2024年山东省济南章丘区五校联考九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】

这是一份2024年山东省济南章丘区五校联考九年级数学第一学期开学联考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知关于的一元二次方程有一个根是，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）如图，函数y1=x﹣1和函数的图象相交于点M（2，m），N（﹣1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1或0＜x＜2B．x＜﹣1或x＞2
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2
3、（4分）若分式的值等于0，则的取值是( ).
A．B．C．D．
4、（4分）已知正比例函数y=kx，且y随x的增大而减少，则直线y=2x+k的图象是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）菱形对角线不具有的性质是( )
A．对角线互相垂直B．对角线所在直线是对称轴
C．对角线相等D．对角线互相平分
6、（4分）下列各二次根式中，可以与合并的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）要使矩形ABCD为正方形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=BCB．AD=BCC．AB=CDD．AC=BD
8、（4分）为了解某班学生双休日户外活动情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，结果如下表：则关于“户外活动时间”这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．
10、（4分）若设A＝，当＝4时，记此时A的值为；当＝3时，记此时A的值为；……则关于的不等式的解集为______.
11、（4分）如图,菱形ABCD的周长为12,∠B=60°,则菱形的面积为_________m2
12、（4分）如果三角形三边长分别为，k，，则化简得___________．
13、（4分）直角三角形两边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是_______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，菱形的周长为8，∠ABC=60°，求BD的长和菱形ABCD的面积．
15、（8分）如图是由25个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中画出以为斜边的2个面积不同的直角三角形.（要求：所画三角形顶点都在格点上）
16、（8分）（1）解不等式：
（2）解方程：
17、（10分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
18、（10分）一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戍五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下 表所示：（单位：分）
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择．标准分 的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差．从标准分看， 标准分大的考试成绩更好．请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考 得更好？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图∆DEF是由∆ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是__________.
20、（4分）如图是由6个形状大小完全相同菱形组成的网格，若菱形的边长为1，一个内角(∠O)为60°，△ABC的各顶点都在格点上，则BC边上的高为______．
21、（4分）长方形的长是宽的2倍，对角线长是5cm，则这个长方形的长是______．
22、（4分）将一张A3纸对折并沿折痕裁开，得到2张A4纸．已知A3纸和A4纸是两个相似的矩形，则矩形的短边与长边的比为______．
23、（4分）如图，在中，，．对角线AC与BD相交于点O，，则BD 的长为____________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图1是一个长时间没有使用的弹簧测力计，经刻度盘，指针，吊环，挂钩等个部件都齐全，但小明还是对其准确程度表示怀疑，于是他利用数学知识对这个弹簧测力计进行检验。下表是他记录的数据的一部分：
在整理数据的过程中，他发现在所挂物体的质量不超过1㎏时，弹簧的长度与弹簧所挂物体的质量之间存在着函数关系，于是弹簧所挂物体的质量x㎏，弹簧的长度为ycm。
(1)请你利用如图2的坐标系，描点并画出函数的大致图象。
(2)根据函数图象，猜想y与x之间是怎样的函数，求出对应的函数解析式。
(3)你认为该测力计是否可以正常使用，如果可以，请你求出所挂物体的质量为1㎏时，弹簧的长度；如果不可以，请说明理由。
25、（10分）某学校为了创建书香校园，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多8元，用1800元购买的科普书的数量与用l000元购买的文学书的数量相同．
（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元；
（2）这所学校今年计划再购买这两种文学书和科普书共200本，且购买文学书和科普书的总费用不超过2088元．今年文学书的单价比去年提高了20%，科普书的单价与去年相同，且每购买1本科普书就免费赠送1本文学书，求这所学校今年至少要购买多少本科普书？
26、（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形，请你把猜想出的AM值作为已知条件，说明四边形AMDN是矩形的理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入关于x的一元二次方程x1+3x+a=0，列出关于a的一元一次方程，通过解方程即可求得a的值．
【详解】
根据题意知，x=-1是关于x的一元二次方程x1+3x+a=0的根，
∴（-1）1+3×（-1）+a=0，即-1+a=0，
解得，a=1．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解使方程的左右两边相等．
2、D
【解析】
析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y1图象的交点横坐标，可确定y1＞y1时，x的取值范围．
解答：解：∵函数y1=x-1和函数y1=的图象相交于点M（1，m），N（-1，n），
∴当y1＞y1时，那么直线在双曲线的上方，
∴此时x的取值范围为-1＜x＜0或x＞1．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
3、C
【解析】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【详解】
∵分式的值等于1，
∴x-2=1，x+1≠1．
解得：x=2．
故选C．
本题主要考查的是分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是解题的关键．
4、D
【解析】
∵正比例函数且随的增大而减少，

在直线中，

∴函数图象经过一、三、四象限．
故选D．
5、C
【解析】
菱形的对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，每一条对角线所在的直线就是菱形的一条对称轴， 故选C.
6、B
【解析】
化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【详解】
A. ∵=2，∴与不能合并；
B. ∵=，∴与能合并；
C. ∵=，∴与不能合并；
D. ∵=，∴与不能合并；
故选B．
本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．
7、A
【解析】
根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可解答．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴要使矩形ABCD成为一个正方形，需要添加一个条件，这个条件可以是：AB=BC或AC⊥BD．
故选：A．
本题考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
8、A
【解析】
分析：根据中位数、平均数和众数的概念求解即可．
详解：∵共10人，
∴中位数为第5和第6人的平均数，
∴中位数=（3+3）÷3=5；
平均数=（1×2+2×2+3×4+6×2）÷10=3；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为3.
故选：A．
点睛：本题考查平均数、中位数和众数的概念．一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数；在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.2
【解析】
根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°.
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP.
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2.
本题考查了勾股定理, 矩形的性质，熟练的运用勾股定理和矩形的性质是解题的关键.
10、.
【解析】
先对A化简，然后根据题意求出f（3）+f（4）+...+f（119）的值，然后求不等式的解集即可解答本题.
【详解】
解：A===
f（3）=，…，f（119）=
所以：f（3）+…+f（119）=+…+==
解得：，故答案为.
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型.
11、
【解析】
首先根据已知求得菱形的边长，再根据勾股定理求得其两条对角线的长，进而求出菱形的面积．
【详解】
解：菱形的周长为12，
菱形的边长为3，
四边形是菱形，且，
为等边三角形，，
，
，
菱形的面积，
故答案为
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一般，此题难度不大．
12、11-3k.
【解析】
求出k的范围，化简二次根式得出|k-6|-|2k-5|，根据绝对值性质得出6-k-（2k-5），求出即可．
【详解】
∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴-＜k＜+，
∴3＜k＜4，
=-|2k-5|，
=6-k-（2k-5），
=-3k+11，
=11-3k，
故答案为：11-3k.
本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
13、6或6.5
【解析】
分类讨论，（1）若斜边为12，则直角三角形斜边上的中线的长是6；
（2）若12是直角边，则斜边为13，则直角三角形斜边上的中线的长是6.5；
综上述，直角三角形斜边上的中线的长是6或6.5.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、BD=2，S菱形ABCD=2．
【解析】
先根据菱形的性质得出AB=BC=2，AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，然后证明△ABC是等边三角形，进而求出AC的长度，再利用勾股定理即可得出BD的长度，最后利用S菱形ABCD=AC×BD即可求出面积．
【详解】
∵菱形ABCD的周长为8，
∴AB=BC=2，AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，
．
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=2，
∴AO=1．
，
∴BO==，
∴BD= ，
∴S菱形ABCD=AC×BD=2．
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
15、见解析
【解析】
根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出一个直角边分别为2,4的直角三角形或者作出一个直角边都为的直角三角形即可
【详解】

考查勾股定理，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
16、（1）；（2）
【解析】
（1）按照去分母、移项、合并同类项的步骤求解即可；
（2）按照去分母、系数化1的步骤求解即可.
【详解】
（1）去分母得
移项、合并得
解得
所以不等式的解集为
（2）去分母得
解得
经检验，是分式方程的解．
此题主要考查不等式以及分式方程的求解，熟练掌握，即可解题.
17、（1）直线AB的解析式为y=1x﹣1,
（1）点C的坐标是（1，1）.
【解析】
待定系数法，直线上点的坐标与方程的．
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣1）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式．
（1）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=1求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣1），
∴，解得．
∴直线AB的解析式为y=1x﹣1．
（1）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC=1，∴•1•x=1，解得x=1．
∴y=1×1﹣1=1．
∴点C的坐标是（1，1）．
18、（1）70，6；（2）从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好.
【解析】
（1）由平均数、标准差的公式计算即可；
（2）代入公式：标准分=（个人成绩-平均成绩）÷成绩标准差，再比较即可．
【详解】
（1）数学平均分为=（71+72+69+68+70）÷5=70分，
英语考试成绩的标准差:
＝
=6分
（2）设甲同学数学考试成绩的标准分为P数学，英语考试成绩的标准分为，则
＝(71－70)÷， ＝(88－85)÷6＝ .
∵ ，
∴从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好.
本题考查平均数和标准差的计算，解题关键是熟记公式．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（0，1）．
【解析】
试题分析：根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转中心．
试题解析：如图，
连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转中心O′．其坐标是（0，1）．
考点: 坐标与图形变化-旋转．
20、
【解析】
如图，连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，求出AE即可.
【详解】
解：如图，连接EA，EC，
∵菱形的边长为1，由题意得∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，AE＝，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
∴AE即为△ACB的BC边上的高，
∴AE＝，
故答案为．
本题考查菱形的性质，特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21、
【解析】
设矩形的宽是a，则长是2a，再根据勾股定理求出a的值即可．
【详解】
解：设矩形的宽是a，则长是2a，
对角线的长是5cm，
，
解得，
这个矩形的长，
故答案是：．
考查的是矩形的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22、
【解析】
先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．
【详解】
解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得x：y＝：1．
∴矩形的短边与长边的比为1：，
故答案为：．
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
23、
【解析】
利用平行四边形的性质和勾股定理易求AC的长，进而可求出BD的长．
【详解】
解：∵AC⊥BC，AB=CD=10，AD=6，
∴AC＝==8，
∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO=DO，AO=CO=AC=4，
∴OD＝==2 ．
∴BD＝4．
故答案为：4．
本题考查平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OD是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)见解析；（2）；（3）弹簧所挂物体的质量为1㎏时，弹簧的长度为17cm，理由见解析
【解析】
(1)根据表格中的数据即可画出图象;(2)先设出一次函数关系式，再由表格中任取两对数代入即可;(3)计算后只要不超过弹簧的最大限度1㎏就可以.
【详解】
(1)如图所示
(2)y与x之间是一次函数关系
对应的解析式为(k≠0)
由于点(0，12)，(0.1，12.5)都在函数的图象上
解得：
∴
经检验(0.2，12)，(0.3，13.5)，(0.4，14)均满足
(3)可以正常使用，但不能超过弹簧的最大限度(不超过1㎏)
当x=1时，y=17
∴弹簧所挂物体的质量为1㎏时，弹簧的长度为17cm。
本题考查了一元函数的应用，解题时从实际问题中整理出函数模型并利用函数的知识解决实际问题．
25、（1）文学书的单价是1元，科普书的单价是2元；(2) 至少要购买52本科普书．
【解析】
（1）设去年购买的文学书的单价是x元，科普书的单价是（x+8）元，根据“用200元购买的科普书的数量与用l000元购买的文学书的数量相同”列出方程；
（2）设这所学校今年要购买y本科普书，根据“购买文学书和科普书的总费用不超过2088元”列出不等式．
【详解】
解：（1）设去年购买的文学书的单价是x元，科普书的单价是（x+8）元，
根据题意，得．
解得x＝1．
经检验 x＝1是原方程的解．
当x＝1时，x+8＝2．
答：去年购买的文学书的单价是1元，科普书的单价是2元；
（2）设这所学校今年要购买y本科普书，
根据题意，得1×（1+20%）（200﹣y﹣y）+2y≤2088
解得y≥52
答：这所学校今年至少要购买52本科普书．
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
26、（1）见解析（2）当AM＝2时，说明四边形是矩形
【解析】
（1）根据菱形的性质可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，根据对顶角相等可得∠DEN=∠AEM，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角边角”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=AM，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）首先证明△AEM是等边三角形，进而得到AE=ED=EM，利用三角形一边上的中线等于斜边一半判断出△AMD是直角三角形，进而得出四边形AMDN是矩形．
【详解】
（1）∵点E是AD边的中点，
∴AE＝ED，
∵AB∥CD，
∴∠NDE＝∠MAE，
在△NDE和△MAE中，
，
∴△NDE≌△MAE（ASA），
∴ND＝AM，
∵ND∥AM，
∴四边形AMDN是平行四边形；
（2）当AM＝2时，说明四边形是矩形．
∵E是AD的中点，
∴AE＝2，
∵AE＝AM，∠EAM＝60°，
∴△AME是等边三角形，
∴AE＝EM，
∴AE＝ED＝EM，
∴∠AMD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
故当AM＝2时，四边形AMDN是矩形．
本题考查矩形的判定、菱形的性质和平行四边形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的性质和平行四边形的判定.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
甲
乙
丙
丁
戍
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
弹簧所挂物体的质量(单位：㎏)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
弹簧的长度(单位cm)
12
12.5
13
13.5
14