山西省太原市成成中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷

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考试时间： 120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则下列阴影部分可以表示的为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．16B．32C．81D．243
3．设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
4．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面向量、满足，且与的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
6．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
8．若函数在区间恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是“，都有”
B．函数最小值为2
C．已知，，则
D．函数的单调递增区间为
10．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，．则下列选项成立的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ．
13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
14．过点与曲线相切的直线方程为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）（1）已知，求的最小值；
（2）已知是正实数，且，求的最小值．
16．（本小题15分）已知向量，向量，函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）令，，求的最大值.
17．（本小题15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，
求点P到平面AEF的距离．
18．（本小题17分）某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.
(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附：
19．（本小题17分）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立.语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学
成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200