2023-2024学年北京市丰台区高一下学期期末考试物理试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年北京市丰台区高一下学期期末考试物理试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，实验题，计算题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本大题共13小题，共52分。
请阅读下述文字，完成下列小题：
如图所示，质量m=1.0kg的小球从离桌面高h1=1.2m处的A点由静止下落到地面上的B点。桌面离地面高h2=0.8m，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s2。
1.若选桌面为参考平面，下列说法正确的是( )
A. 小球经桌面时的重力势能为0B. 小球经桌面时的重力势能为2J
C. 小球落至B点时的重力势能为0D. 小球在A点的重力势能为20J
2.关于小球下落过程中重力做功和重力势能的变化，下列说法正确的是( )
A. 小球从A点下落至桌面的过程，重力做正功，重力势能增加
B. 小球从桌面下落至B点的过程，重力做负功，重力势能减少
C. 小球从A点下落至B点的过程，重力势能的减少量与参考平面的选取有关
D. 小球从A点下落至B点的过程，重力做功的多少与参考平面的选取无关
3.如图所示，物体在力F的作用下沿水平方向发生了一段位移，图中力F对物体做负功的是( )
A. θ=150∘B. θ=30∘
C. θ=30∘D. θ=150∘
4.如图为“天问一号”环绕火星运动过程中的两条轨道的示意图，“天问一号”在1、2两条轨道上的运动均可视为匀速圆周运动。“天问一号”在轨道2上的( )
A. 线速度更大B. 向心加速度更小C. 运行周期更长D. 角速度更小
5.某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为( )
A. gRGB. gr2GC. 4π2r3GT2D. 4π2rGT2
6.如图所示，人和雪橇的总质量为m，受到与水平方向成θ角的斜向上方的拉力F，在水平地面上加速移动一段距离L，已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ。则下列说法正确的是( )
A. 拉力对人和雪橇做的功为FLcsθ
B. 支持力对人和雪橇做的功为mgL
C. 滑动摩擦力对人和雪橇做的功为−μmgL
D. 因为人和雪橇相对静止，所以雪橇对人不做功
7.如图所示，在高速公路上，质量为m的汽车以速度v定速巡航(即保持汽车的速率不变)通过路面abc。其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面。不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化，重力加速度为g。关于汽车在各段的输出功率，下列说法正确的是( )
A. 在ab段汽车的输出功率逐渐增大B. 在bc段汽车的输出功率不变
C. 在ab段汽车的输出功率比bc段的小D. 在ab段汽车的输出功率与bc段的相等
8.洗衣机是家庭中常用的电器。波轮洗衣机中的脱水筒如图所示，在脱水时可以认为湿衣服紧贴在筒壁上随筒做匀速圆周运动。若波轮洗衣机在运行脱水程序时，有一枚硬币被甩到筒壁上，随筒壁一起做匀速圆周运动，脱水筒的转速n=10r/s，直径d=40cm，下列说法正确的是( )
A. 硬币做匀速圆周运动所需的向心力由筒壁对硬币的弹力提供
B. 硬币做匀速圆周运动的角速度为2πrad/s
C. 硬币做匀速圆周运动的线速度为8πm/s
D. 如果脱水筒的转速增加，则硬币与筒壁之间的摩擦力增大
请阅读下述文字，完成下列小题：
足球运动深受广大民众喜爱。如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面5的位置。足球上升的最大高度为h，在最高点的速度大小为v，2、4两位置的高度相同，重力加速度为g。
9.选最高点所在平面为参考平面，则足球在最高点时的机械能为( )
A. 0B. 12mv2C. 12mv2+mghD. 12mv2−mgh
10.足球运动到位置2时，所受合力 F与速度 v的关系可能正确的是( )
A. B.
C. D.
11.关于足球的能量，下列说法正确的是( )
A. 在空中运动时，足球的动能一直减小
B. 在空中运动时，足球的机械能先增大后减小
C. 足球在位置2时的动能等于足球在位置4时的动能
D. 踢球时，足球获得的机械能一定大于12mv2+mgh
12.某同学用脚进行颠球训练，某次足球离开脚后竖直向上运动，到达最高点后又落回地面。若足球运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比，以竖直向上为正方向，则在足球从开始上抛至最高点过程中，下列关于足球的速度 v、重力势能Ep随运动时间 t的变化关系和动能Ek、机械能 E随位移 x的变化关系中可能正确的是( )
A. B.
C. D.
13.一个物体在光滑水平面上做匀速直线运动，其速度方向如图中的v所示。从A点开始，它受到向前但偏右(观察者沿着物体前进的方向看，下同)的外力F；到达B点时，这个外力的方向突然变为与前进方向相同；到达C点时，外力的方向又突然改为向前但偏左；物体最终到达D点。则关于物体由A点到D点的运动轨迹，下列选项中可能正确的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共12分。
14.在下面列举的实例中，可以认为机械能守恒的是( )
A. 跳伞运动员带着张开的降落伞在空中匀速下落
B. 掷出的铅球在空中运动
C. 苹果从树上由静止开始下落的过程
D. 小球在黏性较大的液体中由静止开始下落的过程
15.如图所示，将轻质弹簧的一端固定在水平桌面上O点，当弹簧处于自由状态时，弹簧另一端在A点。用一个金属小球挤压弹簧至B点，由静止释放小球，随即小球被弹簧竖直弹出，已知C点为AB的中点，则( )
A. 从B到A过程中，小球的动能一直增加
B. 从B到A过程中，小球的机械能一直增加
C. 从B到A过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
D. 从B到C弹簧弹力对小球做的功大于从C到A弹簧弹力对小球做的功
16.如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，已知小球A的质量为m，用手托住B球，轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球静止于水平地面上。现释放B球，落地时的速度为 6gh5。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A. B球的质量为4m
B. A球上升h的过程中，轻绳对A球的拉力做的功为mgh
C. B球从释放至落地，运动的时间为 10h3g
D. A球从地面开始上升的最大高度为1.6h
三、实验题：本大题共2小题，共18分。
17.某兴趣小组探究平抛运动的特点，尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动。
(1)为了探究平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，用如图甲所示装置进行实验。用小锤击打弹性金属片，A球水平抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动。关于该实验，下列操作中必要的是__________。
A.所用两球的质量必须相等
B.需要改变小球下落的高度进行多次实验
C.每次实验中要保证小锤击打弹性金属片的力度相同
(2)用如图乙所示装置做进一步探究。每次都将小球从斜槽轨道的同一位置无初速度释放，并从斜槽末端水平飞出。改变水平档板的高度，就改变了小球在板上落点的位置，从而可描绘出小球的运动轨迹。实验中将水平档板依次放在如图乙1、2、3的位置，且1与2的间距等于2与3的间距，小球从抛出点到落点的水平位移依次是x1、x2、x3，忽略空气阻力的影响，下面分析正确的是__________。
A.x2−x1>x3−x2B.x2−x1=x3−x2
C.x2−x1(3)为计算平抛运动的初速度，甲同学取平抛运动的起始点为坐标原点O，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系。而乙同学认为不需要记录平抛运动的起始点，可按下述方法处理数据求出初速度：如图丙所示，在轨迹上取O、C、D三点，OC和CD的水平间距相等且均为x，测得OC和CD的竖直间距分别是y1和y2，已知当地重力加速度为g。你认为乙同学的观点是否正确？若正确，请求出平抛运动的初速度；若不正确，请说明理由_______。
18.某实验小组利用如图甲所示的装置做“验证机械能守恒定律”的实验。实验装置安装好后，用手提住纸带上端，接通电源后让重物由静止开始下落。
(1)除图甲所示器材外，还需要的实验器材有__________。
A.直流电源 B.交流电源
C.天平及砝码 D.刻度尺
(2)某次实验中所用重物的质量m=0.1kg，打出的纸带如图乙所示，0是打下的第一个点，1、2、3、4是连续打的四个点，相邻两点间时间间隔为0.02s，根据纸带上的测量数据，从打下点0至打下点2的过程中，重物动能的增加量为_________J。(结果保留3位有效数字)
(3)小明同学利用计算机软件对实验数据进行处理，得到了重物重力势能减少量和动能增加量分别与重物下降高度h的关系，如图丙所示。图丙中实线表示重物_________(选填“重力势能减少量”或“动能增加量”)。由图丙可知，随着h增加，两条曲线在纵向的间隔逐渐变大，主要原因是_________。
四、计算题：本大题共4小题，共40分。
19.如图所示，某同学站在山坡上从距地面20m的高处，将一石块以10m/s的速度水平抛出至落地。不计空气阻力，g取10m/s2。求：
(1)石块从抛出至落地的时间t；
(2)石块从抛出至落地的水平位移x的大小；
(3)石块落地时速度的大小和方向(方向用落地速度的方向与水平方向夹角的正切值表示)。
20.如图甲所示，一圆盘在水平面内匀速转动，角速度是2rad/s。盘面上距圆盘中心0.50m的位置有一质量为0.20kg的小物块随圆盘一起做匀速圆周运动。重力加速度g取10m/s2。
(1)请在图乙中画出小物块的受力示意图；
(2)求小物块做匀速圆周运动所需要向心力的大小；
(3)现使小物块随圆盘一起做减速运动直至停止，求摩擦力对小物块做的功。
21.如图所示，长为L、不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一个质量为m的小球，在O点的正下方某一点A钉一个钉子。现将小球拉至B点静止释放，小球通过最低点C点时的速度为 gL。已知重力加速度为g，不计空气阻力和钉子与绳子碰撞时的能量损失。求：
(1)B、C两点间的高度差H；
(2)小球运动到C点，绳子与钉子碰撞前瞬间小球受到的拉力F；
(3)绳子能够承受的最大拉力为11mg，设A点与C点之间的距离为x，为保证绳子与钉子碰撞后小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动，且绳子不断，求x的取值范围。
22.利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。
(1)已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，求地球的第一宇宙速度v。
(2)开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比都相等，即a3T2=k，比值k是一个对所有行星都相同的常量。
已知月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1；探月卫星绕月球做圆周运动的半径为r2、周期为T2。小明认为，若不计周围其他天体的影响，根据开普勒第三定律可以得到r13T12=r23T22。请通过推导分析小明的观点是否正确。
(3)物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取物体距离地心无穷远处引力势能为零，质量为m的物体距离地心为r时的引力势能Ep=−GMmr，式中M为地球的质量，G为引力常量。
材料：空间站在距离地心约6770km的轨道绕地球飞行。如果没有外力干扰，它会稳定地绕地球运动。然而空间站的轨道属于近地轨道，那里存在稀薄的大气，受微弱大气阻力的影响，空间站的高度会缓慢下降。由于阻力很小，空间站下降的高度远小于其轨道半径，例如我国空间站受大气阻力的影响1年下降的高度约为30km。
已知万有引力常量为G，地球的质量为M，空间站的质量为m，空间站最初运行的轨道半径为r1，由于阻力的影响，经过一段时间t后的轨道半径减小为r2。求：
a.时间t内空间站损失的机械能ΔE；
b.空间站受到的微弱阻力f的大小。
答案和解析
1~2.【答案】A 、D
【解析】1.
AB.若选桌面为参考平面，小球经桌面时的重力势能为0，故A正确，B错误；
C.若选桌面为参考平面，小球落至B点时的重力势能为
EpB=mghB=−mgh2=−8J
故C错误；
D.若选桌面为参考平面，小球在A点的重力势能为
EpA=mghA=mgh1=12J
故D错误。
故选A。
2.
A.小球从A点下落至桌面的过程，重力方向与位移方向相同，则重力做正功，重力势能减小，故A错误；
B.小球从桌面下落至B点的过程，重力方向与位移方向相同，重力做正功，重力势能减小，故B错误；
CD.由于重力势能变化量具有绝对性，即与所选参考平面无关，结合重力做功与重力势能变化量的关系可知，重力做功的多少与所选参考平面无关，故C错误，D正确。
故选D。
3.【答案】B
【解析】【详解】力F做功计算公式为 W=FLcsθ ，其中 θ 表示力F与位移L之间的夹角，位移方向与运动方向相同，所以，当力与位移的夹角为钝角时，力F对物体做负功。
故选B。
4.【答案】A
【解析】【详解】A.根据万有引力提供向心力
GMmr2=mv2r
解得
v= GMr
由于轨道2的半径小，所以线速度大，故A正确；
B.根据牛顿第二定律
GMmr2=ma
解得
a=GMr2
由于轨道2的半径小，所以向心加速度大，故B错误；
CD.根据万有引力提供向心力
GMmr2=m4π2T2r
解得
T=2πr rGM
由于轨道2的半径小，所以周期小；根据 ω=2πT 可知，角速度大，故CD错误。
故选A。
5.【答案】C
【解析】【详解】AB.根据黄金代换，可得
GMmR2=mg
解得
M=gR2G
故AB错误；
CD.万有引力提供人造卫星的向心力，可得
GMmr2=m4π2T2r
解得
M=4π2r3GT2
故C正确；D错误。
故选C。
6.【答案】A
【解析】【详解】A.拉力对人和雪橇做的功为
WF=FLcsθ
故A正确；
B.因为支持力与位移方向垂直，所以支持力不做功，即支持力做功为0，故B错误；
C.对雪橇受力分析，如图
则滑动摩擦力为
f=μ(mg−Fsinθ)
所以，滑动摩擦力对人和雪橇做的功为
Wf=−fL=−μ(mg−Fsinθ)L
故C错误；
D.人和雪橇一起加速运动，则人的动能增加，根据动能定理可得，雪橇对人做正功，故D错误。
故选A。
7.【答案】B
【解析】【详解】A.设ab段与水平面夹角为 θ ，依题意，汽车做匀速直线运动，有
P=Fv=f+mgsinθv
可知在ab段汽车的输出功率保持不变。故A错误；
B.同理，在bc段汽车做匀速直线运动，有
P′=F′v=fv
可知在bc段汽车的输出功率不变。故B正确；
CD.由AB选项分析可知
P>P′
即在ab段汽车的输出功率比bc段的大。故CD错误。
故选B。
8.【答案】A
【解析】【详解】A.向心力指向运动轨迹的圆心，硬币做匀速圆周运动所需的向心力由筒壁对硬币的弹力提供，故A正确；
BC.硬币做匀速圆周运动的角速度与脱水筒转动的角速度相等为
ω=2πn=20πrad/s
根据 v=ωr 可得硬币做匀速圆周运动的线速度为
v=20π×0.2m/s=4πm/s
故BC错误；
D.硬币在竖直方向受力平衡，故摩擦力与硬币的重力大小相等，故如果脱水筒的转速增加，则硬币与筒壁之间的摩擦力不变，故D错误。
故选A。
9~12.【答案】B 、B 、D 、C
【解析】1.
依题意，选最高点所在平面为参考平面，则足球在最高点时的机械能为
E=Ek=12mv2
故选B。
2.
足球运动到位置2时，速度为该点的切线方向，即斜向上，因为足球做减速运动，所以所受合力F与速度夹角大于90∘，为钝角，且指向轨迹的凹侧。
故选B。
3.
A.在空中运动时，上升阶段，重力和阻力均做负功，足球的动能一直减小，下降阶段阻力做负功，重力做正功，且接近地面时合力功为正功，由动能定理可知，周期的动能增大。故A错误；
B.根据A选项分析可知，在空中运动时，阻力一直做负功，所以足球的机械能一直减小。故B错误；
C.足球从位置2时运动到位置4时的过程中，阻力做负功，根据动能定理可知，足球动能减小。故C错误；
D.根据功能关系，可知人对足球做的功转化为足球的机械能，即
W人=E1
取水平面为参考平面，则足球在最高点的机械能为
E2=12mv2+mgh
足球被踢出到运动到最高点过程，有
Wf=E2−E1<0
即
E1>12mv2+mgh
故D正确。
故选D。
4.
A.由牛顿第二定律，可得
mg+kv=ma
解得
a=mg+kvm
可知足球从开始上抛至最高点过程中，做加速度减小的减速运动。v−t图像中图线的斜率应该逐渐减小。故A错误；
B.根据
Ep=mgh
由于并不是做匀速运动，高度不随时间均匀变化，可知 Ep −t图像不是直线，故B错误；
C.由动能定理可知， Ek −x图像中图线的斜率表示合外力，根据以上分析可知合外力逐渐减小。上升到最高点时，动能为零。故C正确；
D.根据
ΔE=−fx
可知，E−x图像中图线的斜率逐渐减小。不可能是均匀变化的。故D错误。
故选C。
13.【答案】C
【解析】【详解】从A点开始，物体受到向前但偏右的外力F，此过程轨迹在力和速度之间，且速度沿轨迹切线方向，但速度不可能与力共线，力在轨迹的凹侧；到达B点时，这个外力的方向突然变为与前进方向相同，此时物体做直线运动；到达C点时，外力的方向又突然改为向前但偏左，此过程轨迹在力和速度之间，且速度沿轨迹切线方向，力在轨迹的凹侧。
故选C。
14.【答案】BC
【解析】【详解】A.跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落的过程中，空气阻力做负功，机械能减少，A错误；
B.掷出的铅球在空中运动过程中，空气阻力可以忽略不计，只有重力做功，机械能守恒，B正确；
C.苹果从树上由静止开始下落的过程，空气阻力可以忽略不计，只有重力做功，机械能守恒，C正确；
D.小球在黏性较大的液体中由静止开始下落，黏滞阻力做负功，机械能减小，D错误。
故选BC。
15.【答案】BD
【解析】【详解】A.从B到A过程中，小球所受弹簧弹力逐渐减小，当
F弹>mg
时，小球做加速运动，其动能增加，当
F弹时，小球做减速运动，其动能减小。故A错误；
BC.从B到A过程中，弹簧与小球系统机械能守恒，弹簧一直对小球做正功，小球的机械能一直增加，弹簧的弹性势能一直减小。故B正确；C错误；
D.根据胡克定律
F=kx
可知从B到C弹簧弹力的平均值较大，由
W=Fl
又
lBC=lCA
可知从B到C弹簧弹力对小球做的功大于从C到A弹簧弹力对小球做的功。故D正确。
故选BD。
16.【答案】ACD
【解析】【详解】A.设B球的质量为M，根据动能定理
Mgh−mgh=12(M+m)v2
解得
M=4m
故A正确；
B.设轻绳对A球的拉力做的功为W，根据动能定理
W−mgh=12mv2
解得
W=85mgh
故B错误；
C.将AB球看成整体，则根据牛顿第二定律
Mg−mg=(M+m)a
解得
a=35g
所以，B球从释放至落地，运动的时间为
t=va= 10h3g
故C正确；
D.B球落地时，A球的位移为
x1=h
此后A球做竖直上抛运动，则位移为
x2=v22g=35h
所以，A球从地面开始上升的最大高度为
x=x1+x2=1.6h
故D正确。
故选ACD。
17.【答案】(1)B
(2)A
(3)正确； v0=x gy2−y1

【解析】【详解】(1)A.所用两球的质量不一定要相等，选项A错误；
B.需要改变小球下落的高度进行多次实验，选项B正确；
C.每次实验中小锤击打弹性金属片的力度不一定要相同，选项C错误。
故选B。
(2)因1与2的间距等于2与3的间距，而越往下小球的竖直速度越大，运动的时间越短，可知
t12>t23
因水平方向做匀速运动，可知
x2−x1>x3−x2
故选A。
(3)正确；
竖直方向根据
y2−y1=gT2
水平方向
x=v0t
解得
v0=x gy2−y1
18.【答案】(1)BD
(2)0.469
(3)重力势能减少量 空气阻力做负功

【解析】【详解】(1)AB.打点计时器需连接交流电源，故A错误，B正确；
C.本实验验证机械能守恒定律，即验证
mgh=12mv2
重物的质量两边消掉，故不需测量重物的质量，故C错误；
D.分析纸带需要测量两点之间的长度，需用刻度尺测量，故D正确。
故选BD。
(2)打下点2的瞬时速度大小为
v2=x132T=55.49−43.242×0.02×10−2m/s=3.0625m/s
重物动能的增加量为
ΔEk=12mv22≈0.469J
(3)[1][2]重物在下落过程中，由于有空气阻力做负功，使重物的机械能减小，所以重物减小的重力势能大于增加的动能，即实线表示重物重力势能减少量。
19.【答案】(1)2s ；(2)20m ；(3)10 5m/s ， tanα=2
【解析】【详解】(1)石块在竖直方向做自由落体运动，根据
h=12gt2
得
t= 2hg=2s
(2)石块在水平方向做匀速直线运动，得
x=v0t=20m
(3)设落地速度的方向与水平方向夹角为 α ，石块落地时速度的大小为
v= v y2+v 02
其中
vy=gt
tanα=vyv0
联立解得
v=10 5m/s
tanα=2
20.【答案】(1)；(2)0.4N ；(3)0.1J
【解析】【详解】(1)小物块随圆盘一起做匀速圆周运动，所以小物块的合外力指向圆心提供向心力。对小物块受力分析，小物块受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力二力平衡、指向圆心的静摩擦力，如图所示
(2)小物块做匀速圆周运动所需要向心力的大小为
Fn=mω2r
代入数据，解得
Fn=0.4N
(3)对小物块，做功的力只有摩擦力，根据动能定理
Wf=12mv2
其中
v=ωr=1m/s
解得
Wf=0.1J
21.【答案】(1)H=L2 ；(2)F=2mg ；(3)L5≤x≤L10
【解析】【详解】(1)根据动能定理
mgH=12mvC2
代入数据，解得
H=L2
(2)绳子与钉子碰撞前瞬间根据牛顿第二定律
F−mg=mvC2L
解得
F=2mg
(3)当绳子拉力有最大值时，x取最小值，此时根据牛顿第二定律
Fm−mg=mvC2x
解得
xmin=L10
当小球恰好能做圆周运动时，x取最大值，根据根据牛顿第二定律
mg=mv2x
其中，根据动能定理
−mg×2x=12mv2−12mvC2
解得
xmax=L5
所以，x的取值范围为
L5≤x≤L10
22.【答案】(1) GMR ；(2)见解析；(3)a.−GMm2r1 ，b. GMr1⋅m(r1−r2)2tr2
【解析】【详解】(1)近地卫星绕地球做匀速圆周运动，设离地面的高度为h，卫星质量为m，由万有引力提供向心力
GMm(R+h)2=mv2R+h
解得
v= GMR+h
当
R≫h h可以忽略不计，有
v= GMR
当质量为 m′ 的物体在地球表面时，重力等于万有引力
m′g=GMm′R2
得
gR2=GM
联立解得地球的第一宇宙速度为
v= gR
(2)已知月球绕地球做圆周运动的半径为 r1 、周期为 T1 ，由开普勒第三定律知
r13T12=k k与地球有关，当探月卫星绕月球做圆周运动的半径为 r2 、周期为 T2 ，由开普勒第三定律知
r23T22=k′ k′ 与月球有关，所以有
r13T12≠r23T22
得小明的观点不正确。
(3)a.根据题意，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动时，根据牛顿第二定律，得
GMmr12=mv2r1
解得
v= GMr1
动能为
Ek=12mv2=GMm2r1
以无限远为零势能点，“天宫”在最初轨道上做圆周运动的引力势能为
Ep=−GMmr1
所以，“中国空间站”在最初轨道上做圆周运动的机械能为
E=Ek+Ep=−GMm2r1
同理，“中国空间站”轨道高度下降后的机械能为
E′=E k′+E p′=−GMm2r2
损失的机械能为
ΔE=E−E′=GMm2r2−GMm2r1=GMm(r1−r2)2r1r2
b.由于 r1 和 r2 相差不大，可认为空间站的线速度几乎不变，运动t时间后，阻力做功使机械能减少，即
f⋅vt≈ΔE
联立解得
f= GMr1⋅m(r1−r2)2tr2