北京市陈经纶中学分校望京实验学校2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份北京市陈经纶中学分校望京实验学校2023-2024学年上学期八年级期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.在中，，，第三边BC的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.如图，等于( )
A.
B.
C.
D.
5.等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为( )
A. B. C. 或D. 或
6.如图，两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，村庄C到公路的距离为4km，则C村到公路的距离是( )
A. 3 km
B. 4 km
C. 5 km
D.
7.已知与OP上点C，点在点C的右边，李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是( )
A. B.
C. D.
8.如图点P是内任意一点，且，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当周长取最小值时，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.等腰三角形一边等于4，另一边等于8，则其周长是______.
10.在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴对称的点的坐标为______.
11.如图，在中，，，，垂足为若，则BD的长为__________.
12.如图，，，垂足分别为B，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是__________写出一个即可
13.______；已知，，则______.
14.如图，在中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接若，，则的周长是_______.
15.如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则的周长为______.
16.在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点不与端点重合，对于任意等边，下面四个结论中：
①存在无数个是等腰三角形；
②存在无数个是等边三角形；
③存在无数个是等腰直角三角形；
④存在一个在所有中面积最小．
所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本题共11小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题5分
计算：
18.本小题5分
19.本小题5分
如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，，，求证：
20.本小题5分
《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在中，
求证：______.
证明：如图，由于，故在AC边上截取，连接在图中补全图形
，
____________填推理的依据
是的外角，
______填推理的依据
，
21.本小题5分
已知：如图，中，，，DE是BC的垂直平分线交AB于D点．求证：
22.本小题5分
为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图AB，AC表示两条公路，点M，N表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：①到两条公路的距离相等；②到两个村庄的距离相等；③在的内部．请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论．
23.本小题5分
如图，已知中，，，BD平分，求证：
24.本小题6分
如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，
在图中画出关于y轴对称的，并直接写出点和点的坐标；不写画法，保留画图痕迹
在x轴上存在点P，使得的值最小，则点P的坐标为______.
25.本小题6分
周末，老师带同学去北京植物园中的一二﹒九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神．基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：
如图1，点A，B，C，D在同一条直线上，在四个论断“，，，”中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题补充已知和求证，并进行证明．
已知：如图，点A，B，C，D在同一条直线上，______.
求证：______.
证明：______.
26.本小题6分
在中，，，射线AD，AE的夹角为，过点B作于点F，直线BF交AE于点G，连结
如图1，射线AD，AE都在的内部．
①设，则______用含有的式子表示；
②作点B关于直线AD的对称点，则线段与图1中已有线段______的长度相等；
如图2，射线AE在的内部，射线AD在的外部，其他条件不变，用等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．
27.本小题7分
如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为，点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：______；
②若，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
若等边三角形ABC的顶点为，，反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：______用含n的代数式表示
答案和解析
1.【答案】A
【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念解答．
解：A、不是轴对称图形，找不到一条轴使两边完全对称；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形.
故选：
2.【答案】C
【解析】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C正确，符合题意；
D、，故D不正确，不符合题意；
故选：
根据同底数幂的运算法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，合并同类项法则，逐个进行计算即可判断．
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘除，底数不变，指数相加减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减．
3.【答案】D
【解析】【分析】
考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】
解：第三边BC的取值范围是，即
故选：
4.【答案】C
【解析】解：因为，
所以等于
故选：
多边形内角和定理：且n为整数，依此即可求解．
本题考查了多边形内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形内角和定理：且n为整数
5.【答案】D
【解析】解：①当这个角是顶角时，底角；
②当这个角是底角时，另一个底角为，顶角为
故选：
题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
6.【答案】B
【解析】解：连接AC，
在和中
，
≌，
，
到与C到的距离相等，都为4km，
故选：
利用已知得出≌，进而利用角平分线的性质得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，得出≌是解题关键．
7.【答案】D
【解析】解：在和中，
，
≌，
，，
，
故A、B、C都可得到．
≌，
，则不一定得出．
故选：
证明≌，根据平行线的判定定理即可得出结论．
本题考查了尺规作图，根据图形的作法得到相等的线段，证明≌是关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰中是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接，交OA于M，交OB于N，由对称性与两点之间线段最短可知此时的周长的最小值为，根据对称性求出，在中先求出，再求出
【解答】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质，可得，，则的周长为，
由对称性与两点之间线段最短可知此时的周长的最小值为，
由对称性可知：，，，，
所以，，，
因为，，
所以，
同理可得：，
在中，因为，
所以
故选：
9.【答案】20
【解析】解：当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；
当4为腰时，其它两边为4和8，4、4、8不可以构成三角形，
故答案为：
因为等腰三角形的两边分别为4和8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论
10.【答案】
【解析】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点关于x轴的对称点为
故答案为：
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11.【答案】3
【解析】解：在中，，，
，
即，
，
，
，
，
故答案为：
利用含的直角三角形的性质解答即可．
此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：，，
若添加，且，由“HL”可证；
若添加，且，由“HL”可证；
若添加，且，由“AAS”可证；
若添加，且，由“AAS”可证；
故答案为：答案不唯一
由全等三角形的判定定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
13.【答案】 6
【解析】解：；
，，
故答案为：，
根据积的乘方运算法则即可求出的值，利用同底数幂乘法的逆运算得到，然后代入求解即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：因为NM是AB的垂直平分线，
所以，
所以的周长，
故答案为：
15.【答案】10
【解析】解：为的平分线，CO为的平分线，
，，
，
，，
，，
，，
，
，，
周长为，
故答案为：10
利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形AMN周长转化，求出即可．
此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：如图1中，满足，可证是等边三角形，这样的三角形有无数个．
如图2中，当，时，是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个．
故①②③正确，的面积不存在最小值．
故答案为①②③．
利用图象法，画出图形判定即可解决问题．
本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：

【解析】首先计算同底数幂的乘法，然后计算幂的乘方即可求解．
此题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则．
18.【答案】解：原式

【解析】先计算积的乘方，然后合并同类项．
本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
19.【答案】证明：，，，
，
，
，
在和中，
≌，

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，利用全等三角形的判定定理ASA证出≌是解题的关键．
根据等式的性质得出，再利用ASA证明≌即可．
20.【答案】；ADB ；等边对等角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【解析】已知：如图，在中，
求证：
证明：如图，由于，故在AC边上截取，连接在图中补全图形
因为，
所以等边对等角，
因为是的外角，
所以三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以
故答案为：；ADB；等边对等角；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】证明：因为DE是BC的垂直平分线交AB于D点，连接DC，
所以线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，分
所以等边对等角，分
因此，分
又因为，
所以，分
所以分
【解析】连接DC，根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质及三角形内角与外角的关系可求出的度数，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的判定定理即可解答．
此题较简单，解答此题的关键是连接CD，构造出等腰三角形，利用线段垂直平分线及等腰三角形的性质解答．
22.【答案】解：点P为线段MN的垂直平分线与的平分线的交点，则点P到点M、N的距离相等，到AB、AC的距离也相等，作图如下：

【解析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出的平分线AF，DE与AF相交于P点，则点P即为所求．
此题考查作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．
23.【答案】证明：，，
平分，
在中，，

【解析】先求出，再根据角平分线的性质求出、，利用等腰三角形的判定可得到，利用角的直角三角形得到CD与BD的关系，得结论．
本题主要考查了含角的直角三角形，掌握直角三角形中角所对的边等于斜边的一半是解决本题的关键．另解决本题亦可过点D作，垂足为E，利用角平分线的性质和含角的直角三角形求解．
24.【答案】
【解析】解如图所示，即为所求，
由图形知，，；
如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，
由图形知，点P即为所求，点P的坐标为，
故答案为：
根据轴对称的性质，找出对应点的位置即可；
根据两点之间，线段最短可知：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，可得点P的坐标．
本题主要考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
25.【答案】，，延长EF交BC于
，，
，
，
，，

【解析】解：已知：如图，，，，求证
理由：延长EF交BC于
，，
，
，
，，
故答案为：，，；；
延长EF交BC于
，，
，
，
，，
已知：，，，求证想办法证明EF是线段BC的垂直平分线即可．答案不唯一
本题考查等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目．
26.【答案】解：①，，
，
故答案为：
②连接，由对称性可知，，
，
，，
，
，
≌，
故答案为：
，理由如下：
作B点关于AD的对称点，连接
由对称性可知，，
，
设，
，
，
，
，
≌，
，

【解析】①根据，可求；②连接，证明≌，即可得到
作B点关于AD的对称点，连接，设，证明≌，即可得
本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
27.【答案】①；
②等边三角形AOC的两个顶点为，，
是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且，
点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，
如图，若点E与坐标原点O重合，
，，
是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
点坐标为
如图，若点E在边OA的延长线上，且，
，
为等边三角形，
，
点D与点C重合．
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，
综上所述：；
或
【解析】解：①如图，过点E作，垂足为F，
，
，
点C的坐标为，
，
点E是AO的中点，
，
，，
，
，
，
，
点D坐标
故答案为：
②见答案;
，，
，
，
点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，
如图点E在AB的延长线上，过点A作，过点E作
，，
，
，
若，
，
的横坐标为：，
若，
，
的横坐标为：，
点D的横坐标t的取值范围：，
如图点E在BA的延长线上，过点A作，过点E作，
同理可求：点D的横坐标t的取值范围：，
综上所述：点D的横坐标t的取值范围：或
故答案为：或
①过点E作，垂足为F，根据等边三角形的性质可得，，即可求，即可求点D坐标；
②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；
分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据平行线分线段成比例的性质，可求的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，平行线分线段成比例，阅读理解题意是本题的关键，是中考压轴题．