贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

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同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．本卷为数学试卷，全卷共2页，三大题，25小题，满分150分，时间120分钟．闭卷监测．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效．不能使用科学计算器，涂改液．
一、选择题（本题共计12小题，每小题3分，共36分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，在菱形中，与相交于点，，，则菱形边长等于（ ）
A．10B．C．5D．6
3．四边形的对角线交于，下列能判断四边形是菱形的是（ ）
A．B．、
C．D．，、
4．已知是的对角线，要判定为矩形，可添加的一个条件是（ ）
A．B．C．D．
5．菱形的周长是16cm，菱形的高是2cm，则菱形其中一个内角的角度是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在矩形中，对角线交于点，若，则的长为（ ）
A．3B．6C．D．
7．如图，矩形和矩形，点在上，设矩形的面积为，矩形的面积为，则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．根据表格对应值：
判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A．B．
C．D．无法判定
9．如果顺次联结矩形各边中点，那么所围成的四边形一定是（ ）
A．菱形B．矩形C．梯形D．平行四边形
10．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
11．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
二、填空题（本题共计4小题，每小题4分，共计16分）
13．菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm，则它的面积为______．
14．已知是方程的一个根，则代数式的值______．
15．如图，四边形是矩形，，，点在第二象限，则点的坐标是______．
第15题图
16．在边长为4的等边中，分别为边上的动点，且总满足，则的最小值______．
第16题图
三、解答题（本题共计9小题，，共计98分）
17．（满分12分）解下列方程（或不等式）：
（1）；（2）．
18．（满分10分）已知实数满足，则的值是多少？
19．（满分10分）如图，四边形为正方形，点是上的任意一点，分别过点作于点，于点．猜想三条线段存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
20．（满分10分）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，
某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，
设更新设备前每天生产件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产______件产品（用含的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，
求更新设备后每天生产多少件产品．
21．（满分10分）已知直线经过点，与直线交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）直接写出不等式的解集．
22．（满分10分）如图，在正方形中，为上一点，为边延长线上一点，且．与之间有怎样的关系？请说明理由．
23．（满分12分）如图，在梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动，点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形是矩形？
24．（满分12分）综合与探究
定义：一次函数的相垂函数是．
如：一次函数的相垂函数是．
（1）一次函数的相垂函数是______．
（2）请在平面直角坐标系中画出一次函数的图象及其相垂函数的图象．
（3）在（2）的条件下，是一次函数的图象上的一个动点，过点作直线平行于轴，且交其相垂函数的图象于点，当线段时，求点的坐标．
25．（满分12分）已知正方形边长为1，对角线相交于点，过点作射线，分别交于点，且．
（1）如图1，当时，求证：四边形是正方形；
（2）如图2，将射线绕着点进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为______；
（3）如图3，在四边形中，，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
清镇博雅学校24-25学年度第一学期第一次月考试题
九年级数学——参考答案及评分建议
同学你好！答题前请认真阅读以下内容：
1．本卷为数学试卷，全卷共2页，三大题，25小题，满分150分，时间120分钟．闭卷考试．
2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题视为无效．不能使用科学计算器，涂改液．
一、选择题（每小题3分，共36分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．16．14．5．15．．16．．
三、解答题（本题共计9小题，共计98分，其中第18、22、24、25每小题12分，其余每小题各10分）
17．（满分12分评分建议）
（1）解：，
，
，
即或，
解得，；
（2）解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
18．（满分10分评分建议）
解：
，
19．（满分10分评分建议）
解：．理由如下：
四边形为正方形，
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，，，
而，．
20．（满分10分评分建议）
解：（1）更新设备前每天生产件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了，
更新设备后每天生产产品数量为：（件），
故答案为：；
（2）由题意知：，
去分母，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
21．（满分10分评分建议）
（1）解：将代入得：，，
将，代入得：
，解得：，
直线的函数表达式；
（2）解：由得，
不等式的解集是．
22．（满分10分评分建议）
解：，且．理由如下：
①四边形是正方形．
，，
．
．
又，．．
②延长交于点．
，．
，．
．，即．
综和①②可知，，且．
23．（满分12分评分建议）
（1）解：设经过时，四边形是平行四边形，则，
由题意得，，，
，，解得，
即经过8s时，四边形是平行四边形；
（2）解：设经过时，四边形是矩形，则，
由题意得，，，
，
，，解得，
即经过9s时，四边形是矩形．
24．（满分12分评分建议）
解：（1）一次函数中，，，
，，
一次函数的相垂函数是；
（2）由题意可知，一次函数的相垂函数是，
时，；时，；
时，；时，；
一次函数的图象及其相垂函数的图象如图所示：
（3）设点的横坐标为，
直线平行于轴，且点在一次函数的图象上，点在其相垂函数的图象上，
，，
，即，
解得，，
或；
25．（满分12分，评分建议）
（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形；
（2）解：①，
证明：四边形是正方形，
，，
，，
，；
②四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，
，，
，，
，，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
四边形的面积等腰直角三角形的面积．
1.1
1.2
1.3
1.4
0.76
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
A
A
B
A
C
A
D
B
B