2024年江苏省苏州市、常熟市九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份2024年江苏省苏州市、常熟市九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．8，13，5D．1，，1
2、（4分）矩形是轴对称图形，对称轴可以是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）以下列各组数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．1，1，C．2，4，5D．6，7，8
4、（4分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象上有三点，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5、（4分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
A．4.5mB．4.8mC．5.5mD．6 m
6、（4分）等腰三角形的一个内角为，则该三角形其余两个内角的度数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，或，
7、（4分）如图，过点A0（1，0）作x轴的垂线，交直线l：y＝2x于B1，在x轴上取点A1，使OA1＝OB1，过点A1作x轴的垂线，交直线l于B2，在x轴上取点A2，使OA2＝OB2，过点A2作x轴的垂线，交直线l于B3，…，这样依次作图，则点B8的纵坐标为（ ）
A．（）7B．2（）7C．2（）8D．（）9
8、（4分）如图，已知点在反比例函数（）的图象上，作，边在轴上，点为斜边的中点，连结并延长交轴于点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）Rt△ABC与直线l：y＝﹣x﹣3同在如图所示的直角坐标系中，∠ABC＝90°，AC＝2，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿x轴向左平移，当点C落在直线l上时，线段AC扫过的面积等于_____．
10、（4分）如图已知四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD要使四边形ABCD是菱形，应添加的条件是_____________________________（只填写一个条件，不使用图形以外的字母）.
11、（4分）计算： .
12、（4分）反比例函数y＝的图象如图所示，A，P为该图象上的点，且关于原点成中心对称．在△PAB中，PB∥y轴，AB∥x轴，PB与AB相交于点B．若△PAB的面积大于12，则关于x的方程(a－1)x2－x＋＝0的根的情况是________________．
13、（4分）若函数y=(m+1)x+(m2-1) (m为常数)是正比例函数,则m的值是____________。
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简,再求值: ，其中．
15、（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度。平面直角坐标系xOy的原点O在格点上，x轴、y轴都在格线上。线段AB的两个端点也在格点上。
（1）若将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A’B’。试在图中画出线段A’B’。
（2）若线段A’’B’’与线段A’B’关于y轴对称，请画出线段A’’B’’。
（3）若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点A、 B’、B’’、P四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标。
16、（8分）先化简，再求值： ，其中a=3
17、（10分）化简求值： 1（＋1）（－1）－（1－1），其中＝1．
18、（10分）如图，在ABC中，∠C＝90º，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a=________．
20、（4分）如图, 是某地区 5 月份某周的气温折线图，则这个地区这个周的气温的极差是_____℃.
21、（4分）若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是_____.
22、（4分）将二次根式化为最简二次根式的结果是________________
23、（4分）比较大小：（填“＞”或“＜”或“＝”）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B落在BC边上的点D处，得.若，，求的度数.
25、（10分）已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4.
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x= -2时，求y的值；
（3）当y=0时，求x的值
26、（12分）在正方形中，是对角线上的点，连接、．
（1）求证：；
（2）如果，求的度数．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形；
B、因为52+42≠62，所以不能组成直角三角形；
C、因为52+82≠132，所以不能组成直角三角形；
D、因为12+12＝（）2，所以能组成直角三角形．
故选：D．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2、D
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合．
【详解】
解：矩形是轴对称图形，可以左右重合和上下重合，
故可以是矩形的对称轴，
故选：D.
此题主要考查了轴对称的概念，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
3、B
【解析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
A、12+22≠32，故不是直角三角形，故此选项错误；
B、12+12=（）2，故是直角三角形，故此选项正确；
C、22+42≠52，故不是直角三角形，故此选项错误；
D、62+72≠82，故不是直角三角形，故此选项错误．
故选B．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4、D
【解析】
首先根据题意求出的值，进一步确定出点Q的坐标，然后利用双曲线关于轴对称进一步如图分两种情况分析求解即可.
【详解】
如图，点P(2，2)在反比例函数的图象上，
∴，
∵点Q(，)在反比例函数图象上，
∴，
∴Q(，)，
∵双曲线关于轴对称，
∴与(，)对称的的坐标为(，)，
∵点M(，)在反比例函数图象上，且，PM>PQ，
∴点M在第三象限左边的曲线上，或在右侧的曲线上，
∴点M的纵坐标的取值范围为：或，
故选：D.
本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握相关概念及方法是解题关键.
5、D
【解析】
根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】
解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，
∵△ABC∽△EDC，
∴，
即，
解得：AB＝6，
故选：D．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．
6、D
【解析】
已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【详解】
解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角=（180°-80°）÷2=50°；
（2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°-80°-80°=20°．
故另外两个内角的度数分别为：50°、50°或80°、20°．
故选：D．
本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解题的关键．
7、B
【解析】
根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵A0（1，0），
∴OA0＝1，
∴点B1的横坐标为1，
∵B1，B2、B3、…、B8在直线y＝2x的图象上，
∴B1纵坐标为2，
∴OA1＝OB1＝，
∴A1（，0），
∴B2点的纵坐标为，
于是得到B3的纵坐标为2…
∴B8的纵坐标为2
故选：B．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出Bn的坐标的变化规律．
8、A
【解析】
先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比得出BO×AB的值即为k的值，再利用BC×OE=BO×AB和面积公式即可求解.
【详解】
∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，
∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，
又∠DBC=∠EBO，
∴∠EBO=∠ACB，
又∠BOE=∠CBA=90∘，
∴△BOE∽△CBA，
∴，即BC×OE=BO×AB.
即BC×OE=BO×AB=k=6.
∴ ，
故选：A.
本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据题意作出图形，利用勾股定理求出BC,求出C’的坐标，再根据矩形的面积公式即可求解.
【详解】
解：∵∠ABC＝90°，AC＝2，A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，
∴BC＝＝4，
∴点C的坐标为（3，4），
当y＝4时，4＝﹣x﹣3，得x＝﹣7，
∴C′（﹣7，4），
∴CC′＝10，
∴当点C落在直线l上时，线段AC扫过的面积为：10×4＝1，
故答案为：1．
此题主要考查平移的性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质.
10、ACBD，或AB=AD（答案不唯一）
【解析】
【分析】首先根据AB∥CD，AB=CD可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AD=AB．也可以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形添加条件ACBD.
【详解】可添加的条件为AD=AB，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
故答案为：AB=AD（答案不唯一）.
【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
11、1.
【解析】
解：.
故答案为1
12、没有实数根
【解析】
分析：由比例函数y=的图象位于一、三象限得出a+4＞0，A、P为该图象上的点，且关于原点成中心对称，得出1xy＞11，进一步得出a+4＞6，由此确定a的取值范围，进一步利用根的判别式判定方程根的情况即可．
详解：∵反比例函数y=的图象位于一、三象限，
∴a+4＞0，
∴a＞-4，
∵A、P关于原点成中心对称，PB∥y轴，AB∥x轴，△PAB的面积大于11，
∴1xy＞11，
即a+4＞6，a＞1
∴a＞1．
∴△=（-1）1-4（a-1）×=1-a＜0，
∴关于x的方程（a-1）x1-x+=0没有实数根．
故答案为：没有实数根．
点睛：此题综合考查了反比例函数的图形与性质，一元二次方程根的判别式，注意正确判定a的取值范围是解决问题的关键．
13、2
【解析】
根据正比例函数的定义列出方程m2-2=2且m+2≠2，依此求得m值即可．
【详解】
解：依题意得：m2-2=2且m+2≠2．
解得m=2，
故答案是：2．
本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠2，自变量次数为2．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、，1
【解析】
先根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】
解：
当x=-2时，原式=24-1=1．
本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则．
15、（1）见解析；（2）见解析；（3）(3)P 点坐标为(−4,1)、(4,1)、(0,−5).
【解析】
（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点A′、B′，从而得到线段A′B′；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A″、B″点的坐标，然后描点即可得到线段A″B″；
（3）分别以AB″、AB′和B″B′为对角线画平行四边形，从而得到P点位置，然后写出对应点的坐标．
【详解】
(1)如图,线段A′B′为所作；
(2)如图，线段A″B″为所作；
(3)P 点坐标为(−4,1)、(4,1)、(0,−5).
此题考查作图-轴对称变换，平行四边形的性质，作图-旋转变换，解题关键在于掌握作图法则.
16、
【解析】
根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式，再代入求值即可.
【详解】
原式=
当 时，原式=
本题考查了分式的化简求值，根据分式的运算法则及运算顺序，把所给的分式化为最简分式是解决问题的关键.
17、；0
【解析】
先利用乘法公式和单项式乘多项式法则将原式进行化简，再将x=1代入求值即可.
【详解】
解：原式=1（x1-1）-1x1+x
=
=
当x=1时， 原式= 0
本题考查的是整式的化简求值，能够准确计算是解题的关键.
18、（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”；（2）利用全等得到线段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四边都相等，从而利用OE与BE、AF及AB的关系求出OE的长
【详解】
解：（1）过点O作OM⊥AB于点M
∵正方形OECF
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F
∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E
∴OM＝OE＝OF
∵OM⊥AB于M， OE⊥BC于E
∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°
∵
∴Rt△AMO≌Rt△AFO
∴∠MA0＝∠FAO
∴点O在∠BAC的平分线上
(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12
∴AB＝13
∴BE＝BM，AM＝AF
又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE
∴BE＝12－OE，AF＝5－OE
∴BM＋AM＝AB
即BE＋AF＝13
12－OE＋5－OE＝13
解得OE＝2
本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，掌握HL定理的判定方法及全等三角形的性质是本题的解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值．
【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式
∴1+a=4a-2
解得：a=1
故答案为：1．
本题考查同类二次根式的应用，解题关键是得出1+a=4a-2．
20、10℃
【解析】
根据极差的定义进行计算即可
【详解】
解：∵根据折线图可得：本周的最高气温为30℃，最低气温为20℃，
∴极差是：30-20=10（℃）
故答案为：10℃
本题考查了极差的定义和折线图，熟练掌握极差是最大值和最小值的差是解题的关键
21、k＞2
【解析】
试题分析：本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键，即在y=kx+b中，当k＞0时y随x的增大而增大，当k＜0时y随x的增大而减小.
【详解】
根据题意可得：k－2＞0，解得：k＞2.
考点：一次函数的性质；一次函数的定义
22、4
【解析】
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
，
故答案为：4
此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
23、
【解析】
试题分析：两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小.-3=-；-2=-，根据1812可得：--.
考点：二次根式的大小比较
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、20°
【解析】
由旋转的性质可得∠AED=∠ACB=40°，∠BAD=∠DAE, AB=AD，AC=AE, 又因为DE∥AB，所以∠BAD=∠ADE，列出方程求解可得出∠BAD=60°，所以∠ACE=∠AEC =60°，∠DEC=∠AEC-∠AED=60°-40°=20°
【详解】
解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，
∴∠AED=∠ACB=40°，∠BAD=∠DAE, AB=AD，AC=AE,
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE
设∠BAD=x, ∠ABD=y,=z,可列方程组：
∴
解得：x=60°
即∠BAD=60°
∴∠ACE=∠AEC =60°
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=60°-40°=20°
此题考查了旋转的性质以及平行线的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系以及方程思想的应用是关键．
25、 (1) ;(2)-6;(3)1
【解析】
（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）利用（1）中关系式求出x=-2时对应的函数值y即可．
（3）利用（1）中关系式求出y=0时对应的自变量x即可．
【详解】
解：（1）由题意可设，因为当时，
所以，，解得，
故与之间的函数表达式为
（2）因为，所以当时，
（3）因为，所以当时，即，解得
题考查了待定系数法求一次函数解析式．注意本题中是“y与x-1成正比例”，而不是“y与x成正比例”．
26、 (1)详见解析；（2）
【解析】
（1）证明△ABP≌△ADP，可得BP=DP；
（2）证得∠ABP=∠APB，由∠BAP=45°可得出∠ABP=67.5°．
【详解】
证明：（1）四边形是正方形，
，，
在和中
，
，
，
（2），
，
又，
．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用图形的性质证明问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人