（1）条件下，求证：AB2=BD•BC．【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析；【分析】（1）①以C为圆心，任意长为半径画弧，交CB、CA于E、F；②以A为圆心，CE长为半径画弧，交AB于G；③以G为圆心，EF长为半径画弧，两弧交于H；④连接AH并延长交BC于D，则∠BAD=∠C；（2）证明△ABD∽△CBA，然后根据相似三角形的性质得到结论．解：（1）如图，∠BAD为所作；（2）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B∴△ABD∽△CBA，∴AB：BC=BD：AB，∴AB2=BD•BC．【点拨】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线）．也考查了相似三角形的判定与性质．4．如图，在中，过点C作，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF求证：四边形AFCD是平行四边形．若，，，求AB的长． 【答案】证明见分析；．【分析】由E是AC的中点知，由知，据此根据“AAS”即可证≌，从而得，结合即可得证；证∽得，据此求得，由及可得答案．解：是AC的中点，，，，在和中，，≌，，又，即，四边形AFCD是平行四边形；，∽，，即，解得：，四边形AFCD是平行四边形，，．【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.【变式1】已知：如图6，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为E，交AC于点F.求证：(1) △ABF∽△BED； (2) 求证：. 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析.解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∵BE⊥DC，∴∠FEC=∠BED， 由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，∴△BED∽△CEF，∴△ABF∽△BED；（2）∵AB∥CD，∴ ，     ∴，     ∵△ABF∽△BED，∴，     ∴.【变式2】如图，已知▱ABCD．（1）用直尺和圆规在BC边上取一点E，使AB=AE，连结AE；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的前提下，求证：AE=CD；∠EAD=∠D；（3）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，直接写出EF：FA的值．【答案】（1）见分析（2）证明见分析（3）1:2分析：(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，该圆与BC的交点即为所求的点E;(2)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD,根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB,即可得证；(3)由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．解：（1）如图所示：；（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD，∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∴∠B=∠EAD，∵∠B=∠D，∴∠DAE=∠D；（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△BEF∽△AFD，∴=，∵E为BC的中点，∴BE=BC=AD，∴EF：FA=1：2．【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是关键．5．如图，在中，点、点分别在、上，点是上的一点，联结并延长交于点，且．(1)求证：；(2)若，求证：．【答案】(1)见分析(2)见分析【分析】（1）证明和相似，即可证明．（2）先证明∽，再证明∽，得到，即可证明．（1）证明：，，∽，∴．（2）证明：，，∽，，，又∵，，，，∽，，，．【点拨】此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出相应的比例式，再经过适当的变形使所得的比例式符合“两边成比例且夹角相等”的形式．【变式1】已知，平分交于，交于．求证：∽；连接，若，，，求的长度．【答案】(1)见分析(2)11【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可证明；（2）由（1）的结果和平行线的性质证明∽，进而可得为等腰三角形，最后证明∽并结合相应的计算即可解答．（1）证明：平分，，又，∽；（2）解：∽，，，  ，，∽，，平分，∴∠DAG=∠CAG，，∴为等腰三角形，，，即，解得：，，，，∽，，，．【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握以上的定理并熟练的运用．【变式2】如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；求AE的长．求证：△ADE∽△DFE．【答案】(1)9(2)见分析【分析】（1）依题意得出∠ADE＝∠CFD，∠C＝∠A，据此可得出△ADE∽△CFD，由相似的性质即可得出答案；（2）由，及∠A＝∠EDF，可证得△ADE∽△DFE．（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C＋∠CFD＋∠CDF＝180°，∠EDF＋∠ADE＋∠CDF＝180°，∴∠ADE＝∠CFD，∵∠C＝∠A，∴△ADE∽△CFD，∴，∵CF＝4，CD＝AD＝6，∴，∴AE＝9．（2）证明：∵AE＝9，AD＝6，∴，∵△ADE∽△CFD，∴，∴，∵∠A＝∠EDF，∴△ADE∽△DFE．【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法以及根据相似三角形性质列出比例式进行求解是解题的关键．类型三、相似三角形拓展与提升6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．如图①，若PQ⊥BC，求t的值；如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【答案】(1)当t＝2时，PQ⊥BC(2)当t的值为时，四边形QPCP′为菱形【分析】（1）根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．（2）作于，于，证明出为直角三角形，进一步得出和为等腰直角三角形，再证明四边形为矩形，利用勾股定理在、中，结合四边形为菱形，建立等式进行求解．（1）解：（1）如图①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB＝＝（cm），由题意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，则BP＝（4﹣t）cm，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQAC，，，∴＝，∴，解得：t＝2，∴当t＝2时，PQ⊥BC．（2）解：作于，于，如图，，，，，为直角三角形，，和为等腰直角三角形，，，，四边形为矩形，，，，在中，，在中，，四边形为菱形，，，，（舍去）．的值为．【点拨】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．【变式1】已知，点、、、分别在正方形的边、、、上．(1)如图1，当四边形是正方形时，求证：；(2)如图2，已知，，当、的大小有_________关系时，四边形是矩形；(3)如图3，，、相交于点，，已知正方形的边长为16，长为20，当的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论．【答案】(1)见分析(2)(3)平行四边形，证明见分析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得，根据角角边证明．（2）当，证得，是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边形EFGH是矩形．（3）利用正方形的性质证得为平行四边形，过点作，垂足为点，交于点，由平行线分线段成比例，设，，，则可表示出，从而把△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．解：（1）∵四边形为正方形，∴，∴．∵四边形为正方形，∴，，∴，∴．在和中，∵，，，∴．∴．∴；（2）；证明如下：∵四边形为正方形，∴，AB=BC=AD=CD，∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，∴AH=CG，∴，∴EH=FG．∵AE=CF，∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，∴是等腰直角三角形，∴∠BEF=∠BFE=45°，∵AE=AH，CF=CG，∴∠AEH=∠CFG=45°，∴∠HEF=∠EFG=90°，∴EH∥FG，∴四边形EFGH是矩形．（3）∵四边形为正方形，∴．∵，，∴四边形为平行四边形．∴．∴．过点作，垂足为点，交于点，∴．∵，设，，，则，∴．∴．∴当时，的面积最大，∴，，∴四边形是平行四边形．【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．【变式2】已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点． (1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少；(2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少；(3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度．【答案】(1)2(2)(3)或【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解；（2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；（3）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案．（1）解：正方形与正方形有公共点，点在上，在上，四边形是正方形（2）解：如图，连接，正方形绕点逆时针方向旋转，，（3）解：①如图， ，，,,，三点共线，中，，，由（2）可知，  ，．②如图：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=8，AC=，∵AG=AD，∴AG=AD=8，∵四边形AFEG是正方形，∴∠AGE=90°，GE=AG=8，∵C，G，E三点共线．∴∠AGC=90°∴CG=，∴CE=CG+EG=8+8，∴DG=CE=．综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为或．【点拨】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．类型三、位似7．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）【答案】（1）见分析；（2）.【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案；（2）利用勾股定理得出各边的长度即可得出答案．解：⑴如图. （2）AA′=1，CC′=2．在Rt△OA′C′中，OA′=1，OC′=2，得A′C′=,在Rt△OAC′中，OA=2，OC=4，得AC=,∴四边形AA′C′C的周长=.【点拨】此题主要考查了位似图形的画法以及勾股定理等知识，利用位似比得出对应点位置是解题关键．【变式一】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（5，2）．(1)以点B为位似中心，在网格内画出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2；(2)直接写出点A1的坐标和△A1BC1的面积．【答案】(1)见分析(2)，22【分析】(1) 以点B为位似中心，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2，延长BA到A1，使BA1=2BA，延长BC到C1，使BC1=2BC，再顺次连接即可；（2）利用割补法求解可得．解：(1)以点B为位似中心，使得△A1BC1与△ABC的位似比为2，延长BA到A1，使BA1=2BA，延长BC到C1，使BC1=2BC，连接A1C1，△A1BC1为所求△ABC的位似图形；(2)如图所示：；=48-12-6-8=22．【点拨】此题考查了位似变换和三角形面积求法，正确得出对应点的位置是解题的关键．【变式二】如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长为1），以点为位似中心，把按相似比2：1放大，得到对应．(1)请在第一象限内画出；(2)若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点的坐标．【答案】(1)见分析(2)；；【分析】（1）根据点为位似中心，，，，把按相似比2：1放大，得到对应，求出点，，的坐标，在网格中描点顺次连线即得；（2）设D(x,y)，根据平行四边形的对角线互相平分与，，，得到当AC为对角线时， x+2=1+5，y+1=2+3，推出x=4，y=4，得到；当BC是对角线时，推出x+1=2+5，x=6，y+3=1+2，y=0，得到，当AB为对角线时，推出x+5=1+2，x=-2，y+2=3+1，y=2，得到．解：(1)∵点为位似中心，按相似比2：1放大，得到对应，∴,∵，，，∴（2,6），（4,2），（10,4），在网格图中顺次连接各点得到，如图；(2)设D(x,y)，∵平行四边形的对角线互相平分，且，，，∴当AC为对角线时，AC中点的横坐标为，纵坐标为，BD中点的横坐标为，纵坐标为，∴x+2=1+5，y+1=2+3，∴x=4，y=4，∴，同理，当BC是对角线时，x+1=2+5，x=6，y+3=1+2，y=0，∴，当AB为对角线时，x+5=1+2，x=-2，y+2=3+1，y=2，∴，综上，；；．【点拨】本题主要考查了位似三角形，平行四边形，解决问题的关键是熟练掌握位似三角形的定义及画法，平行四边形对角线的性质和线段中点坐标公式．