2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省郑州市高二（上）段考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知空间两点A(2,1,1)，B(3,2,1)，下列选项中的a与AB共线的是( )
A. a=(1,0,1)B. a=(2,1,1)C. a=(2,−2,0)D. a=(2,2,0)
2.已知空间向量a=(1,0,1)，b=(1,1,n)，且a⋅b=3，则向量a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. π3或2π3D. π6或5π6
3.直线l1的方向向量v1=(1,0,−1)，直线l2的方向向量v2=(−2,0,2)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 不能确定
4.已知向量a=(1,1,0)，b=(-1,0,1)，且ka+b与a互相垂直，则k=( )
A. 13B. 12C. -13D. -12
5.已知向量n=(2,0,1)为平面α的法向量，点A(−1,2,1)在α内，则P(1,2,2)到α的距离为( )
A. 55B. 5C. 2 5D. 510
6.在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OB上，且OM=3MB，N为AC的中点，则NM=( )
A. −12a+34b−12cB. −12a+23b+12cC. 12a+34b+12cD. 12a−23b+12c
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B与平面BC1D1所成的角为( )
A. arctan 22
B. π6
C. π4
D. π3
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是( )
A. MN/​/平面ADD1A1
B. MN⊥AB
C. 直线MN与平面ABCD所成角为45°
D. 异面直线MN与DD1所成角为60°
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，若|AB|=6且l1⊥l2，则x+y的值可以是( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
10.已知空间三点A(−1,0,1)，B(−1,2,2)，C(−3,0,4)，则下列说法正确的是( )
A. AB⋅AC=3B. AB//AC
C. |BC|=2 3D. cs=365
11.如图，AE⊥平面ABCD，CF/​/AE，AD//BC，AD⊥AB，AE=BC=2.AB=AD=1，CF=87，则( )
A. BD⊥EC
B. BF/​/平面ADE
C. 平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为13
D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l过定点A(2,3,1)，且n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)，到直线l的距离为______．
13.已知A(0,1,1)，B(2,−1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和CD所成角的余弦值为______．
14.四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=1，AB=3，G是△ABC的重心，则PG与平面PAD所成角θ的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，a/​/b，b⊥c．
(1)求向量a，b，c；
(2)求向量(a+c)与(b+c)所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)．
(1)求AB；
(2)求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB=AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
(1)求证：AP⊥BC；
(2)若点M是线段AP是一点，且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC中点，且PB⊥AM．
(1)求BC；
(2)求二面角A−PM−B的正弦值．
19.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，AB= 3．
(1)若AD⊥PB，证明：AD/​/平面PBC；
(2)若AD⊥DC，且二面角A−CP−D的正弦值为 427，求AD．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的共线定理应用问题，属于基础题．
求出向量AB，根据a=λAB，λ∈R且唯一存在，即可判断a与AB共线．
【解答】
解：由点A(2,1,1)，B(3,2,1)，
所以AB=(1,1,0)，
对于A，a=(1,0,1)，不满足a=λAB，所以a与AB不共线；
对于B，a=(2,1,1)，不满足a=λAB，所以a与AB不共线；
对于C，a=(2,−2,0)，不满足a=λAB，所以a与AB不共线；
对于D，a=(2,2,0)，满足a=2AB，所以a与AB共线．
故答案选：D．
2.【答案】A
【解析】解：∵a⋅b=1+0+n=3，
解得n=2；
又|a|= 1+0+1= 2，b=(1,1,2)，
∴cs=a⋅b|a|×|b|=3 2× 1+1+4= 32，
且∈[0,π]，
∴a与b的夹角为π6．
故选：A．
根据a⋅b=3求出n的值，再计算cs求出a与b的夹角．
本题考查了空间向量的夹角计算问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为v1=(1,0,−1),v2=(−2,0,2)，
所以v2=−2v1，
所以l1//l2，
故选：A．
根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解．
本题考查了两直线方向向量的位置关系的判断，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，以及向量垂直的判定条件，属于基础题．
根据ka+b与a互相垂直，(ka+b)⋅a=0，列出方程求出k的值．
【解析】
解：∵向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,1)，
∴ka+b=(k−1,k,1)，
又ka+b与a互相垂直，
∴(ka+b)⋅a=0，
即(k−1)×1+k=0，
解得k=12．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵向量n=(2,0,1)为平面a的法向量，点A(−1,2,1)在a内，P(1,2,2)，
∴AP=(2,0,1)，
∴P(1,2,2)到a的距离d=|AP⋅n||n|=5 5= 5．
故选：B．
求出AP=(2,0,1)，由此能求出P(1,2,2)到a的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据空间向量的线性表示与运算法则，用OA、OB、OC表示OM、ON，即可求出NM．
本题考查了空间向量的线性表示与运算法则应用问题，是基础题．
【解答】
解：由点M在OB上，且OM=3MB，所以OM=34OB，
由N为AC的中点，所以ON=12(OA+OC)，
所以NM=OM−ON
=34OB−12(OA+OC)
=34b−12(a+c)
=−12a+34b−12c．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设棱长为1，
CB1是平面BC1D1的法向量，CB1=(0,1,1)
BA1=(−1,0,1)
直线A1B与平面BC1D1所成的角为α
sinα=CB1⋅BA1|CB1|| BA1|=12
所以α=π6
故选：B．
建立空间直角坐标系，求出平面BC1D1的法向量，利用公式求出直线A1B与平面BC1D1所成的角．
本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．
连结BD，A1D，可得MN/​/A1D，得到MN/​/平面ADD1A1，判定A正确；
证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN/​/A1D，得MN⊥AB，判断B正确；
求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；
求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．
【解答】
解：如图，连结BD，A1D，
因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC的中点，
所以M也是BD的中点
又因为N为A1B的中点，
所以MN/​/A1D，
而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，
所以MN/​/平面ADD1A1，故A正确；
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，
则AB⊥A1D，
因为MN/​/A1D，
所以MN⊥AB，故B正确；
直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成的角等于45°，故C正确；
因为MN/​/A1D，
所以异面直线MN与DD1所成的角等于A1D与DD1所成的角，应为45°，故D错误．
故本题选D．
9.【答案】AC
【解析】解：∵直线l1、l2的方向向量分别是AB=(2,4,x)，CD=(2,y,2)，|AB|=6且l1⊥l2，
∴ 4+16+x2=64+4y+2x=0，解得x2=16x+2y+2=0，
∴x=4y=−3或x=−4y=1，
∴x+y=1或x+y=−3．
故选：AC．
由|AB|=6且l1⊥l2，列出方程组，求出x，y的值，由此能求出x+y的值．
本题考查两数和的求法，考查向量的模、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：∵A(−1,0,1)，B(−1,2,2)，C(−3,0,4)，
∴AB=(0,2,1)，AC=(−2,0,3)，BC=(−2,−2,2)，
AB⋅AC=0×(−2)+2×0+1×3=3，故A正确，
不存在实数λ，使得AB=λAC，
故AB,AC不共线，故B错误，
|BC|= (−2)2+(−2)2+22=2 3，故C正确，
cs=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=3 5⋅ 13=3 6565，故D错误．
故选：AC．
由A，B，C坐标分别求出AB，AC，BC，即可依次求解．
本题主要考查空间向量的相关运算，考查计算能力，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：根据题意可知，AE，AB，AD两两垂直，
则以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F(1,2,87)，
所以BD=(−1,1,0)，EC=(1,2,−2)，BE=(−1,0,2)，
对于A，因为BD⋅EC=−1×1+1×2+0×(−2)=1≠0，所以BD，EC不垂直，故A错误；
对于B，由题意知，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又BF=(0,2,87)，可得BF⋅AB=0，则BF⊥AB，
又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF/​/平面ADE，故B正确；
对于C，设平面BDE的法向量为m=(a,b,c)，
则m⋅BD=−a+b=0m⋅BE=−a+2c=0，令b=2，得a=2，c=1，可得m=(2,2,1)，
因为AE=(0,0,2)为底面ABCD的一个法向量，设平面EBD与平面ABCD夹角α，
则csα=|cs〈m,AE〉|=|m⋅AE||m|⋅|AE|=23×2=13，故C正确；
对于D，设直线CE与平面BDE所成角为θ，CE=(−1,−2,2)，
则sinθ=|cs〈CE,m〉|=|CE⋅m||CE||m|=49，故D正确．
故选：BCD．
建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可．
本题考查空间中线面的位置关系的判断，空间角的求法，属于中档题．
12.【答案】3 22
【解析】解：根据题意，点A(2,3,1)，点P(4,3,2)，则PA=(−2,0,−1)，|PA|= 4+1= 5，
且n=(0,1,1)为直线l一个方向向量，|n|= 1+1= 2，
设PA与n的夹角为θ，
则|PA|csθ=PA⋅n|n|=0+0−1 2=− 22，
则点P到直线l的距离d=|PA|sinθ= |PA|2−||PA|⋅csθ|2= 5−12=3 22；
故答案为：3 22．
根据题意，求出向量PA的坐标以及模，设PA与n的夹角为θ，求出|PA|csθ的值，又由点P到直线l的距离d=|PA|sinθ，计算可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及空间点到直线的距离的计算，属于基础题．
13.【答案】5 2266
【解析】解：∵A(0,1,1)，B(2,−1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，
∴AB=(2,−2,−1)，CD=(−2,−3,−3)，
∴cs=AB⋅CD|AB||CD|=53× 22=5 2266，
∴直线AB和直线CD所成角的余弦值为5 2266．
故答案为：5 2266．
根据向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查向量法求解异面直线所成角问题，向量夹角公式的应用，属基础题．
14.【答案】 1030
【解析】 解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以PD，DA，DC两两垂直，
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，则重心G(2,2,0)，
所以PG=(2,2,−1)，PA=(3,0,−1)，PB=(3,3,−1)，
设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅PA=3x−z=0m⋅PB=3x+3y−z=0，令x=1，则m=(1,0,3)，
则sinθ=|cs|=|m⋅GG||m|⋅|PG|=1 10×3= 1030．
故答案为： 1030．
建立空间直角坐标系，求出直线PG的方向向量与平面PAD的法向量，由向量的夹角公式即可求得．
本题考查直线与平面所成角的求法，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵向量a=(x,1,2)，b=(1,y,−2)，c=(3,1,z)，
且a/​/b，b⊥c，
∴x1=1y=2−23+y−2z=0，
解得x=−1，y=−1，z=1；
∴向量a=(−1,1,2)，b=(1,−1,−2)，c=(3,1,1)；
(2)∵向量(a+c)=(2,2,3)，(b+c)=(4,0,−1)，
∴(a+c)⋅(b+c)=2×4+2×0+3×(−1)=5，
|a+c|= 22+22+32= 17，
|b+c|= 42+02+(−1)2= 17；
∴(a+c)与(b+c)所成角的余弦值为
csθ=(a+c)⋅(b+c)|a+c|×|b+c|=5 17× 17=517．
【解析】(1)根据空间向量的坐标表示与a/​/b，且b⊥c，列出方程组求出x、y、z的值即可；
(2)根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出(a+c)与(b+c)所成角的余弦值．
本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．
16.【答案】解：(1)由于空间三点A(0,2,3)，B(−2,1,6)，C(1,−1,5)，
故：|AB|= (0+2)2+(2−1)2+(3−6)2= 14．
(2)由已知条件得：AB=(−2,−1,3)，AC=(1,−3,2)，
故|AC|= 14；
所以csA=AB⋅AC|AB||AC|=12，所以A=π3，
故S△ABC=12|AB||AC|⋅sinA=7 32．
【解析】(1)直接利用向量的坐标运算求出向量的模；
(2)直接利用向量的坐标运算和向量的模及三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的模，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，
如图所示；
则O(0,0,0)，A(0,−3,0)，B(4,2,0)，C(−4,2,0)，P(0,0,4)
(1)AP=(0,3,4)，BC=(−8,0,0)，
∴AP⋅BC=0×(−8)+3×0+4×0=0，
∴AP⊥BC，即AP⊥BC；
(2)∵M为AP上一点，且AM=3，
∴M(0,−65,125)，
∴AM=(0,95,125)，
BM=(−4,−165,125)，
CM=(4,−165,125)；
设平面BMC的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅BM=0n⋅CM=0，
即−4a−165b+125c=04a−165b+125c=0，
令b=1，则n=(0,1,43)；
设平面AMC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AM=0m⋅AN=0，
即95y+125z=04x−165y+125z=0，
令x=5，
则m=(5,4,−3)；
由n⋅m=0×5+1×4+43×(−3)=0，
得n⊥m；即平面AMC⊥平面BMC．
【解析】(1)根据题意，建立如图所示的空间坐标系，利用坐标表示出AP、BC，证明AP⊥BC即可；
(2)根据M为AP上一点，且AM=3，求出点M的坐标，再求出平面BMC与平面AMC的法向量，
利用法向量证明平面AMC⊥平面BMC．
本题考查了线线垂直与面面垂直的判定与应用问题，解题时可以建立空间坐标系，把垂直问题转化为向量垂直即数量积为0来解答，是综合性题目．
18.【答案】解：(1)连结BD，
因为PD⊥底面ABCD，且AM⊂平面ABCD，
则AM⊥PD，
又AM⊥PB，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD，
所以AM⊥平面PBD，
又BD⊂平面PBD，则AM⊥BD，
所以∠ADB+∠DAM=90°，
又∠DAM+∠MAB=90°，
则有∠ADB=∠MAB，
所以Rt△DAB∽Rt△ABM，
则ADAB=BABM，所以12BC2=1，解得BC= 2；
(2)因为DA，DC，DP两两垂直，故以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则A( 2,0,0)，B( 2,1,0)，M( 22,1,0)，P(0,0,1)，
所以AP=(− 2,0,1)，AM=(− 22,1,0)，BM=(− 22,0,0)，BP=(− 2,−1,1)，
设平面AMP的法向量为n=(x,y,z)，
则有n⋅AP=0n⋅AM=0，即− 2x+z=0− 22x+y=0，
令x= 2，则y=1，z=2，故n=( 2,1,2)，
设平面BMP的法向量为m=(p,q,r)，
则有m⋅BM=0m⋅BP=0，即− 22p=0− 2p−q+r=0，
令q=1，则r=1，p=0，故m=(0,1,1)，
所以|cs|=|n⋅m||n||m|=3 7× 2=3 1414，
设二面角A−PM−B的平面角为α，
则sinα= 1−cs2α= 1−cs2= 1−(3 1414)2= 7014，
所以二面角A−PM−B的正弦值为 7014．
【解析】本题考查了空间中线段长度求解以及二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
(1)连结BD，利用线面垂直的性质定理证明AM⊥PD，从而可以证明AM⊥平面PBD，得到AM⊥BD，证明Rt△DAB∽Rt△ABM，即可得到BC的长度；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．
19.【答案】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
又因为AD⊥PB，PA∩PB=P，PA,PB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以AD⊥AB，
因为AB= 3，BC=1，AC=2，AB2+BC2=AC2，所以BC⊥AB，
于是AD/​/BC，又AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC．
所以AD/​/平面PBC．
(2)因为AD⊥DC，以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD=a>0，则DC= 4−a2，D(0,0,0)，A(a,0,0)，C(0, 4−a2,0)，P(a,0,2)，
设平面DCP的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，因为DC=0, 4−a2,0，DP=a,0,2，
所以由DC·n1=0DP·n1=0，即 4−a2⋅y1=0ax1+2z1=0，
可取n1=(2,0,−a)；
又AP=(0,0,2)，AC=(−a, 4−a2,0)，
设平面ACP的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，所以AP·n2=0AC·n2=0由2z2=0−ax2+ 4−a2y2=0,
取n2=( 4−a2,a,0)，
因为二面角A−CP−D的正弦值为 427，所以余弦值的绝对值为1 7．
所以由csn1,n2=1 7=n1⋅n2|n1|·n2=2 4−a22 4+a2，得a2=3，a= 3，
因此，AD= 3．
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，线面平行的判定以及二面角，属于中档题．
(1)首先证明AD⊥平面PAB，可得AD⊥AB，进而证明AD/​/BC，再根据线面平行的判定定理即可完成证明;
(2)在已知条件下，可以D为原点，分别以DA，DC，为x，y轴，过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题．